文档内容
2023 年高考物理二轮复习讲练测（新高考专用）
专题三 电场和磁场（练）
3.4 带电粒子在复合场运动
第一部分：练真题
【2022年真题】
1、（2022·广东卷·T8）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁
场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确
的有（ ）
A. 电子从N到P，电场力做正功 B. N点的电势高于P点的电势
C. 电子从M到N，洛伦兹力不做功 D. 电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
【答案】BC
【解析】
A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；
B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；
C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功；故C正确；
D．由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动
能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场
力相等，即合力相等，故D错误；
故选BC。
2、（2022·浙江1月卷·T7）如图所示，水平放置的电子秤上有一磁性玩具，玩具由哑铃状物件P和左端有
玻璃挡板的凹形底座Q构成，其重量分别为 和 。用手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠
向玻璃挡板的力，P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态（即P和Q的其余部分均不接触），P与Q间
的磁力大小为F。下列说法正确的是（ ）
的
A. Q对P 磁力大小等于
B. P对Q的磁力方向竖直向下
C. Q对电子秤的压力大小等于 ＋F
D. 电子秤对Q的支持力大小等于 ＋【答案】D
【解析】
AB．由题意可知，因手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，即Q对P有水平向
左的磁力；P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态，则说明Q对P有竖直向上的磁力，则Q对P的磁力
方向斜向左上方向，其磁力F大小大于 ，选项AB错误；
CD．对PQ的整体受力分析，竖直方向电子秤对Q的支持力大小等于 ＋ ，即Q对电子秤的压力大小等于
＋ ，选项C错误，D正确。
故选D。
3、（2022·浙江1月卷·T22）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为
圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里
的匀强电场和磁感应强度大小恒为B、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y
1
轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸
面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区
域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接
收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。
0
当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能E，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v的大小范围；
km 0
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小 ，区域Ⅱ的磁感应强度大小 ，求被探测到的电子刚
从板M逸出时速度v的大小及与x轴的夹角 ；
M
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E
和区域Ⅱ的磁感应强度B，求E的最大值和B的最大值。
2 2
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）
；
【解析】
（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能；
（2）速度选择器
如图所示，几何关系
（3）由上述表达式可得
由
可得4、（2022·浙江6月卷·T22）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直
xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂
直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x
轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v的离子进入转筒，经磁
0
场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的
重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v的离子能打在Q板的A处，求转筒P角速度ω的大小；
0
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一
周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于 ，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（为探测点位
置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）① ，② ，k = 0，1，2，3…；（2） ，n =
0，1，2，…；（3） ，
【解析】
（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为 ，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1， ，n = 0，2
可得
，
5、（2022·山东卷·T17）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高
能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场I，磁感应
强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为 ，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质
量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度方向与 轴
正方向夹角为 ，在在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的位
置坐标（用 表示）；
（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽略
离子间相互作用）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（ ， ， ）；（4）
【解析】
（1）如图所示
将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子沿
轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有联立解得
（2）如图所示
离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得
离子经过磁场I偏转后从 轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿z轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的 坐标为
离子第四次穿过 平面的 坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（ ， ， ）
（4）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I中的轨迹半径为
离子甲在磁场II中的轨迹半径为
离子乙在磁场I中的轨迹半径为离子乙在磁场II中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
的
从 点进入磁场到第一个交点 过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点 的时间差为
6、（2022·湖南卷·T13）如图，两个定值电阻的阻值分别为 和 ，直流电源的内阻不计，平行板电容器
两极板水平放置，板间距离为 ，板长为 ，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为 、带电量为
的小球以初速度 沿水平方向从电容器下板左侧边缘 点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板
右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为 ，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势 ；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度 ；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）小球在电磁场中作匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为 ，根据几何关系
解得
根据
解得（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为 ，要使小球做直线运动，当小球所
受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得
解得
7、（2022·北京卷·T20）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。
现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电
线中间位置的速度约 ，电压表的最大示数约 。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小 。
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q
流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为
n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B。
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。
20．（12分）
【解析】
（1）由 可估算得该处地磁场磁感应强度 的大小的数量级为 。
（2）设导电电子定向移动的速率为v， 时间内通过横截面的电量为 ，
有
导电电子定向移动过程中，在 方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有
得
