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2023年高考押题预测卷03【新高考II卷】
数学·全解全析
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D A A B C C A B ACD BC ACD ABD
1．【答案】D
【解析】集合 ，集合 ，
所以 .
故选：D
2．【答案】A
【解析】由已知可得 ，
所以复数 的共轭复数 ，
所以，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点在第一象限.
故选：A.
3．【答案】A
【解析】对于B， ， ，函数 是偶函数，B不是；
对于C， ， ，函数 是偶函数，C不是；
对于D， ， ，D不是；
对于A， ， ，函数 是奇函数，
且 ，A符合题意.
故选：A
4．【答案】B【解析】设每年应还 万元，则有 ，
得 ，
解得 ．
故选：B．
5．【答案】C
【解析】与该正方体每个面都相切的球直径为棱长： ，
与该正方体每条棱都相切的球直径为一个的面对角线： ，
过该正方体所有顶点的球的直径为体对角线： ，
，A错误； ，故C正确，B、D错误.
故选：C.
6．【答案】C
【解析】如图，过 作 交 于 ，
∴ 是 的中点.
分别过 ， 作 ， ，交 于 ， ，
因为 为平行四边形，所以 ，
且 ， ，
由此可得 .
故选：C.
7．【答案】A【解析】设 ，则 ，
由AD⊥x轴， ，可得 ，
又因为 ，则 ，
设 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，则 ，所以离心率 ．
故选：A.
8．【答案】B
【解析】由题意，当 时， 恒成立，即 恒成立，
又由 ，可得 ，
令 ，可得 ，则函数 为偶函数，
且当 时， 单调递增，
结合偶函数的对称性可得 在 上单调递减，
由 ，
化简得到 ，
即 ，所以 ，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：B.
9．【答案】ACD
【解析】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则 不是整数，则第75百分位数为从
小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；
对于B选项：线性回归方程 不一定经过点 ， ， ， 中的任何一个点，
但一定经过样本的中心点即 ，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝对值越接近于 ，所以
C选项正确；
对于D选项：因为 ，则 ，
则事件 与 相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
10．【答案】BC
【解析】由图象得： ，函数 的周期 ， ，则 ，
，即 ，而 ，则 ，因此 ，
将 的图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
即 ，于是 的最小正周期为 ，A错误；
当 时， 取最大值，即函数 的图象关于 对称，C正确，D错误；
当 时， ，函数 单调递减，B正确.
故选：BC
11．【答案】ACD【解析】对选项A：如图1，设截面为 为 中点，连接 ，设 ，则
，当 ，即 时等号成立，A正确；
对选项B：如图2， 中， ，则当 时， ，B错误；
对选项C：如图3， 为等腰直角三角形， ，将 放平得到 ，当 三点
共线时 最小， 为 中点，连接 ，则 ，
，C正确；
对选项D：由 ，可解得 或者 ，而 ，
所以 ，从而该圆锥侧面与平面 的交线必为双曲线的一部分，D正确.
故选：ACD.
12．【答案】ABD
【解析】选项A：如图1，取BC的中点G，连接C G，EG，AC ，AE，则过A，C ，E三点的平面截该
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四棱柱所得的截面为等腰梯形AC GE，理由如下：
1 1
连接 ，因为 ， 分别是 和 的中点，所以 ，
又在平行四边形 中， ，所以 ，则 ， ， ， 四点共面，因为 ，所以 ， ， ，
则等腰梯形AC GE的高 ，
1 1
所以等腰梯形AC GE的面积 ，所以A正确；
1 1
选项B：如图2，连接C F并延长，交CD的延长线于H，连接EH交AD于I，连接IF，取BB 靠近B的四
1 1
等分点Q，连接EQ，QC ，则五边形EQC FI即过C ，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面，理由如下：
1 1 1
作 的中点 ，连接 和 ，作 的中点 ，连接 和 ，
则有 ， ，所以四边形 是平行四边形，即 ，
又有 ， ， ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，即 ，则 ，
所以 ， ， ， 四点共面，
由题可知平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为Q是BB 靠近B的四等分点， 是 的中点，所以 ，
1
则 ，所以 ， ， ， ， 五点共面，所以B正确；选项C：如图3，分别取AD，CD，BC的中点M，N，G，连接DM，DN，MN，EG，C G，
1 1 1
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面AC GE，
1 1
则点P的轨迹为 ，所以点P的轨迹长度为 ，故C错误；
选项D：如图4，若动点P到棱BB 的距离为 ，则点P的轨迹长度为两个以 为半径的圆的周长的 再
1
加上两个侧棱BB 的长度，即 ，所以D正确．
1
故选：ABD.
