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2022-2023 学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试
卷
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式，结合选项求解即可．
【详解】A. 是最简二次根式，故A符合题意；
B. ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，故B不符合题意；
C. ，被开方数中含有分母，故C不符合题意；
D. ，被开方数的分母含有二次根式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行
判断．
2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 6，8，10 D. 5，12，23
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理： ，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】解：A、∵ ，∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴1，1，2不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵ ，∴6，8，10能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵ ，∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．
3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义解答即可．
【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定
的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．
【详解】∵ABCD是矩形，
， ， ，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵BD=6，
∴AB=OB= =3，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三
角形是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：A． 无法计算，故此选项错误；
B． 无法计算，故此选项错误；
C． ，故此选项错误；
D． ，故此选项正确．故选： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 如图，在 中， ，则 边上的高 的长为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后利用三角形面积的不同求
法列式求出BD即可．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝ BC＝3，
在Rt ABE中，AE＝ ，
△
∴ ＝ AC·BD＝ BC·AE，∴BD ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高线和
中线重合．
7. 下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC ②AB=CD，AB CD
③AB=CD，AD BC ④AB CD，AD BC
A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理依次判断即可得出结果．
【详解】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④正确，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
8. 已知，如图，正方形 中， ， ， 相交于点O，E，F分别为边 ， 上的动
点（点E，F不与线段 ， 的端点重合）且 ，连接 ， ， ．在点E，F运动的
过程中，有下列四个结论：
① 始终是等腰直角三角形；
② 面积的最小值是 ；
③至少存在一个 ．使得 的周长是 ；
④四边形 的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（ ）A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】①根据正方形的性质可得 ， ，根据全等三角形的判定和性质可
得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，推得 ，则可证得结
论①正确；
②由 的最小值是 到 的距离，即可求得 的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正
确；
③假设存在一个 ，使得 的周长是 ，根据勾股定理求得 ,即可求得选
项③正确；
④结合①中结论，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形 是正方形， ， 相交于点 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当 时， 最小，此时 ，
∴ 面积的最小值是 ，
故②正确；
③∵ ，
∴ ，
假设存在一个 ，使得 的周长是 ，
则 ，
由①得 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ， 的最小值是1，
∴存在一个 ，使得 的周长是 ．
故③正确；
④由①知： ，
∴ ，
故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
10. 一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则 _____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意列出等式，然后开平方．
【详解】解：根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念的应用是解题关键．
11. 一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断前有_______米．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折
断之前的高度．
【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，如图，∴折断的部分长为 ，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
12. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作 于点D，根据等腰三角形的三线合一性质求出 ，
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，
根据题意，得 ， ，
∴ ， ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的三线合
一的性质是解题的关键．
13. 如图，在直角 中， ， ， 是 的中点，则 的度数为______．
【答案】 ##70度
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，再
根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】 为 的中点，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能
灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14. 写出一个在函数 图象上的点的坐标______．【答案】
【解析】
【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为 ，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中
求出y值，即可得出点的坐标．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即该函数自变量的取值范围为x≠0，
当 时， ，
∴点（1，0）在该函数图象上．
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点
的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点
都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判
断点 是否在函数图象上的方法是：将点 的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的
解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
15. 根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：_______
【答案】平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形，菱形，正方形的定义，可得答案．
【详解】∵平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；
矩形的定义：由一个角是直角的平行四边形的矩形；
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；∴ ，
故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．
【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的的定义，矩形的定义，菱形的定义，