（3）如答图3建立三维直角坐标系 。设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为 。把金属薄
片置于 平面内，M、N两极间产生电压 仅取决于 。
答图3
由（2）得
由 的正负（M、N两极电势的高低）和电流I的方向可以确定 的方向。
同理，把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和方向；把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和
方向。
地磁场的磁感应强度的大小为 。
根据 的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。
【2021年真题】
1、（2021·福建卷·T2）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场
的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（ ）以速度 自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线
做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒子均不考虑
重力的影响）
A．以速度 的射入的正电子
B．以速度 射入的电子C．以速度 射入的核
D．以速度 射入的a粒子
【答案】B
【解析】
质子（ ）以速度 自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力和电场力，
满足
解得
即质子的速度满足速度选择器的条件；
A．以速度 的射入的正电子 ，所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A错误；
B．以速度 射入的电子 ，依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择题不选择电性
而只选择速度，故B正确；
C．以速度 射入的核 ，以速度 射入的a粒子 ，其速度都不满足速度选器的条件 ，故都
不能做匀速直线运动，故CD错误；
故选B。
2、（2021·山东卷·T17）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐
标面点O，其内充满垂直于 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂
直交于 点，右边界与x轴垂直交于 点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右
边界，其中心C与 点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，如速后沿x轴正方向过Q点，
依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为 。忽略
离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且
平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动
后C到 的距离s。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试
板中心C的时间为t，y方向的位移为地 ，加速度大小为a，由牛顿第二定律得
由运动的合成与分解得
， ，
联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为 ，圆
周运动半径为 ，运动轨迹长度为 ，由几何关系得
，
离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有C到 的距离
联立得
3、 （2021·浙江省6月卷·T23）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔
的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立
方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体
内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量 和 随时间周期性变化规律如
图乙所示，图中 可调。氙离子（ ）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进
入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v。已知
0
单个离子的质量为m、电荷量为 ，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且
。求图乙中 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，方向沿z轴负方向
【解析】
（1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，根据动能定理有解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有
此时 ；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故 的取值范围为 ；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有且满足
所以可得
所以可得
离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z轴负方向。
4、（2021·天津卷·T13）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料
厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由
电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和
p。当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小
为B，沿 方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿 方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛
伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率介别为 、 ，求 时间内运动到半导
体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
【答案】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿 方向；（2） ；（3）见解析所示
【解析】
（1）自由电子受到的洛伦兹力沿 方向；
（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有设自由电子在x方向上定向移动速率为 ，可导出自由电子的电流微观表达式为
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
霍尔电场力大小为
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为
（3）设 时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则
霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相
等、方向相反。
5、（2021·辽宁卷·T15）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在
x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，
进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。
（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到
下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与
原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径R=a，则
则
粒子从S到O，有动能定理可得
可得
（2）甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为 、 ，取向上为正，则有
计算可得
，
两粒子碰后在磁场中运动
，
解得
，
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为
，
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在磁场
中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示
设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了 ，由余弦定理可得
解得
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移
6、（2021·江苏卷·T15）如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为
B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O
做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏
转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为 ，当M、N间
加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不
计M、N间的距离。求：
（1）粒子加速到P点所需要的时间t；
（2）极板N的最大厚度 ；
（3）磁场区域的最大半径 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）设粒子在P的速度大小为 ，则根据
可知半径表达式为
根据动能定理粒子在静电场中加速有
粒子在磁场中运动的周期为
粒子运动的总时间为
解得
（2）由粒子的运动半径 ，结合动能表达式 变形得
则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为
，由几何关系
结合且 解得
（3）设粒子在偏转器中的运动半径为 ，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共
同提供向心力
设粒子离开偏转器的点为 ，圆周运动的圆心为 。由题意知， 在 上，且粒子飞离磁场的点与 、
在一条直线上
粒子在偏转器中运动的圆心在 点，从偏转器飞出，即从 点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子
的运动半径又变为 ，然后轨迹发生偏离，从偏转器的 点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为
将等腰三角形 放大如图
虚线为从 点向 所引垂线，虚线平分 角，则
解得最大半径为7、（2021·湖南卷·T13）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个
粒子的质量为 、电荷量为 ）以初速度 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为 的带电粒子流沿 轴正方向射入圆心为 、半径为 的圆形匀强磁场中，
