文档内容
北京市西城区 2021—2022 学年度第一学期期末试卷
七年级数学
1.本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满
分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间
100分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 云南的澄江化石地世界自然遗产博物馆升级改造完工，馆内所收藏的约520000000年前的澄江生物群化
石，展示了寒武纪时期的生物多样化场景．将520000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 用科学记数法表示成 的形式，其中 ， ，代入可得结果．
【详解】解： 的绝对值大于 表示成 的形式，
表示成
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定 的值．
3. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ）
A. －4 B. －4 C. －3 D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A在-4和-3之间，且位于-4和-3对应点的中间位置可得答案．
【详解】解：A.－4 在-4与-5之间，且靠近-4，故不符合题意；
B.－4 在-4与-5之间，且位于-4和-5对应点的中点位置，，故不符合题意；
C.－3 在-3与-4之间，且靠近-3，故不符合题意；
D. －3 在-3和-4之间，且位于-3和-4对应点的中间位置，∴点A表示的数可能是－3 ，故符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原
点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义以及合并同类项得方法逐项分析即可．【详解】A. ，故不正确；
B. ，正确；
C. 与3a不是同类项，不能合并，故不正确；
D. 与 不是同类项，不能合并，故不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字
母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作
为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
5. 一个角的余角比它的补角的 多 ，设这个角为 ，下列关于 的方程中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设这个角为 ，则它的余角为 ，补角为 ，再根据题中给出的等量关系列方程
即可求解．
【详解】解：设这个角的度数为 ，则它的余角为 ，补角为 ，
依题意得： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用，解题的关键是能准确地从题中找出
各个量之间的数量关系，列出方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为 ，互为补角的两角的和
为 ．
6. 我国曾发行过一款如右图所示的国家重点保护野生动物（Ⅰ级）邮票小全张，设计者巧妙地将“野牦牛”和“黑颈鹤”这两枚不同规格的过桥票（无邮政铭记和面值的附票，在图中标记为①，②），与其他
10枚尺寸相同的普通邮票组合在一起构成一个长方形，整个画面和谐统一，以下关于图中所示的三种规格
邮票边长的数量关系的结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图得出邮票边长的数量关系即可判断．
【详解】解：由图知： ，
则： ，故A错误；
，故B错误；
∵ ，
∴ ，故C错误；
∵ ， ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是根据图得出邮票边长的数量关系．
7. 下列方程变形中，正确的是（ ）
A. 方程 ，移项得B. 方程 ，系数化为1得
C. 方程 ，去括号得
D. 方程 ，去分母得
【答案】C
【解析】
【分析】 、根据等式的性质1即可得到答案； 、根据等式的性质1即可得到答案； 、根据去括号法
则即可得到答案； 、根据等式的性质，两边同时乘6，可得答案．
【详解】解： 、方程 ，移项得 ，原变形不正确，不符合题意；
、方程 ，移项，未知数系数化为1，得 ，原变形不正确，不符合题意；
、方程 ，去括号，得 ，原变形正确，符合题意；
、 ，去分母得 ，原变形不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，
把未知数系数化为1，求出解．
8. 用6个棱长为1的小正方体可以粘合形成不同形状的积木，将如图所示的两块积木摆放在桌面上，再从
下列四块积木中选择一块，能搭成一个长、宽、高分别为3、2、3的长方体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过比对原积木搭成长、宽、高分别为3、2、3的长方体所缺几何体的三视图与选项中各几何体
的三视图，得到三视图完全相同的即为正确选项．的
【详解】解：原积木所缺 几何体左视图为一个由4个棱长为1的小正方体组成的大正方体，所以可
排除选项A和C；俯视图为一个由4个小正方体组成的L形，所以可排除选项B．
故选D．
【点睛】本题考查了几何图形的三视图．解题得关键与难点是得到正确的三视图．
第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）
9. ＝___°．
【答案】38.5
【解析】
【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，小单位转换成大单位除以
60，按此转化即可．
【详解】解：∵30' °=0.5°，
∴38°30'=38°+0.5°=38.5°．
故答案为：38.5．
【点睛】本题考查了角度制的换算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
10. 用四舍五入法把3.786精确到0.01，所得到的近似数为___．
【答案】3.79
【解析】
【分析】要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】解：3.786≈3.79，
故答案为：3.79．
【点睛】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数
为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．
11. 如果单项式 与 是同类项，那么a＝___，b＝___．
【答案】 ①. 3 ②. 4
【解析】
【分析】直接根据同类项的定义求出a和b的值即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴a=3，b=4，故答案为：3，4．
【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．所含字母
相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
12. 若 ，则 的值为___．
【答案】0
【解析】
分析】把 直接代入 计算即可．
【
【详解】解：∵ ，
∴
=
=
=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照
有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
13. 若 是关于x的方程 的解，则a＝___．
【答案】-2
【解析】
【分析】把 代入 即可求出a的值．
【详解】解：把 代入 ，得
