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北京市西城区 2023—2024 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
注意事项
1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若抛物线 经过点 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
2. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个
球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球
C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球
4. 下列关于函数 的结论中，正确的是（ ）
A. 随 的增大而减小 B. 当 时， 随 的增大而增大
C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 当 时， 随 的增大而减小
5. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的
图中角 的度数为（ ）
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A. 60° B. 70° C. 72° D. 75°
6. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年
的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为 ，则可列出关于 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图， 为 的直径，弦 交 于点 ， ．若 ，则 的大小为
（ ）
.
A B. C. D.
8. 如图，抛物线 经过点 ．下面有四个结论：① ；② ；③
；④关于 的不等式 的解集为 ．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
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第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点坐标为 ___________．
的
10. 一元二次方程 解为__________．
11. 已知 的半径为 ，点 在 外，则 ___ （填“ ”、“ ”或“ ”
12. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
13. 写出一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式， ________．
14. 如图，四边形 内接于 ， ，则 ________°，依据是________．
15. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面
绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念
和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长
为 ，“直边长”为 ，“下圆弧”的长为 ，则 ________（用含 ， 的式子表示）．
16. 如图，在三角尺 中， ， ， ．把 边放在直尺 上，让三角尺
在桌面上沿直尺 按顺时针方向无滑动地滚动，直到 边再一次落到直尺 上时停止滚动．三角尺的第一
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次滚动可看成将三角尺绕点 顺时针旋转了 ，记为 ．
有以下三个结论：
①第一次滚动的过程中，点 运动的路径长为 ；
②第二次滚动可记为 ；
③点 ，点 ，点 在滚动全程中，运动路径最长的是点 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-
26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程： ．
18. 已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式；
（2）抛物线 可以由抛物线 经过平移得到，请写出一种平移方式．
19. 两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字
“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N的六个面分别标有数字
“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．
（1）掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少；
（2）如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后挪到“0”和“1”记为 ，可表
示某月的 日；先后掷到“5”和“8”记为 ，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方
体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．
20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴的一个交点为 ．
（1） ________；
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的
（2）画出函数 图像；
（3）当 时，结合函数图像直接写出 的取值范围．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．
22. 如图， 是 的弦，半径 ，垂足为 ． ， ，求 的半径．
23. 在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．将
绕原点 顺时针旋转90°得到 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．
的
（1）画出旋转后 ；
（2）直接写出点 的坐标；
（3）记线段 与线段 的交点为 ，直接写出 的大小．
24. 如图， 是 的直径， ， 交 于点 ，点 在 的延长线上且
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．
的
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的长．
25. 如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线 和下方拱线 的最高点均为点 ，拱门的
跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线 的跨径 长为 ，高 为
． 右侧的四根立柱在拱线 上的端点 ， ， ， 的相关数据如下表所示．
点 点 点 点
距 的水平距离（ ） 4 5 6 7
距 的竖直距离（ ） 4.125 3.000 1.625 0
所查阅的资料显示：拱线 为某个圆的一部分，拱线 为某条抛物线的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选取拱线 上的任意三点，通过尺规作图作出拱线 所在的圆；
（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线 上的点，求出拱线 所在的抛物线对应的函数解析式，并
验证拱线 上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
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26. 在平面直角坐标系 中， ， ， 三点都在抛物线
（ ）上．
（1）这个抛物线的对称轴为直线________．
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）若无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，直接写出 的取值范围．
27. 在 中， ， ， 于点 ．点 在射线 上，连接 ，作
于点 ．连接 ，作 于点 ，作 交直线 于点 ，连接 ．
（1）当点 在线段 上时，在图1中补全图形，并直接写出 的度数；
（2）当点 在线段 的延长线上时，利用图2探究线段 与 之间的数量关系，并证明；
（3）取线段 的中点 ，连接 ，若 ，直接写出线段 的长的最小值．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ．对于一个角 （ ），将一个
图形先绕点 顺时针旋转 ，再绕点 逆时针旋转 ，称为一次“ 对称旋转”．
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（1）点 在线段 上，则在点 ， ， ， 中，有可能是由点 经过一
次“ 对称旋转”后得到的点是________；
（2） 轴上的一点 经过一次“ 对称旋转”得到点 ．
①当 时， ________；
②当 时，若 轴，求点 的坐标；
（3）以点 为圆心作半径为1的圆．若在 上存在点 ，使得点 经过一次“ 对称旋转”后得到
的点在 轴上，直接写出 的取值范围．
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