文档内容
北师大附属实验中学 2021-2022 学年度第二学期期中试卷
初一年级数学
A卷
一、选择题（本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题 3
分，共 24 分）
1. 在实数－1， ，0，－ 中，最小的实数是（ ）
A. －1 B. C. 0 D. －
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的大小比较可直接进行排除选项．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴在实数－1， ，0，－ 中，最小的实数是 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较及无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较及无理数的估算是解题
的关键．
2. 如图，能判定 的条件是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理即可依次判断．
【详解】A. ，根据同位角相等，两直线平行可以判定 ；
B. ，不判定 ；
C. ，不判定 ；
D. ，不判定 ；
故选A．
【点睛】此题主要考查平行线的判定定理，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. ±3是（﹣3）2的算术平方根 B. ﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C. 的平方根是﹣3 D. ﹣3是 的一个平方根
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根、算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：A、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
B、3是（-3）2的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、 =9， 的平方根是±3，故此选项不符合题意；
D、-3是 的一个平方根，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根的概念，掌握相关定义，注意符号是解题关键．
4. 在平面直角坐标系中，点 P（0，﹣4）在（ ）
A. x轴上 B. y轴上C. 第三象限内 D. 第一、三象限的角平分线上
【答案】B
【解析】
【分析】根据在y轴上的点的横坐标为0判断即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点（0，-4）在y轴上，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟知在y轴上的点的横坐标为0．
5. 二元一次方程组 的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用加减消元法求出y的值，再代回第一个方程求出x的值即可．
【详解】解： ，
①−②得： ，解得： ，
将 代入①可得： ，解得： ，
∴方程组的解为： ，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c
【答案】C【解析】
【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可．
【详解】解：由题意可知：
A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意；
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意；
C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是 ，故是假
命题，符合题意；
D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义．
7. 若 是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入2x﹣y+2a＝0解方程即可求出a．
【详解】将x=-1，y=2代入方程2x-y+2a=0得：-2-2+2a=0，
解得：a=2．
故选B．
8. 对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b= ，a▼b= 并且定义运算顺序仍然是先做
括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（ ▲2）▼ 等于（
）
A. B. 3 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】【分析】根据新定义先计算 ▲2 ，进而计算 ▼ = ，即可求解．
【详解】依题意，a▲b= ，a▼b=
▲2 ，
，
▼ =
（ ▲2）▼ = ▼3=
故选A
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
9. 在某个电影院里，如果用 表示 排 号，那么 排 号可以表示为__________．
【答案】（2，7）
【解析】
【
分析】根据用（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
【详解】解：∵（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，
∴2排7号可以表示为（2，7），
故答案为：（2，7）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
.
10 若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方根的定义解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题考查平方根的定义：一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，熟记定义是解题的关键．
11. 如果二元一次方程组 的解为 ，则“ ”表示的数为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】把x=6代入2x+y=16求出y，然后把x，y的值代入x+y=☆求解．
【详解】解：把x=6代入2x+y=16得2×6+y=16，
解得y=4，
把 代入x+y=☆得☆=6+10=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
