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北师大实验中学 2023-2024 学年度第一学期期中试卷
初三年级数学
考生须知
1．本试卷共8页，共3道大题，28道小题；答题纸共3页;满分100分;考试时间120分钟
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答
命题人：张蓓、杨洁、王春华 审题人：杨洁
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意;每小题
2分，共16分）
1. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
为
2. 用配方法解方程 ，原方程应变 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 中点 处建一个 基站，其覆盖半径为200m，则这
三栋楼中在该 基站覆盖范围内的是（ ）
在
A. ， ， 都不 B. 只有 C. 只有 ， D. ， ，
4. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
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A. B. C. D.
5. 如图，在 中， ， ， ．将 绕点 沿逆时针方向旋转至
的位置，此时，点 恰好在 上，则点 与点 的距离是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将 旋转，得到 ，则旋转中心是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
7. 如图，不等边 内接于 ，下列结论不成立的是（ ）
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A. B. C. D.
8. 抛物线 过 和 ，且对称轴为直线 ．现有下面四个推断：①若
，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④存在实数 ，使得 为定值．其
中推断正确的是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 点 关于原点的对称点的坐标为________．
10. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为_________．
11. 若 是一元二次方程 的一个根，则 的值为________．
12. 如图， 与 关于点 成中心对称， ，则 的长是________．
13. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是________．
14. 如图， 与直线 相离，圆心 到直线 的距离 ， ，将直线 绕点 顺时针旋转
后得到的直线 刚好与 相切于点 ，则 的半径是________．
15. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为______ °．
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16. 矩形 中， ， ，点 是 边上的一个动点，连接 ， 的角平分线
交 边于点 ，若 于点 ，连接 、 ，则 的最小值是________．
三、解答题（共12道小题，17，27，28题，每题7分，18~20，23，24题，每题5分，21题
4分，22，25，26题，每题6分，共68分）
17. 选择合适的方法解方程：
（1） ；
（2） ．
18. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于 ，求k的取值范围．
19. 如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，
．
（1）求证： ；
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（2）连接 ，若 ，求 的度数．
20. 如图， 是 上的两点， 是 的中点，求证；四边形 是菱形．
21. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应，请在坐
标系中画出 ，并写出点 的坐标；
（2）若点 是 内部任意一点，请直接写出这个点绕着点 顺时针旋转 得到的点 的坐
标．
22. 已知二次函数 ，它的图象过点 ，并且与 轴交于点 ．
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的
（1）求二次函数 解析式和点 坐标；
（2）当 时，结合函数图象，直接写出函数值 的取值范围；
（3）若直线 也经过点 ， 两点，直接写出关于 的不等式 的解集．
23. 已知： 和圆外一点 ，求作：过点 的 的切线．
作法：①作射线 ，交 于点 ， ；
②以 为圆心， 为半径作 ，以 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ；
③连接 ， ， 交 于点 ；
④作直线 ．
所以直线 为 的切线．
（1）使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： ， ，
，
．（________________）（填推理的依据）
半径 ．
直线 为 的切线．（________________）（填推理的依据）
24. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在
销售过程中发现这种商品每天的销售量 （件）与每件的销售单价 （元）满足一次函数关系：
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．
（1）当 时，每件的利润是________元，总利润为________元；
（2）若设总利润为 元，则 与 的函数关系式是________________；
（3）销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25. 如图， 是 的直径，直线 经过 上的点 ， 于点 ，交 于 ， 平分
．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， 三个点在抛物线
上．
（1）当 时，直接写出抛物线的对称轴及 和 的大小关系；
（2）若 ， ，则 的值是________；
（3）若对于任意 ，都满足 ，求 的取值范围．
27. 如图，在正方形 中，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，作
的角平分线交边 于点 ，连接 并延长交射线 于点 ，连接 ．
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图1 备用图
（1）依题意补全图1，求 的大小；
（2）写出线段 与 的数量关系，并证明；
的
（3）连接 ，点 是 中点， ，直接写出线段 的最小值．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕
点 顺时针旋转 可以得到 的弦 （ ， 分别是 ， 的对应点），则称线段 是 的
以点 为中心的“关联线段”．
（1）如图 ，点 ， ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．
在线段 ， ， 中， 的以点 为中心的“关联线段”是________；
若线段 是 的以点 为中心的“关联线段”，则点 的坐标是________；
（2）如图 ，已知点 ，若直线 上存在 的以点 为中心的“关联线段”，求出
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的取值范围．
（3）已知 中，点 ， ， ，直线 交 轴于点 ，若
的
是 以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最大值，以及此时 的值．
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