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牛栏山一中实验学校初二年级数学测试
2024.3
一、选择题（本题10小题，每小题只有一个正确答案，每题2分，共20分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；
【详解】解：A、 是二元二次方程；不符合题意；
B、 是分式方程；不符合题意；
C、 是一元二次方程；符合题意；
D、 是一元一次方程；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2. 一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可．
的
【详解】解：一元二次方程 一次项系数是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一
元二次方程，一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
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学科网（北京）股份有限公司3. 点 在第二象限内，且 到 轴的距离是4，到 轴的距离是3，那么点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距
离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，可得 ，
，再由点P在第二象限内，即可求解．
【详解】解∶∵ 到 轴的距离是4，到 轴的距离是3，
∴ ， ，
∴ ， ，
又点 在第二象限内，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C．
4. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负
情况即可作出判断．
【详解】解：A． ，方程有两个不相等实数根，不合题意；
B． ，方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C． ，方程没有实数根，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D． ，方程有两个相等的实数根，不合题意．
故选：C．
5. 下列配方中，变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用配方法，通过式子变形把不是完全平方式的多项式变成完全平方式与一个数的和的形式．
【详解】解：
，
故A错误，不合题意；
．
故B错误，不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司．
故C正确，符合题意；
故D错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查配方法，熟悉完全平方式的式子特点，加上一个数然后再减去一个相同的数式子不变是
配方的关键．
6. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米．停车场内车道的宽都相等，若停
车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为 （单位：米），下列方程正确
的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先计算停车位的长，宽，后计算即可，本题看出来一元二次方程的应用，正确表示车
位的面积是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
故选D．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图， 中， ， ， ，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，
点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时
停止，则（ ）秒后， 的面积等于4．
A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出
方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设t秒后， 的面积等于4
由题意得： ， ，则
整理得：
解得： ， （不合题意，舍去），
即1秒后， 的面积等于4，
故选：A．
8. 关于 的方程 的解是 （ 均为常数， ），则方程
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学科网（北京）股份有限公司的解是（ ）
A. B. C. D. 无法求解
【答案】B
【解析】
【分析】可以把方程 看作关于 的一元二次方程，从而 ， ，
即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程 看作关于 的一元二次方程，
关于 的方程 的解是 ，
∴关于 的一元二次方程 的解为 ， ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
9. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误
的是（ ）
温度
0 10 20 30 …
声速
324 330 336 342 348
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B. 在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C. 当空气温度为 时，声音 可以传播
D. 当温度升高到 时，声速为
【答案】D
【解析】
【分析】根据图表信息，判断解答即可，本题考查了函数的理解，函数的计算，读懂题意，正确处理信息
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．
【详解】A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，不符合题意；
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意；
C．当空气温度为 时，声音 可以传播 ，正确，不符合题意；
D．当温度升高到 时，声速为 ，错误，符合题意；
故选D．
10. 如图，在一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程 （米）与时间 （秒）之间的函数关系
的图象分别为折线 和线段 ，下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙后到终点 B. 乙测试的速度随时间增加而增大
C. 比赛过程中（除去起点终点）两人相遇两次 D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象，读懂函数信息，解答即可，本题考查了图象信息的获取与处理，正确读取信息是
解题的关键．
【
详解】A. 甲比乙先到终点，错误，不符合题意；
B. 乙的图象是正比例函数，故乙测试的速度是常数，保持不变，错误，不符合题意；
C. 图象有两个交点，故比赛过程中（除去起点终点）两人相遇两次，正确，符合题意；
D. 根据图象，可得比赛全程，第一次相遇后，第二次相遇前，乙的速度大于甲的测试速度，错误，不符
合题意，
故选C．
二、填空题（本题10小题，每题2分，共20分）
11. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是_____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】x≠-2．
【解析】
【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0
解得：x≠-2
故答案为：x≠-2．
【点睛】本题考查分式的性质．
12. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 ， 的值：
__________， __________．
【答案】 ①. 1 ②. 4
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a与c的关系，再写出一组符合题意的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴符合题意的一组值可以为 ，
故答案为：1，4（答案不唯一，满足 且 即可）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
13. 如图，如果 所在的位置的坐标为(－1，－2)， 所在的位置的坐标为(2，－2)，那么
所在的位置的坐标为____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(-3,1)
【解析】
【分析】根据题意做直角坐标系，易知答案.