12. 已知点P（m，6）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） ___．
【答案】－1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标为负的特点，任取一个即可．
【详解】∵点P（m，6）在第二象限内
∴m<0
取m=－1
故答案为：－1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查点在坐标平面内各个坐标的特点，掌握这些特点，则问题便可解决．
13. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则 的度数为____________度．
【答案】75
【解析】
【分析】首先计算 的度数，再根据平行线的性质可得 ，进而可得答案．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：75．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并能灵活应用是解题关键．
14. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是
，由于 是无理数，则可直接输出．
【详解】解：输入 时，
的立方根是9，
的算术平方根是3，是有理数，
的算术平方根是 ，是无理数，
输出为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根的运算，熟练掌握立方根、算术平方根的求法，能看懂数值转换机的运算流程是解题的关键．
15. 将点 P（ 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是
______．
【答案】（0，2）
【解析】
【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】解：将点P（-2，1）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
则平移后点的坐标是（-2+2，1+1），即（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上
下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
的
16. 为了传承中华文化，激发学生 爱国情怀，提高学生的文学素养，七年级举办了“古诗词”大赛，现
有小刚、小强、小敏三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第 1，2，3 名（没有并列），
对应名次的得分都分别为 a，b，c（a＞b＞c 且 a，b，c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，
得分最高者为冠军．如下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小敏同 学第三轮的得分为______
分．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小刚 a a 24
小强 a b c 13
小敏 c b 11
【答案】1
【解析】
【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a＞b＞c且a，b，c均
为正整数确定a，b，c的值，从而确定小敏同学第三轮的得分．
【详解】解：由题意可得：（a+b+c）×6=24+13+11=48，
∴a+b+c=8，
∵a，b，c均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24，∴a 4，
又∵>a＞b＞c，
∴b+c最小取3，
∴a=5，b=2，c=1，
∴小刚同学最后得分24分，他4轮第一，2轮第二；
小强同学最后得分13分，他1轮第一，3轮第二，2轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小强第一，小敏第三，
∴第二轮比赛中小刚第二，
∴第三轮中小刚第一，小强第二，小敏第三，
的
∴小奕 第三轮比赛得1分，
故答案为：1．
【点睛】本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解
题关键．
三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
17. 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）-3 （2）
【解析】
【分析】（1）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【小问1详解】
解：
=2+5-10，
=-3
【小问2详解】
= ，=
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是将式子正确化简．
18. 求下列各式中的 值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【小问1详解】
解：∵ ，∴ ，∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根的定义，会利用平方根和立方
根解方程．
四、解方程组（本题共2小题，每小题6分，共12分）
19. 解下列方程组：
（1） （代入法）；
（2） .
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由②得y=3-2x③，把③代入①得3x-2(3-2x)=8，即可求得x的值，再把求得的x值代入③即
可求得y的值，从而得到原方程组的解；
（2）①×3+②×2即可求得x的值，再把求得的x值代入①即可求得y的值，从而得到原方程组的解．
【小问1详解】
解：
由②得y=3-2x③，
把③代入①得3x-2(3-2x)=8，
解得：x=2，
把x=2代入③得y=3-2×2，
解得：y=−1，
所以原方程组的解为： ；
【小问2详解】
①×3+②×2得19x=114，解得x=6
把x=6代入①得18+4y=16，解得 ，
所以原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，
解题的关键是掌握如何消元．
五、作图题（本题共2小题，每小题6分，共12分）20. 已知∠AOB及∠AOB内部一点P.
（1）过点P画 交OB于点C；
（2）过点P画线段PD⊥OB于点D；
（3）比较线段PC与PD的大小是 ，其依据是 .
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析； （3） ，直角三角形的斜边大于直角边．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）根据垂线的画法作图即可；
