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专题29 双星问题 卫星的变轨
1．2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首
次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家．“天问一号”在火星停泊轨道运行
时，近火点距离火星表面2.8×102 km、远火点距离火星表面5.9×105 km，则“天问一
号” ( )
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
2．[2022·浙江省联考]探月工程嫦娥五号返回器顺利带回月壤，圆满完成了我国首次
地外天体采样任务．如图所示为嫦娥五号卫星绕月球运行时的三条轨道．其中轨道 1是近
月圆轨道，轨道2、3是变轨后的椭圆轨道．M、N分别为相应轨道上的远月点，则( )
A．若已知卫星在轨道1的运行周期和万有引力常量，可以估算月球的平均密度
B．若已知卫星在轨道2的运行周期和万有引力常量，可以计算月球的质量
C．无法确定卫星在轨道1、2、3上的P点速度大小关系
D．卫星在M点的机械能大于在N点的机械能
3.
[2022·重庆市一诊](多选)2020年7月23日，在文昌发射站发射了首颗火星探测器
“天问一号”，已知火星公转半径是地球公转半径的 1.5倍，天问一号发射后沿霍曼转移
轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示．
则下列说法正确的是( )
A．地球绕太阳运动的加速度小于火星绕太阳运动的加速度
B．探测器沿霍曼轨道飞往火星过程中做减速运动
C.火星探测器“天问一号”的发射速度v应满足：7.9 km/s<v<11.2 km/s
D．探测器沿霍曼转移轨道运动的周期为月4.
[2022·河南省开封市模拟]如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨
道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为圆轨道，轨
道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b
点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则( )
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ周期的2倍
B.卫星经过a点的速率为经过b点速率的倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点加速度大小的2倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
5.
2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重
要一步，在火星上首次留下国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，
成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称
为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测
器( )
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在轨道Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
6．[2022·河南省巩固卷]如图所示，密度相同的A、B两星球绕它们连线上的某点做
匀速圆周运动，组成一双星系统，其中体积较大的A星球能不断地“吸食”体积较小的B
星球的表面物质，从而达到质量转移．假设“吸食”过程中A、B两星球球心间距离不变，
则“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是( )
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变B．它们做圆周运动的角速度大小保持不变
C．体积较大的A星球圆周运动的轨迹半径变大，线速度变大
D．体积较小的B星球圆周运动的轨迹半径变小，线速度变小
7．[2022·山东省青岛市检测]2021年10月16日凌晨，我国神舟十三号载人飞船成功
发射，搭载着翟志刚、王亚平和叶光富3名宇航员与天宫号空间站顺利对接，从此拉开了
长达6个月的太空驻留工作序幕.3位宇航员乘坐宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球
遮挡阳光，会经历“日全食”过程．已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地
球自转周期为T，太阳光可看作平行光．如图，王亚平在A点测出她对地球的张角为
0
2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是( )
A．宇航员每次经历“日全食”过程的时间Δt＝T
0
B.宇航员每天经历“日全食”的次数为
C．空间站绕地球运动的速率为
D．由于神舟十三号载人飞船与天宫号空间站的质量比较大，运动速度快，所以飞船与
空间站的连接处存在着巨大的相互作用力
8．[2022·湖北省联考]2021年7月6日，天链一号05卫星顺利发射升空并成功进入
预定轨道，天链系列卫星实现全球组网运行．如图为卫星变轨示意图，卫星在P点从椭圆
轨道Ⅰ进入同步轨道Ⅱ完成定轨，设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时，经过P点的速率分
别为v 和v ，单位时间内卫星与地球的连线扫过的面积分别为S 和S ，周期分别为T
Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ
和T ，卫星在P点的加速度为a，P点到地心的距离为r，下列关系式正确的是( )
Ⅱ
A．v ＞v B．S ＜S
Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ
C．a＝ D．T ＞T
Ⅰ Ⅱ
9．[2022·辽宁省考试]2021年6月，“神舟十二号”载人飞船成功发射，并进入预
