文档内容
北京市门头沟区 2020-2021 学年七年级下学期期末考试
数 学
1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考场号和座位号，并将条形
码粘贴在答题卡相应位置处．
考生
须知
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；画图题用2B
铅笔，其它试题用黑色字迹的签字笔．
4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 已知一个关于 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴得出不等式的解集即可．
【详解】不等式的解集是a≤2，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据数轴上点的位置得出不等式
的解集是解此题的关键
2. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来全球定位精度将优于10米，测
速精度将优于0.2米/秒，授时精度将优于0.000 000 02秒，将数字0.000 000 02用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 02＝ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其
中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算性质和合并同类项的方法计算即可．
是
【详解】解：A、 和 不 同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、 ，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了幂的运算性质和合并同类项的方法，解题的关键是熟记运算法则和合并同类项的方法．
4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由因式分解的定义求解即可．
【详解】A、 ，等式左边不是多项式，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，
不符合题意；
B、 ，等式左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，不符合题意；C、 ，等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、 ，是因式分解，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟记因式分解的定义．
5. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A. 对我国初中生眼睛近视情况的调查 B. 对我区市民“五一”出游情况的调查
C. 对某班学生的校服尺寸大小的调查 D. 对我区市民掌握新冠防疫知识情况的调查
【答案】C
【解析】
【分析】根据全面调查的特征进行判断即可．
【详解】解：A. 对我国初中生眼睛近视情况的调查，适合抽样调查，不符合题意；
B. 对我区市民“五一”出游情况的调查，适合抽样调查，不符合题意；
C. 对某班学生的校服尺寸大小的调查，适合全面调查，符合题意；
D. 对我区市民掌握新冠防疫知识情况的调查，适合抽样调查，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特
征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择
抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱
五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价
格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？
如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】买优质酒 斗，买普通酒 斗，根据今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，
现在买了两种酒2斗，共付30钱的题意，列出方程组．
【详解】解：设买优质酒 斗，买普通酒 斗，
依据题意得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，解题的关键是：读懂题意，设出未知数、找出合适
的等量关系、列出方程组．
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，如果∠COE=15°，那么∠BOD的度
数是（ ）
A. 75° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】根据OF⊥OC，可得∠COF=90°，由∠COE=15°，可求∠EOF=75°，由OE平分∠AOF，可求
∠AOF＝150°，根据角的和差计算，得到答案．
【详解】解：∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∵∠COE=15°
∴∠EOF=90°-∠COE=90°-15°=75°，
∵OE平分∠AOF，，
∴∠AOF＝2∠EOF＝150°，
∴∠AOC＝∠AOF°﹣∠FOC＝150°-90°=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°故选：C．
【点睛】本题主要考查几何图形中的角度问题，掌握角平分线的定义及两直线垂直，对顶角的概念是解题
关键．
8. 在新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施一周年之际，某校连续4周开展了“垃圾分类我知道”的知
识问答测试活动，并将测试成绩整理，绘制成如下所示的统计图．（注：第1～4周参与测试的学生人数不
变）
下面有三个推断：
①每周共有500名学生参与测试；
②从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，且第2周增长最多；