【详解】根据题意做直角坐标系，易知，炮的坐标（-3,1）
故答案为：（-3,1）
考点：直角坐标系
点评：本题难度较低，主要考查学生对直角坐标系知识点的掌握，作图最直观．
14. 已知点M(a＋3，4－a)在y轴上，则点M的坐标为________．
【答案】(0,7)
【解析】
【详解】解：点M在y轴上，
所以横坐标等于0，
故有a+3=0，解得a=-3，
所以点M的坐标是(0，7)．
故答案为：(0，7)．
的
15. 点 关于 轴对称 点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；从而可得答案．
【详解】解：点 关于 轴对称的点的坐标是 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
16. 已知等腰三角形两边 ， ，满足 ，则这个等腰三角形的周长为
____________．
【答案】12
【解析】
【分析】首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出 a、b，再根据三角形三
边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
【详解】解：
，
，
， ，
， ，
解得， ， ，
、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为： ．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是偶次方的非负性、等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，灵活运用完
全平方公式，是解题的关键．
17. 由坐标平面内的三点 构成的 的面积是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据 得 轴， 轴，继而得到直角三角形
，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是
解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵
∴ 轴， 轴，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
故答案为：4．
18. 已知关于 的方程 （ 为实数）有两个实数根，则 的取值范围是
___________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式 且
，计算即可．
【详解】∵一元二次方程 有两个实根，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
19. 下列关于两个变量之间的关系的四种表述中， 是 的函数的有___________（填写编号）
① ：三角形的面积， ：这个三角形一边的长；
②
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学科网（北京）股份有限公司③
6
1 2 3 4
④
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对
应，称y是x的函数，判断即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】根据定义判断三角形面积公式为 ，对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函
数的定义，
故①是函数，
对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数的定义，
故②是函数，
后面两个都是对于x的每一个值，y都有两个函数值对应，不符合题意，
故答案为：①②．
20. 对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号 表示a、b中的较小值． 如：
，按照这个规定，方程 的解为____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，根据 ，再根据新定义化简已知等式，求出解即可．
【详解】解： ，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得：
故答案为：
三、解答题（本题7小题，共60分）
21. 用适当方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ，
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题
的关键．
（1）利用公式法求解即可．
（2）利用直接开平方法计算即可．
（3）利用因式分解法法求解即可．
（4）利用因式分解法法求解即可．
【小问1详解】
∵ ,
在这里，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ， ．
【小问2详解】
，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
∵ ，
∴
∴ ，
解得 ．
【小问4详解】
∵ ,
∴
∴ ，
解得 ．
22. 已知一个矩形的面积为6，一条边长为 ，相邻的另一边长为 ．
的
（1） 与 之间 函数表达式为___________，自变量 的取值范围是___________；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
列表：
… 1 2 3 4 6 …
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学科网（北京）股份有限公司… 6 3 2 1 …
上面表格中 的值是___________．
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象；
（3）若点 与点 是该函数图象上的两点，观察图象，直接写出 和 的大小关系．
【答案】（1） ；
（2） ，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积等于相邻两边的积，计算即可；
（2）根据 ，当 时，得 ．画图即可．
（3）根据图象的性质，比较计算即可．本题考查了反比例函数的应用，函数图象的画法，性质，熟练掌
握性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵矩形的面积为6，一条边长为 ，相邻的另一边长为
∴ ；
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ； ．
【小问2详解】
根据 ，当 时，得 ，
故答案为： ．画图如下：
．
【小问3详解】
根据图象性质，得点 ，函数值将变小，
故 ．
23. 已知 是 的一个根，求代数式 的值．
【答案】9
【解析】
【分析】根据方程的根的概念可得 ，将所求代数式变形为
，然后利用整体代入的方法进行求解即可
得．
【详解】∵ 是方程 的一个根
∴ ，即
∴
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解能使方程左右两边同时成立的未知数
的值是方程的解是解题的关键．
24. 某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价200元，衬衣每件定价100元，商场在开展促销活动期间，
向顾客提供两种优惠方案．
方案一：买一件夹克送一件衬衣
方案二：夹克和衬衣均按定价的7折出售
现有顾客要到该商场购买夹克30件，衬衣 件
（1）用含 的代数式表示方案一购买共需付款 元和方案二购买共需付款 元；
（2）通过计算说明，购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？
【答案】（1） ；
（2）40
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的
关键．
（1）根据买一件夹克送一件衬衣，可得出需要付款的衬衣有 件，根据单价，数量，金额之间的
关系列式即可；根据夹克和衬衣均按定价的7折出售，先计算出单价分别为 元和
元，根据单价，数量，金额之间的关系列式即可；
（2）根据题意，得 ，解方程即可．本题考查了方程的应用，函数的表达式，
正确确定等量关系是解题的关键．
【小问1详解】
根据买一件夹克送一件衬衣，可得出需要付款的衬衣有 件，
根据题意，得 即 ；
根据夹克和衬衣均按定价的7折出售，
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学科网（北京）股份有限公司故它们的单价分别为 元和 元，
根据题意，得 ；
【小问2详解】
根据题意，得 ，
解得 ，
故购买衬衣40件时，两种方案付款一样多.
25. 关于x的一元二次方程 ．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围；
（2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根；
（3）如果x，x 是这个方程的两个根，且 ，求k的值．
1 2
【答案】（1）k的取值范围为
（2）k的值为8，方程的另一个根为4
（3）k的值为
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．
（1）利用根的判别式的意义得到△ ，然后解不等式；
（2）设方程的另一个根为 ，根据根与系数的关系得 ， ，然后解方程组即可；
（ 3 ） 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 ， ， 再 由 得 到
，所以 ，然后解一次方程即可．
【小问1详解】
根据题意得△ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
即 的取值范围为 ；
【小问2详解】
设方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系得 ， ，
解得 ， ，
即 的值为8，方程的另一个根为4；
【小问3详解】
根据根与系数的关系得 ， ，
，
，
，
解得 ，
即 的值为 ．
26. 芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产
业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试
回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将
减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的
条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【答案】（1）20% （2）4条
【解析】
【分析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288
万个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，利用总产量=每条生产
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学科网（北京）股份有限公司线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同
时又要节省投入，即可确定m的值．
【小问1详解】
解：设求前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得： ，
解得： =0.2=20%， =-2.2（不合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
【小问2详解】
解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，
依题意得：（1+m）（600-20m）=2600，
整理得： ，
解得： =4， =25，
∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该再增加4条生产线
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27. 阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 ，则
，原方程化为 ①，解①得 ．当 时， 无意义，舍去；
当 时， ，解得 原方程的解为 ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程 时，新字母设为 ，则 ___________，原方程化
为___________，解得 ___________．
（2）求方程 的解．
【答案】（1） ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键；
（1）根据题意，可设 ，于是原方程变形为 ，利用因式分解法求解即可．
（2）根据 ，转化为方程 ， ，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，可设 ，于是原方程变形为 ，
解得 ，
故答案为： ， ； ．
【小问2详解】
解：根据题意，得 ，方程转化为 ， ，
故 ，
解得 ；
当 时，此时 ，方程无解，
故原方程的解为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