定轨道，飞船入轨后，与“天和”核心舱在轨运行的情形如图所示，两轨道均高于近地轨道，下列说法正确的是( )
A．P是飞船，Q是“天和”，它们的发射速度均大于第一宇宙速度
B．P、Q在轨运行时均处于完全失重状态，因此它们的加速度相同
C．在轨运行时P的速度小于Q的，P若加速可以追上Q，实现对接
D．在轨运行时P的速度大于Q的，Q若加速可以追上P，实现对接
10．[2022·山东省烟台市期中]两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点(质心)做
圆周运动，构成稳定的双星系统．双星系统运动时，其轨道平面存在着一些特殊的点，在
这些点处，质量极小的物体(例如人造卫星)可以与两星体保持相对静止，这样的点被称为
“拉格朗日点”．一般一个双星系统有五个拉格朗日点．如图所示，一双星系统由质量为
M的天体A和质量为m的天体B构成，它们共同绕连线上的O点做匀速圆周运动，在天体A
和天体B的连线之间有一个拉格朗日点P，已知双星间的距离为L，万有引力常量为G，
求：
(1)天体A做圆周运动的角速度及半径；
(2)若P点距离天体A的距离为r＝L，则M与m的比值是多少？
专题29 双星问题 卫星的变轨
1．D 根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝，故在近火点的加速度比远火点的大，故
A错误；根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；“天
问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误；“天问一号”在近火点
做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确．
2．A 设轨道1上的运行周期T，月球的半径R，由G＝mR和ρ＝，得ρ＝，A正
1
确；轨道半长轴未知，无法确定月球质量，B错误；卫星在P点时，机械能从大到小依次
为轨道3、2、1，因引力势能相等，可知在P点速度从大到小依次为轨道3、2、1，C错
误；卫星在轨道3、2上分别遵循机械能守恒，卫星在M点的机械能小于在N点的机械能，
D错误．
3．BD 根据G＝ma，因为地球绕太阳的公转半径小于火星绕太阳的公转半径，则地球绕太阳运动的加速度大于火星绕太阳运动的加速度，A错误；探测器飞往火星过程中，引
力做负功，所以速度减小，B正确；火星探测器“天问一号”的发射因为要脱离地球的引
力，所以发射速度应满足v>11.2 km/s，C错误；火星绕太阳公转的半径为1.5R，地球公
转半径为R，则探测器半长轴为1.25R，根据开普勒第三定律得＝，且T ＝12月，探测
地球
器沿霍曼转移轨道运动的周期T ＝月，D正确．
探测
4．D 由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为＝，根据开普勒第三定律得
＝，解得＝，A错误；根据＝，如果b点在过该点的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，
如图所示
卫星经过a点的速率为经过b点的倍，而轨道Ⅱ是椭圆，因此在轨道Ⅱ上b点的速度
不等于圆轨道的速度，B错误；根据公式a＝可知，卫星在a点的加速度大小为在c点的4
倍，C错误；卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ需要点火加速，因此再同一点加速动能增大也就是
机械能增大，而同一轨道机械能守恒，因此b点的机械能小于在c点的机械能，D正确．
5．D 天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故 A错误；根据开
普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时
长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供
的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动
能增大，故速度增大，故D正确．
6．B 由万有引力定律F＝G可知，随着M增大，m减小，Mm减小，则万有引力减小，
A错误；由万有引力提供向心力得G＝Mω2r，G＝mω2r，且r＝r＋r，联立解得ω＝，由
A B A B
于质量在两星球间转移，故总质量不变，则角速度大小不变，B正确；由于两星球间向心
力大小始终保持相等，则有Mω2r＝mω2r，整理得＝，由于两星球密度相同，故体积大的
A B
A星球质量大，吸食的质量更大，则半径变小，而质量更小的B星球则半径变大，由于角
速度大小不变，故A星球线速度变小，B星球线速度变大，则C、D均错误．
7．B 飞船绕地球做匀速圆周运动．由几何关系得sin θ＝，由万有引力提供向心力
得G＝mr，联立解得T＝2π＝，地球自转一圈的时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，
0所以一天内飞船经历“日全食”的次数为n＝＝，B正确；由图可知，每次“日全食”过程
的时间内飞船转过2θ角，所需时间为t＝T＝，A错误．根据G＝得v＝ ，C错误；由神舟
十三号载人飞船与天宫号空间站在相同的轨道上运动，运行速度相同，则飞船与空间站的
连接处不存在相互作用力，D错误．
8．B 卫星在P点需加速才能从椭圆轨道Ⅰ进入同步轨道Ⅱ，故v ＜v ，A项错误；
Ⅰ Ⅱ
从P点需加速才能变轨，因此在P点附近相同较短时间内，轨道Ⅱ上扫过的面积必然大于
轨道Ⅰ上扫过的面积，故有S ＜S ，B项正确；圆轨道上才满足a＝，则a＝＞，C项错
Ⅰ Ⅱ
误；根据开普勒第三定律可知T ＜T ，D项错误．
Ⅰ Ⅱ
9．A 发射轨道高于近地轨道的卫星时，发射速度需要大于第一宇宙速度，A项正
确；P、Q均处于完全失重状态，但由于轨道不同，由a＝可知，加速度不同，B项错误；
由v＝可知，P的线速度较大，Q的线速度较小，C项错误；Q如果加速会做离心运动，距离
P更远，无法对接，D项错误．
10．(1) L (2)104∶19
解析：(1)设O点距离天体A、B的距离分别为r和r，则 r＋r＝L，转动的角速度为
1 2 1 2
ω
对于天体A：＝Mrω2
1
对于天体B：＝mrω2
2
由①②可得ω＝
r＝L
1
(2)在P点放置一个极小物体，设其质量为m，它与A、B转动的角速度相同
0
对于小物体：－＝mω2(r－r)
0 1
由③④⑤得M∶m＝104∶19.