③第4周测试成绩“优秀”的学生人数达到400人．
其中合理的推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据统计图提供的信息，求出参与测试的学生数，第4周测试成绩“优秀”的学生人数，即可判断．
【详解】解：50+250+130+70=500（人），故①正确；
观察折线图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，第二周增
加了36个百分点，增长最多，故②正确；
第4周测试成绩“优秀”的学生人数为500×76%=380（人），故③错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了统计图的应用，解题关键是从统计图中获取准确信息，正确进行计算．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 把方程2x＋y＝1改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝______．
【答案】【解析】
【分析】将 向右边移项即可得．
【详解】解：由 得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程，熟练掌握二元一次方程 的变形方法是解题关键．
10. 如果 是关于x，y的方程 的解，那么 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】把 代入 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是关于x，y的方程 的解，
∴ ，解得：a=2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．
11. 如果代数式 的值是非负数，那么a 的取值范围是_____．
【答案】a≥4
【解析】
【分析】由代数式 的取值范围求出a的取值范围即可．
【详解】∵代数式 的值是非负数，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了不等式求解问题，解题的关键是根据题意列出不等式．
12. 如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，如果 25°，那么 _____°．【答案】20
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到∠3，再利用平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵在等腰直角三角板中， 25°，
∴∠3=45°-∠1=45°-25°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=20°，
故答案是：20．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，掌握两直线平行，内错角相等，是解题
的关键．
13. 用一组a、b、c的值说明命题“若a＞b，则ac＞bc”错误的，这组值可以是a＝ ，b= ，c＝
．
【答案】1；﹣1，0．（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
【详解】解：当a＝1，b＝﹣1，c＝0时，
1＞﹣1，而1×0＝0×（﹣1），
∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，
故答案为1；﹣1，0．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
14. 右图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______．【答案】 = （答案不唯一）
【解析】
【分析】分别用不同方法计算题目中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图中阴影面积分别表示为 和 ，
∴ = ．
故答案为： = （答案不唯一）
【点睛】本题考查了用几何方法证明单项式乘以多项式法则，解题关键是根据图形特点用不同方式表示其
面积．
15. 甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1000张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何
一位候选人的得票数内．学校共设有三个投票箱，目前第一、第二投票箱已经统计了所有选票，剩下第三
投票箱尚未统计，结果如下表所示：
候选人
投票箱 废票 合计
甲 乙 丙
一 123 150 100 12 385
二 135 55 260 15 465
三
那么一定没有机会当选学生会主席的是______（填“甲”，“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】先算出甲、乙、丙已经得到选票数，再算出剩余选票数，进而即可求解．
【详解】解：甲已得选票：123+135=258，
乙已得选票：150+55=205，
丙已得选票：100+260=360，剩余选票：1000-385-465=150，
∵205+150＜360，
∴一定没有机会当选学生会主席的是乙，
故答案是：乙．
【点睛】本题主要考查有理数的运算实际应用，从表格中提取有用信息，列出算式，是解题的关键．
16. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下： ， ， ，
， …… 利用以上运算的规律，写出 _______（n为正整数），计算
_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据运算规律，直接可得 ，再根据运算规律，列出算式，进行约分，进而即可求
解．
【详解】解：根据运算的规律，可得： ，
…
∙ ∙ ∙ ∙
= ．
故答案是： ， ．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算以及用代数式表示运算规律，熟练掌握有理数的混合运算规律，