（3）根据直角三角形的斜边大于直角边可得： ．
【小问1详解】
解：根据平行线的画法：
一落：用三角板的一边落在已知直线OA上；二靠：用直尺紧靠三角板的另一边；三移：沿直尺移动三角
板，使三角板中与已知直线OA重合的边过已知点P；四画：沿过已知点P的三角板的边画直线；
作图如下：
【小问2详解】
解：根据垂线的画法：
一落：将直角三角板的一条直角边落在已知直线OB上；二移：沿已知直线OB移动三角板，使其另一个
直角边经过已知点P；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，该直线就是已知直线的垂线；
作图如下：【小问3详解】
解：如图所示：
PC是斜边，PD是直角边，
根据直角三角形的斜边大于直角边可得： ．
【点睛】本题考查作平行线，作垂线，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握平行线的画法，垂线的
画法，直角三角形的斜边大于直角边．
21. 如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点
和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.【答案】（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到 ；
（2）根据平移的性质可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，即可得到满足要求的Q点．
【详解】解：（1）如图所示，连接 ，过点C作 的平行线m，在m上截取 ，则点 就
是点 的对应点；过点A作 的平行线n，在n上截取 ，点 就是A的对应点，顺次连接得
；
（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．【点晴】本题主要考查了利用平移变换作图和平移的性质，解题的关键是要掌握平移作图的方法和熟记平
移的性质．
六、解答题（本题共3小题，22题6分，23题7分，24题7分，共20分）
22. 如图，AB CD，∠A＝70°，∠2＝35°，求∠1的度数．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，由AB CD，得∠A+∠ACD＝180°，故∠ACD＝∠1+∠2＝
180°﹣∠A＝110°，那么∠1＝75°．
【详解】解：∵AB CD，
∴∠A+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠A
＝180°﹣70°＝110°．
又∵∠ACD＝∠1+∠2，∠2＝35°，
∴∠1+∠2＝∠1+35°＝110°，
∴∠1＝75°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
23. 下表是某超市两次按原价销售牛奶和咖啡的记录单：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 销售金额（元）
30 10 1400
第一次
10 20 1300
第二次
为
（1）求牛奶与咖啡每箱原价分别 多少元？
（2）某公司后勤部去采购，发现该超市有一部分商品因保质期临近，正在进行打六折的促销活动，于是
后勤部决定采购原价或打折的咖啡和牛奶若干箱，其中采购的打折牛奶箱数是采购总箱数的 ，最后一共
花费1860元. 请问此次按原价采购的咖啡有多少箱？
【答案】（1）牛奶与咖啡每箱原价分别为30元，50元；
（2）此次按原价采购的咖啡有12箱．
【解析】
【分析】（1）设牛奶与咖啡每箱原价分别为x元，y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设牛奶与咖啡的总箱数为a，采购的打折牛奶箱数是 ，设按原价采购的咖啡有b箱，则采购原价
牛奶和打折的咖啡箱数为： ，由题意列出正确的方程，求出正整数解，进而求解即可．
【小问1详解】
解：设牛奶与咖啡每箱原价分别为x元，y元，由题意可知： ，解之得： ，
∴牛奶与咖啡每箱原价分别为30元，50元；
【小问2详解】
解：设牛奶与咖啡的总箱数为a，采购的打折牛奶箱数是 ，设按原价采购的咖啡有b箱，则采购原价
牛奶和打折的咖啡箱数为： ，
∵打折的咖啡一箱： 元，原价牛奶一箱30元，打折牛奶一箱： 元，原价咖啡一
箱50元，
∴由题意可知： ，
整理得： ，
∵a，b均为整数，
∴ 或 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
∴此次按原价采购的咖啡有12箱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组
的应用，二元一次方程的应用，根据题意列出方程（组）．
24. 已知：射线AB∥射线CD，点P是平面内一点，连接PA，PC，射线AE平分∠PAB，射线CF平分
∠PCD．
（1）如图1，若点P在线段AC上，求证：AE∥CF；
（2）若点P在线段AB所在直线的上方，且射线AE所在的直线与射线CF所在的直线相交于点Q．直接用等式表示∠APC与∠AQC的数量关系 ．
【答案】（1）见解析；（2）∠APC + 2∠AQC = 180°或 2∠AQC - ∠APC = 180°
【解析】
【分析】（1）根据平行线和角平分线的性质进行求解即可；
（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，然后分当点Q在射线AE上时，和当点Q在射线AE的反向延长
线上时，两种情况讨论求解即可.
【详解】解：（1）若点P在线段AC上，
射线AB//射线CD，
（两直线平行，内错角相等）
射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD，
， （角平分线定义）
AE//CF（内错角相等，两直线平行）
（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，
∵AB//CD，
∴∠AMP=∠DCP，
∵AE平分∠PAB，CF平分∠PCD，
， ，
∴ ，
当点Q在射线AE上时，∠AQC=∠ANC+∠PCF
（180°-∠APC），
∴ 2∠AQC - ∠APC = 180°；
当点Q在射线AE的反向延长线上时，
∵∠AQC+∠ANC+∠PCF=180°，
∴∠AQC=180°-∠ANC-∠PCF=180°- - ，
=180°- =180°-∠APC- （180°-∠APC），
∴∠APC + 2∠AQC = 180°；
∴综上所述，∠APC + 2∠AQC = 180°或2∠AQC - ∠APC = 180°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解.