13．【答案】
【解析】若 为奇函数，则 ，
故 ，解得 .
故答案为：1.
14．【答案】
【解析】 的展开式中，含 的项有以下两类：第一类：4个因式中有1个取到 ，其余3个都取到2，即
第二类：4个因式中有2个取到 ，其余2个都取到2，即
所以 的展开式中含 的项为 ，
故含 的项的系数为 .
故答案为：
15．【答案】
【解析】由已知得 ，
根据余弦定理和三角形面积公式，
得 ，
化简为 ，
由于 ，所以 ，
化简得 ，
即 ，
解得 ，或 （舍），
由于 ，所以 .
故答案为：
16．【答案】
【解析】取 时，可得
则，
所以 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，
令 ，代入上式可得 .
故答案为： ； .
17．【解析】（1）由 ，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ．
（2）选①，由 ， ，
则
所以 ．
选②，因为 ， ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
选③，依题意，得 ，
由 ， ，
则.
故
18．【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
是递增的等比数列且 ， ；
则 ，解得： （舍）或 ；
.
（2）由题意知： ，即 ；
假设存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ；
成等差数列， ，代入上式得： ，
，化简得： ， ，不合题意；
综上所述：不存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列.
19．【解析】（1）证明：连 交 于 ，连 ．在平行六面体 中， 且 ，
所以四边形 是平行四边形， 且 ，
又O， 分别为BD， 的中点，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，于是 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
因为 ， 都经过点O，所以O，P， 三点共线．
（2）由（1）可知 ，所以 ．
作 平面 于Q， 于E， 于F，连 ， ， ，
则 ， ，由 ，得 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
于是 ，同理 ，
又 ， ，
所以 ，则 ，所以点Q在 上，且 ，所以点Q与O重合，于是 ．
以点O为原点，分别以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ，于是 ，
又 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，于是可得 ，
不妨令 ，则 ，
平面 的一个法向量为 ，
，
又结合图形易得二面角 为锐角，
所以二面角 大小的余弦值为 ．
20．【解析】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，
所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，
设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为 ，则 ，
又 ，所以甲获胜的概率为 ，
所以已知甲队获得冠军，决赛需进行三场比赛的概率
（2）由题可得 ，所以
比赛结束需进行的场次即为 ，则 ，
设决赛总盈利为 ，则 ，
，
，
所以决赛总盈利为 的分步列如下，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时，二次函数 有最大值为 ，
所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据，
则其在前两场的投资额应为 千万元.
21．【解析】（1）当P在C的内部时，因为 等于点A到准线的距离，
所以 的最小值为P到准线的距离，可得 ，解得 ；当P在C的外部时， ，
解得 ，则C的方程为 ，此时P在C的内部，所以 ，
故抛物线C的方程为 ．
（2）依题意可知，直线AP的斜率不为0，则可设 ，
联立方程组 ，可得 ，
设 ，则 ，
设 ，由 ，可得 ，
又由由 ，可得 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为点Q在直线AP上，所以 ．
消去m得 ，即 ，
故直线l的方程为 ．
22．【解析】（1）若 ，则 ，
构建 ，则 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；则 在 上单调递减，在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
故 在 上单调递增.
（2）由题意可得：
，
则 ，即 ，
可得 ，
故原题意等价于 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
可得 在 上单调递增，故 ，
即 ，可得 ，
∵ ，则 ，
可得 ，
∵当 时，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
即对 ，均有 ，
故当 ，即 ，可得 ，故 ，
则 在 上单调递增，可得 .
故 ，即证.