是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题8分，第19题4分，第20-25题，每小题5
分，第26-28题，每小题6分）
17. 计算：
（1） ； （2） ．【答案】（1）-5；（2）
【解析】
【分析】（1）先算立方，负整数指数幂以及零指数幂，再算加减法，即可求解；
（2）先算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：原式=
，
（2）原式=
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握负整数指数幂以及零指数幂以及整式的运
算法则，是解题的关键．
18. 把下列各式分解因式：
（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用提取公因式法，即可得到答案；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式．
【详解】（1）解：原式= ；
（2）原式=
．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和完全平方公式，是解题的关键．
19. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：方程组： ，
①×2得 ，
②+③得 ，
解得 ，
把 代入①得 ．
所以 是原方程组的解．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，根据题目特点灵活选用加减消元法或代入消元法求解是
关键．
20. 解不等式组 ，并求出这个不等式组的所有的整数解．
【答案】 ，所有整数解为0，1，2，3
【解析】
【分析】先求出不等式组中各不等式的解集后，取公共部分，然后根据整数的定义，取不等式组的所有的
整数解．
【详解】解：原不等式组为
解：解不等式①， ，得
解不等式②， ，得
∴原不等式组的解集为
的
∴原不等式组 所有整数解为0，1，2，3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及求其整数解，解题的关键是：掌握解一元一次不等式组的基本
步骤及理解整数的定义．21. 如图，∠AOB，点C在边OB上．
（1）过点C画直线CD⊥OA，垂足为D；
（2）过点C画直线CM OA，过点D画直线DN OB，直线CM，DN交于点E．
（3）如果∠AOB=50°，那么∠CDE=_________°．
【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）40°．
【解析】
【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板画图即可；
的
（2）根据平行 定义，利用直尺和三角板画图即可；
（3）根据平行线的性质和垂线的性质，推理计算即可．
【详解】解：（1）如图所示，直线CD就是所求画直线；
（2）如图所示，直线CM、直线DN就是所求画直线；
（3）∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
∵DN OB，
∴∠AOB=∠ADE=50°，
∴∠CDE=180°-∠CDO-∠ADE=40°，
故答案为：40°．
．【点睛】本题考查了垂线和平行线的画法，平行线的性质和垂线的性质，解题关键是熟练掌握垂线和平行
线的画法及性质，准确画图，正确进行推理计算．
22. 先化简，再求值：
已知 ，求 的值．
【答案】 ，3
【解析】
【分析】根据乘法公式与单项式乘以多项式法则展开合并同类项，然后整体代入 ，求值即可．
【详解】解： ，
，
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查多项式乘法化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则是
解题关键．
23. 完成下面的证明：
已知：如图， ．
求证： ．
证明：∵ （已知），
又∵ ______°（平角定义），∴ （___________________）．
∵ （已证），
∴AB CD（__________________）．
∵AB CD（已证），
∴ （__________________）．
又∵ （______________），
∴ （等量代换）．
【答案】180；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定和补角的性质等，填空即可．
【详解】证明：∵ （已知），
又∵ 180 °（平角定义），
∴ （同角的补角相等）．
∵ （已证），
∴AB CD（内错角相等，两直线平行）．
∵AB CD（已证），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
又∵ （对顶角相等），
∴ （等量代换）．．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，对顶角的性质，补角的性质，解题关键是熟记相关性质，准确
注明理由．
24. 已知：如图，∠B=∠1，∠A=∠E．（1）求证：AC EF；
（2）如果∠F=60°，求∠ACF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）120°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的性质中，同旁内角互补可计算出．
【详解】解：（1）证明：∵∠B=∠1（已知），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠AME(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠A=∠E（已知），
∴∠E=∠AME（等量代换）．
∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵AC∥EF（已证），
∴∠ACF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠F=60°（已知），
∴∠ACF=120°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：掌握平行线的判定与性质．