正方形的定义．
16. 正方形 的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是 ，则点C的坐标为
_____．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与 的长度，再求出 的长，然后写出点 的坐标即可．
【详解】解：∵点A的坐标是 ，
∴ ，
在
当 点 点右边时，则 ，
此时， ，
当 点在 点左边时，则 ，
此时， ，
∴点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点 的坐标求出正方形的边长是解
题的关键．
17. 如图，在 中， 于 于 、 交于
▱的延长线交于 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④
若 平分 ，则 ；其中正确的结论有______ 填序号
【答案】①②③④
【解析】
【分析】①由题意可知 是等腰直角三角形，故此可得到 ；②由
证明即可；③先证明 ，从而得到 ，然后
由平行四边形的性质可知 ；④连接 ，证 是等腰直角三角形， ，设
，得出 ，进而得出 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
即 正确；
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
，
正确；
在 和 中，
，
，
，
，
正确；
连接 ，如图：
平分 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，
，
，，④正确；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形
的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键
三、解答题
18. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
19. 如图，在平行四边形 中，已知 ， ， 平分 交 边于点 ，
求 的长度．【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，可以判定 ， 平分 ， ，
根据等量代换得到 ，证明 ，即可求出 的长．
【详解】解：在平行四边形 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
20. 用“描点法”画出函数 的图象．
解：函数 的自变量x的取值范围是 ．
x … 0 1 2 …
y
判断 是否在函数 的图象上．【答案】实数；见解析；点A、B在函数 的图象上，点C不在函数 的图象上
【解析】
【分析】一次函数的自变量取值为实数；把自变量x的值代入解析式 ，求出y的值；描点、连线
画出一次函数的图象；
把 代入解析式 ，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．
【详解】解：函数 的自变量x的取值范围是实数；
故答案为：实数；
列表：
x … 0 1 2 …
y … 1 3 5 …
描点、连线，画出一次函数的图象如图：把 代入解析式 ，
；
，
∴点A、B在函数 的图象上．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上
点的特点．
21. 如图，矩形 中， ，E为 中点，F为 边上任意一点，G，H分别为
中点，求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ．根据中点的定义求得 ．根据矩形的性质和勾股定理可求 ，再根据三角形中
位线定理可求 的长．
【详解】解：连接 ．∵E为 中点， ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
在 中， ，依据勾股定理 ，
∴ ．
∵G，H分别为 中点，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形 的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22. 星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用
的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会
报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有__________米，小红从家走到公共阅报栏用了__________分；
在
（2）小红 公共阅报栏看新闻一共用了__________分；
（3）邮亭离公共阅报栏有__________米，小红从公共阅报栏到邮亭用了__________分；
（4）小红从邮亭走回家用了__________分，平均速度是__________米／分．
【答案】 ①. 300 ②. 4 ③. 6 ④. 200 ⑤. 3 ⑥. 5 ⑦. 100
【解析】【详解】试题解析：(1)公共阅报栏离小红家有300米, 小红从家走到公共阅报栏用了4分；
(2)小红在公共阅报栏看新闻一共用了 分；
(3)邮亭离公共阅报栏有500−300=200米；小红从公共阅报栏到邮亭用了 分；
(4)小红从邮亭走回家用了18−13=5分, 平均速度是 米／秒．
故答案为
23. 是 的一条中位线，点E、F分别在 上， 的一条中线 与 交于O点，
画图并证明： 与 互相平分．
【答案】图和证明见解析
【解析】
【分析】连接 ，根据 是 的一条中位线，得到 ，根据 是
的一条中线，得到 ，根据三角形中位线定理得到 ，根据平行四边
形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的一条中位线，
∴ ，
∵ 是 的一条中线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定
理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24. 如图，将菱形 的边 和 分别延长至点E和点F，且使 ， ，连接
， ， ， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，根据矩形的判定
可证得结论；
（2）过B作 交 延长线于G，证明 和 是等边三角形得到 ，
，分别在 、 、 中，分别利用直角三角形得性质和勾股定理求
得 ， ， ， 即可．
【小问1详解】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：过B作 交 延长线于G，则 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、含30
度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作
BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝ ，求∠CBD的大小（用含 的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP， 用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并
证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠BCA＝45°，三角形的外角性质可得 ，直角
三角形的两个锐角互余即可求解；
（3）延长 交 于点 ，延长 ，交 于点 ，证明 ， 可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 ，根据 可得出结论．
【小问1详解】
补全图形，如图所示：
【小问2详解】
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝α，
∠CBD
【小问3详解】
如图，延长 交 于点 ，延长 ，交 于点 ，又 ，
，
是等腰直角三角形
，
即
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
26. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ，
时，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号．请利用上述结论解
决以下问题：(1)当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最大值为__________．
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形
ABCD面积的最小值．
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x
＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将 的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常
数即可；
（3）设S =x，已知S =4，S =9，则由等高三角形可知：S ：S =S ：S ，用含x的
△BOC △AOB △COD △BOC △COD △AOB △AOD
式子表示出S ，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加
△AOD
上常数即可．
【详解】解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵∴
∴当 时， 的最小值为2；当 时， 的最大值为-2；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S =x，已知S =4，S =9
△BOC △AOB △COD
则由等高三角形可知：S ：S =S ：S
△BOC △COD △AOB △AOD
∴x：9=4：S
△AOD
∴：S =
△AOD
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题
难度中等略大．