，
∴ ，
∴a=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未
知数的值叫做一元一次方程的解．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
14. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，有以下结论：① ；② ：③ ；
④ 其中所有正确的结论是___（只填写序号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据数轴上点到位置可得 ， ，进而根据有理数的加法法则，减法法则，除法法
则逐项分析判断
【详解】解：由数轴上的点的位置可得 ， ，
故①正确；
，
故②不正确；
，且
故③不正确；
，且
故④正确
综上所述，故正确的有①④
故答案为：①④
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，
有理数的加法，减法，除法法则，数形结合是解题的关键．15. 线段 ，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若 ，则CD＝___．
【答案】6或12##12或6
【解析】
【分析】分当D在AB延长线上时和当D在BA延长线上时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D在AB延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图2所示，当D在BA延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6或12．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求
解．
16. 在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每
条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全______．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据每条“直线”上 的四个数字之和都相等代入计算即可求解．
【详解】解：根据每条“直线”上的四个数字之和都相等，可得：
，
如图所示：
故答案为：【点睛】本题考查有理数的加法，解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算．
三、解答题（共68分，第17题18分，第 题，每题6分，第20题11分，第21题7分，
第22题8分，第 题，每题6分）
17. 计算：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘除计算法则求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据有理数的混合计算法则求解即可；
（4）根据有理数乘法分配律求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）；
（3）
；
（4）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除计算，有理数乘法运算律，含乘方的有理数混
合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，-1
【解析】
【分析】先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，有理数的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19. 平面上有三个点A，B，O．点A在点O的北偏东 方向上， ，点B在点O的南偏东30°方向上， ，连接AB，点C为线段AB的中点，连接OC．
（1）依题意补全图形（借助量角器、刻度尺画图）；
（2）写出 的依据：
（3）比较线段OC与AC的长短并说明理由：
（4）直接写出∠AOB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3） ，理由见解析；（4）70°
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解；
（3）利用刻度尺测量得： ，即可求解；
（4）用180°减去80°，再减去30°，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：
（2）在△AOB中，因为三角形的两边之和大于第三边，
所以 ；
（3） ，理由如下：利用刻度尺测量得： ，
AC=2cm，
∴ ；
（4）根据题意得： ．
【点睛】本题主要考查了方位角，三角形的三边关系及其应用，中点的定义，明确题意，准确画出图形是解题的关键．
.
20 解下列方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】解：（1） ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ；
（2） ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知
数系数化为1，求出解．
21. 如图， ． ，OA平分∠COE， ．
（1）求∠DOE的度数（用含n的代数式表示）：请将以下解答过程补充完整．
解：∵ ，∴ ．
∵ ．
．
∴ ．（理由： ）
∵ ，
∴ ．
∵OA平分∠COE，
∴∠ ＝ ．（理由： ）
∴ ___＝ °．
（2）用等式表示∠AOD与∠BOC的数量关系．
【答案】（1） ；同角的余角相等； ；角平分线的定义； ， ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等，角平分线的性质，角度的和差计算填写理由即可；
（2）根据题意分别表示出∠AOD与∠BOC，进而用等式表示∠AOD与∠BOC的数量关系．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ．
．
∴ ．（理由：同角的余角相等）
∵ ，
∴ ．∵OA平分∠COE，
∴∠ ＝ ．（理由：角平分线的定义）
∴ ＝ °
（2）
由（1）可知
【点睛】本题考查了同角的余角相等，角平分线的性质，角度的和差计算，数形结合是解题的关键．
22. 某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么
就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个．
（1）这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？
（2）同学们打算用A，B两种不同的编结方式来制作这一批中国结，已知每个A型中国结需用红绳0.6米，
每个B型中国结需用红绳0.9米，现有50米红绳，制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗？请说明你
的理由．
【答案】（1）这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个；（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设这个手工兴趣小组共有 人，根据题意列出一元一次方程解方程，进而求得做的这批中国
结的个数；
（2）设A型中国结 个，B型中国结 个，列出等式，进而根据 为正整数即可求得答案案
【详解】（1）设这个手工兴趣小组共有 人，根据题意得：
解得
做的这批中国结有 （个）
答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个．