为
25. 弘扬“绿水青山门头沟”精神，某中学组织学生开展了“义务植树促环保，我为京西添新绿”
社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小武开展了一次调查研究．
小武从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如
下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）小武一共随机抽取 名学生进行调查；在扇形统计图中，“3棵”所在的扇形的圆心角等
于 度；
（2）补全条形统计图；
（3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是 ；
（4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调
查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有 名．
【答案】（1）100，144；（2）见解析；（3）3；（4）175
【解析】
【分析】（1）由“1棵”的人数和所占的百分比即可求解；由“3棵”的人数和总人数即可求解；
（2）由总人数和种其他棵树的人数即可求解；
（3）根据中位数的概念求解即可；
（4）根据选取的样本中义务植树数量不少于4棵的学生所占得百分比和全校总人数即可求出该学校获得
“植树小能手”称号的学生人数．
【详解】（1） ； ；
小武一共随机抽取100名学生进行调查；“3棵”所在的扇形的圆心角等于144°；
（2） ，画图如下：（3）由条形统计图可知，第50个数和第51个数分别为3和3，
∴中位数= ．
（4） ．
答：该学校获得“植树小能手”称号的学生人数大约有175人．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是根据题意分析出题目中的数据．
26. 某校组织学生去游乐园参加拓展体验活动，活动中有“空中飞人”和“保卫地球”两个体验项目供同
学选择．如果4名同学选择“空中飞人”，1名同学选择“保卫地球”，购票费用共需210元；如果3名同
学选择“空中飞人”，2名同学选择“保卫地球”，购票费用共需220元．
（1）求每张“空中飞人”的票价和每张“保卫地球”的票价各为多少元；
（2）在（1）的条件下，某班有45名同学全部参加体验，老师要求购票总费用不超过2000元，那么最少
有多少名同学选择“空中飞人”体验项目？
【答案】（1）每张“空中飞人”的票价40元，每张“保卫地球”的票价50元；（2）25名
【解析】
【分析】（1）设每张“空中飞人”的票价x元，每张“保卫地球”的票价y元．根据 4个 “空中飞人”，1个
“保卫地球”，费用共需210元； 3个 “空中飞人”，2个 “保卫地球”，费用共需220元．构造方程组解方程
组即可；
（2）设m名同学选择“空中飞人”体验项目，根据某班有45名参加体验购票总费用不超过2000元，列不等
式求解即可．
【详解】解：（1）设每张“空中飞人”的票价x元，每张“保卫地球”的票价y元．根据题意，得
解得
答：每张“空中飞人”的票价40元，每张“保卫地球”的票价50元；
（2）设m名同学选择“空中飞人”体验项目，那么（45-m）名同学选择“保卫地球”体验项目．
根据题意，得： ，
解得：m≥25．
答：最少有25名同学选择“空中飞人”体验项目．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题与列一元一次不等式解应用题，关键是抓住等量关系与不等
关系列方程组与不等式．
27. 已知，直线AB CD，直线EF交AB，CD于点E，F，动点P为平面上一点（点P不在AB，CD，EF
上），连接PE，PF ．
（1）如图1，当动点P在直线AB，CD之间，且位于直线EF右侧时，
①依题意补全图1；
②猜想∠EPF，∠PEB，∠PFD的数量关系，并证明．
（2）如图2，当动点P在直线AB上方时，直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明见解析；（2） ，
【解析】
【分析】（1）①按要求确定点 位置即可，②过点 作 的平行线， ,利用平行
线的性质中，内错角相等即可证明；（2）当动点P在直线AB上方时，分点 在左、右两种情况讨论，利用平行线的性质及三角形的外角性质
来证明．
【详解】解：（1）①补全图形，确定点 位置，过点 作 的平行线，如图所示；
②∠EPF=∠PEB+∠PFD．
证明：过点P作PM∥AB．
∵AB∥CD，
∴CD∥PM．
∴∠PEB=∠1，∠PFD=∠2；
∵ ，
∴
（2）当点 在EF右侧时，如下图：
过点 的直线，平行于 ，
，
，
，当点P在EF左侧时，如图，
过点 的直线，平行于 ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质，解题的关键是：掌握相关的性质，结合添加适
当的辅助线及分类讨论思想来解答．
28. 对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作 ．
定义：如果 ，那么 （ ， ，x为整数）．
例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ．
根据上述运算的定义，回答下列问题：
（1）计算： ___________， ___________；
（2）如果 ，那么 ___________；
（3）如果 ， ，那么 ___________；
（4）如果 ， ，那么 ___________．
【答案】（1）3， ；（2） ；（3）12；（4）0
【解析】
【分析】(1)由定义的新运算法则直接求出；
（2）由定义的新运算法则建立等式，计算可得；
（3）由定义的新运算法则建立等式，再通过幂的混合运算，计算可得；（4）由定义的新运算法则建立等式，两个等式左右分别相乘，再利用零次幂可得出结果．
【详解】解：（1） ， ；
， ，
故答案是： ；
（2） ，
，
解得： ；
故答案是： ；
（3） ， ，
，
，
，
故答案是： ；
（4） ， ，
不妨设 ， ，
则 ，
， ，
，
，，
故 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是：理解新定义的运算，再结合所学知识．