若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 ，求该磁场磁感应强度 的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于 的正方形，其几何中心位于 。在虚线框内设计一个区域面
积最小的匀强磁场，使汇聚到 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为 ，并沿 轴正方向射出。求该磁场
磁感应强度 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于 的正方形。在Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为 的带电粒子流沿 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后
汇聚到坐标原点 ，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为 ，并沿 轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。
求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
【答案】（ 1） ；（2） ，垂直与纸面向里， ；（3） ， ，
，
【解析】
（1）粒子垂直 进入圆形磁场，在坐标原点 汇聚，满足磁聚焦 的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆
形磁场的半径 ，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力解得
（2）粒子从 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的 点飞入然后平行 轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在
下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁
场区域
磁场半径为 ，根据 可知磁感应强度为
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为
（3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周
根据 可知I和III中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周 与三角形 之差，所以阴影部分的面积为
类似地可知IV区域的阴影部分面积为
根据对称性可知II中的匀强磁场面积为
8、（2021·河北卷·T14）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大
小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 、带正电的粒
子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板 与正极板成 倾斜放置，用于吸收打在其上
的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收
从上方打入的粒子， 长度为 ，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压 的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 上，求电压的最小值 ；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（ ，H、S两点末
在图中标出）、对于粒子靶在 区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n
（ ）种能量的粒子，求 和 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】
（1）从O点射出的粒子在板间被加速，则
在
粒子 磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，
则
从O点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v，则
0
由几何关系可知
联立解得（3）设粒子第一次经过电场加速，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为r，若粒子在电场加速电压小于
0
U ，粒子穿过磁场在正极板下方磁场运动时，会被OM板吸收。则第一次出现能吸收到两种能量的位置（即H
min
点），为粒子通过极板电压 时，粒子第二次从上方打到负极板的位置（轨迹如图中蓝色线条所
示）。由（2）的计算可知
则
极板电压大于 时，粒子均不会被OM吸收，可以经过正极板下方磁场偏转，回到负极板上方磁场
中，偏转后打在负极板上。则H点右方的点的粒子靶都可以接受到n（ ）种能量的粒子。即 。
9、（2021·广东卷·T14）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，
圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强
磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能 从圆b上P点沿
径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b
半径为R，圆c半径为 ，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取 。
（1）当 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角 均为45°，
最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间
及在Q点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当 时，要保证电子从出射区
域出射，求k的最大值。【答案】（1） ， ， ；（2）
【解析】
（1）电子在电场中加速有
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得
联立解得
在磁场Ⅰ中的运动周期为
由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为
在磁场Ⅰ中的运动时间为
联立解得
从Q点出来的动能为
（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为 ，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得解得
由于
联立解得
10、（2021·全国甲卷·T25）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M
处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直
纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为
v的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与
0
挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子运动轨迹见解析，
【解析】
（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P点的距离④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
11、（2021·北京卷·T18）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直
的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电
荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间 的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距
离为d，求该粒子离开N时的动能 。
【答案】（1） ；（2） ，方向垂直导体板向下；（3）
【解析】
（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
12、（2021·浙江1月卷·T23）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入
工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经
偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度
大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向
上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R和R的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一
1 2
个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其速度选择器底面与晶圆所在水平面平
行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴
垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很
小。当α很小时，有 ， 。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆 的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
【答案】(1) ， ；(2)（ ，0）；(3)（0， ）；(4)见解析
【解析】
(1)通过速度选择器离子的速度从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为
由 得
(2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离
离开电场后，离子在x方向偏移的距离
位置坐标为( ，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
经过磁场后，离子在y方向偏转距离
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
则位置坐标为(0， )
(4)注入晶圆的位置坐标为( ， ),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。
13、（2021·重庆卷·T14）（18分）如图1所示的Oxy竖直平面内，在原点O有一粒子源，可沿x轴正方向
发射速度不同、比荷均为q/m的带正电的粒子。在x≥L的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；x＜L的区域
仅有如图2所示的电场，0~t时间内和2t 时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（0~t时间内电场方向竖直
0 0 0
向下），t~2t时间内电场强度为零。在磁场左边界x=L直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）。