（2）不能，理由如下：
设A型中国结 个，B型中国结 个，则需要红绳整理得
因为 是整数，所以 也是整数，则不存在这样的 的值
所以，制作这批中国结不能恰好用完这50米红绳
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
23. 在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是－1，点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点
B的距离是5，M为线段AC的中点．
（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；
（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；
（3）若数轴上的点Q满足 ，求点Q表示的数．
【答案】（1）M为1，C为3；图见解析；
（2）图见解析，是长为10的线段CD；
（3）Q表示
【解析】
【分析】（1）点M在点B左侧距离为5，故用6-5=1；M为AC中点，因此C为3；
（2）与点B的距离小于或等于5的点组成的图形是一条长度为10的线段；
（3）设x，通过QA= 建立等式，再解x，从而求出Q点表示的数,注意分Q点位于AC之间和Q点在
A点左边两种情况建立方程求解．
【详解】（1）M为1，C为3，如图：
（2）如图：图形特征是一条长度为10的线段CD．
（3）当Q在AC之间时：设Q点表示的数为x，则有x-(-1)= ，解得x=
当Q在A点左边时：设Q点表示的数为x，则有-1-x= ，解得x=
【点睛】本题考查数轴上的点的标注，掌握各点 之间数量关系是本题解题关键．
24. 【阅读与理解】小天同学看到如下的阅读材料：
对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：
每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此
类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不
是19的倍数．
以 为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15， ， ．所以436不是
19的倍数．
当数A的位数更多时，这种方法依然适用．
【操作与说理】
（1）当 时，请你帮小天写出判断过程；
（2）小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理
都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格：
说明： 表示 ，其中 ，a，b，c均为整数．
第一次操作得到的和，记为M
A A的表达式
（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6532 532＝ M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝ M（ ）＝
（3）利用以上信息说明：当M（ ）是19的倍数时， 也是19的倍数．
【答案】（1）532是19的倍数，过程见解析；（2） ， ， ， ；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用题干信息中的方法直接操作再判断；
（2）根据 的表达式进行填表即可，根据第一次操作得到的和进行补 即可；
（3）先将 ， ，即可进行判断．
【详解】解（1） ，经过第一次操作得到57，经过第二次操作得到19， ，所以532是19
的倍数；
（2）补表如下：
说明： 表示 ，其中 ，a，b，c均为整数．
第一次操作得到的和，记为M
A A 的表达式
（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6
532＝
532 M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝
M（ ）＝
（3） ， ，
，当M（ ）是19的倍数时， 也是19的倍数，即 是19的倍数，此时 也是19
的倍数．
【点睛】本题考查了整除问题，新定义问题，解题的关键是读懂题干信息，掌握题干中的判断方法，利用
方法求解．
四、选做题（共10分，每题5分）
25. 小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画
出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画
出其他特殊角．
请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度．
（1）画出图2对应的几何图形；
（2）设计用一副三角尺画出 角的画图方案，并画出相应的几何图形；
（3）如图4，已知 ，画∠MON的角平分线OP．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）用含60°的直角三角板和含45°的直角三角板组合即可得到答案；
（3）根据题中图2构造出15度角即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求：
（2）如图所示，即为所求；（3）如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
26. 我们将数轴上点P表示的数记为 ．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有 ，
其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的
数分别为 ． ．
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝___；若点C是点A关于点B的“2星点”，则 ＝
___：
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存在某一时
刻，使得点D是点A关于点O的“－2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理
由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为 ，作点B关于
点Q的“3星点”，记为 ．当点Q运动时， 是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点
Q的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ， ；（2）存在， ，理由见解析；（3）存在，最小值为15，相应点Q在点
A，点B之间
【解析】
【分析】（1）直接读懂定义，根据定义列出等式 ， 求解即可；
（2）设经过 秒后存在，则 ，求出 ，根据点D是点A关于点O的“－2
星点”，得 ，求解即可；
（3）设点 表示的数记为 ，其中（ ，且 ），表示出 ，
，再对 的取值范围进行分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意： ，
，
解得： ，
，
，
解得： ，
故答案是： ， ；
（2）存在，理由如下：
设经过 秒后存在，则
，，
若使得点D是点A关于点O的“－2星点”，
，
，
解得： ；
（3）设点 表示的数记为 ，其中（ ，且 ），
，
，
，
，
，
，
当 时，
，
，
，
没有最小值；
当 时，
，，
，
最小值为15；
当 时，
，
，
，
没有最小值；
综上所述：存在，最小值为15，相应点Q在点A，点B之间．
【点睛】本题考查了数上的动点问题，新定义问题，数轴上两点间的距离问题，一元一次方程，解题的关
键是读懂题目中的定义，利用定义及分类讨论的思想进行求解．