B卷七、探究题（本题共3小题，25题6分，26题7分，27题7分，共20分）
25. 设a、b、c都是实数，且 ，求代数式 的值．
【答案】28
【解析】
【分析】根据非负数的性质得出 a + b -6=0， b + c+5=0，求出 a + b 、a - c 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ a + b -6=0， b + c +5=0，
∴ a + b =6，
∴b=6-a，
∵b+c+5=0，
∴(6-a)+c+5=0，
∴a - c =11，
∴3а+ b -2c
= a + b +2a-2c
= a + b +2( a - c )
=6+2×11
=28，
∴代数式3a+ b -2c的值是28．
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是求出 a + b 、 a - c 的值．
26. 对于任何实数a，可用[a] 表示不超过 a 的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分，例如：
[1.3] 1，2.6 0.4 ，
（1） ， ；
（2）在平面直角坐标系中，有一序列点 ， ， ， ，
请根据这个规律解决下面问题：
①点 的坐标是 ；
②横坐标为10的点共有 个；
③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 个，并求出这些点的横坐标之和．【答案】（1）[ ]=1， = -1；
（2）① P 的坐标为（3， -3 )，②横坐标为10的点共有21个，
10
③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）①根据题意找出点P 的坐标为 P 的坐标为 P ([n]，{ })，然后再求出点 P 的坐标即可；②根据[
n n n 10
]=10，可推出100≤ n <121，再找出其中的整数即可；③将前几个点的坐标求出，找出规律：当 n 的值
为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，再根据44< <45，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵1<2<4，
∴ ，
∴ [ ]=1，
∵ ，
∴ = -1，
∴[ ]=1， = -1；
【小问2详解】
∵P([1]，{1})，P([ ]，{ })，P([ ]，{ })，P([2]，{2})，P([ ]，{ })，可发现点 P 的
1 2 3 4 5 n
坐标为 P ([n]，{ })，
n
①根据规律可知，点 P 的坐标为（[10]，{ })，
10
∵9<10<16，∴3< <4，
∴[ ]=3，{ }= -3，
∴ P 的坐标为（3， -3 )；
10
②∵P ([n]，{ })，
n
∴当[ ]=10时，100≤ n ﹤121，其中的整数共21个，
∴横坐标为10的点共有21个；
③根据题意可得，P(1，0)，P(1， -1)，P(1， -1)，P(2，0)，P(2， -2)，P(2， )，
1 2 3 4 5 6
P(2， -1)，P(2， )，P(3，0)，P (3， -3)，……
7 8 9 10
可以发现，当 n 的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，
∵442<2022<452，
∴44< <45，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+.….+44=（1+44）×
（44÷2）=990，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是读懂题意，准确找出点的坐标规律．
27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 ，若点 Q 的坐标为 （其中 k 为常数，且
k≠0），则称 Q 是点 P 的“k 系联动点”.例如：点 的“3 系联动点”的坐标为 .
（1）点 的“2系联动点”的坐标为 ；若点P的“ 系联动点”的坐标是 ，则点P
的坐标为 ；
（2）设点 的“k系联动点”与“ 系联动点”分别为点M，N，若线段 轴，则点P的位
置分布在 ，请证明这个结论；
（3）在（2）的条件下，若MN的长度为OP的长度的3倍，求k的值.【答案】（1） ， ；
（2）点P分布在y轴上，证明见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据“k系联动点”的定义进行解答即可；
（2）根据“k系联动点”的定义得出点 的“k系联动点”和“ 系联动点”的坐标，然后根据线
段 求出 ，即点P在y轴上；
（3）由（2）可知点P在y轴上，设 ，表示出MN的长度和OP的长度，根据MN的长度为OP长
度的3倍建立方程即可求出k的值．
【小问1详解】
解：点 的“2系联动点”的坐标为 ，即 ；
设 ，则点P的“ 系联动点”的坐标为 ，
∵点P的“ 系联动点”的坐标是 ，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
【小问2详解】
解：点P分布在y轴上，
理由：∵点 的“k系联动点”与“k系联动点”分别为点M，N，
∴ ， ，∵ 轴，
∴ ，解得： ，
∵ ，∴ ，
∴点P在y轴上；
【小问3详解】
解：在（2）的条件下，可知点P在y轴上，设 ，
可知： ， ，
∵MN的长度为OP长度的3倍，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的应用，利用二元一次方程组和一元一次方程解决问题，理解“k系联
动点”定义是解决此题的关键．