0 0
0时刻发射的A粒子在t0时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B粒子在t0/3时刻以与A粒子相同的
发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为（L，-4L/9）；C粒子在t0时刻发射，其发射速度是A粒
子发射速度的1/4，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界效应。
（1）求电场强度E的大小；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）设2t 时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
0
【解析】(1)设A粒子发射速度为v，分别画出ABC粒子运动轨迹。
根据题述可知，L=vt，
0
对B粒子沿y方向运动，
qE=ma，
联立解得：E=
（2）设收集器的位置坐标为（L，y），对C粒子，L=0.25v·4t，y=
0
对A粒子，L=vt，y’=
0
A粒子进入磁场时沿x方向分速度为v=v= ，沿y方向分速度，v=at=
x y 0
tanθ= =1，
2rcosθ=y+y’=5at2=5L
0
解得r=
A粒子进入磁场时的速度v= v，
A
由洛伦兹力提供向心力，qvB=m
A
解得 B= 。
（3）设2t 时刻发射的粒子速度为v ，经电场偏转后直接被收集器收集，如图，则有 = ，
0 1
解得v=
1
设2t 时刻发射的粒子速度为v，先经电场偏转，后进入磁场偏转后被收集器收集，如图。L=vt，
0 2 2
y’= ,
y=y’+2r’cosα，
qv’B=m ，
v’cosα=v，
2
联立解得：v= ，v’=
2 2所有可能的发射速度为： ， ， 。
【2020年真题】
1、（2020·海南卷·T18）如图，虚线MN左侧有一个正三角形ABC，C点在MN上，AB与MN平行，该三角形区
域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；MN右侧的整个区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电的离
子（重力不计）以初速度 从AB的中点O沿OC方向射入三角形区域，偏转 后从MN上的Р点（图中未画
出）进入MN右侧区域，偏转后恰能回到O点。已知离子的质量为m，电荷量为q，正三角形的边长为d：
(1)求三角形区域内磁场的磁感应强度；
(2)求离子从O点射入到返回O点所需要的时间；
(3)若原三角形区域存在的是一磁感应强度大小与原来相等的恒磁场，将MN右侧磁场变为一个与MN相切于P
点的圆形匀强磁场让离子从P点射入圆形磁场，速度大小仍为 ，方向垂直于BC，始终在纸面内运动，到达
О点时的速度方向与OC成 角，求圆形磁场的磁感应强度。
【答案】(1) ；(2) ；(3)见解析
【解析】
(1)画出粒子运动轨迹如图
粒子在三角形ABC中运动时，有又粒子出三角形磁场时偏转 ，由几何关系可知
联立解得
(2)粒子从D运动到P，由几何关系可知
运动时间
粒子在MN右侧运动的半径为
则有
运动时间
故粒子从O点射入到返回O点所需要的时间
(3)若三角形ABC区域磁场方向向里，则粒子运动轨迹如图中①所示，有解得
此时根据 有
若三角形ABC区域磁场方向向外，则粒子运动轨迹如图中②所示，有
解得
此时根据 有
2、（2020·浙江1月卷·T21）如图甲所示，在 水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，
其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R两端的电压。两
导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。 时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从
。位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取
，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用 图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力 随时间t的变化规律；
（2）求在0至0.25T时间内外力F的冲量；
（3）若 时外力 ，求外力与安培力大小
相等时棒的位置坐标和速度。
【答案】(1)
(2)
(3) 和 ； 和
【解析】
（1）由显示的波形可得
安培力随时间变化规律：
（2）安培力的冲量：
由动量定理，有：
解得：
（3）棒做简谐运动，有：当 时：
当 时，设 ，
根据动能定理：
解得： 和 ； 和
3、（2020·浙江1月卷·T22）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上
质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（ ）的 衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时
放出质量可视为零的反中微子 。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸
面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度 以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距
离 为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。
已知电子质量 ，中子质量 ，质子质量
（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量 。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以 为能量单位）；
（2）当 ， 时，求计数率；
（3）若 取不同的值，可通过调节 的大小获得与（2）问中同样的计数率，求 与 的关系并给出 的范
围。【答案】(1) (2) (3)
【解析】
（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
核反应过程中：
根据动量和动能关系：
则总动能为：
（2）质子运动半径：
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
可得质子计数率为：
（3）在确保计数率为 的情况下：即：
如图乙所示：
恰能打到探测板左端的条件为：
即：
4、（2020·江苏卷·T23）空间存在两个垂直于 平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别
为 、 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2
次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，
电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔 ；
(3)乙的比荷 可能的最小值。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】
(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，，
Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，
所以，再次经过P点的时间为
由匀速圆周运动的规律得，
绕一周的时间为：
解得：
所以，再次经过P点的时间为
两次经过P点 的时间间隔为：
解得：
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得，若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则：
结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则：
计算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷 最小，为
5、（2020·浙江7月卷·T23）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形 、
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移
动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入磁场，
b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘
D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为 ，探测板 的宽度为 ，离子
质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界 时与H点的距离s；(2)求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到 距离L的关
系。
【 答 案 】 (1) ， 0.8R； (2) ； (3) 当 时 ： ； 当
时： ；当 时：
【解析】
(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界 边的Q点射出，则由几何关系可得
，
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界 边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为 、 ，由几何关系可得的
探测到三束离子，则c束中 离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界 的距离最大，
则
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量
当 时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当 时， 只有b和c束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当 时， 只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
6、（2020·全国II卷·T17）CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探
测。图（a）是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中M、N
之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方
向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为P点。则（ ）
A. M处的电势高于N处的电势
B. 增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C. 偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D. 增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【解析】A．由于电子带负电，要在MN间加速则MN间电场方向由N指向M，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知M的电势低于N的电势，故A错误；
B．增大加速电压则根据
可知会增大到达偏转磁场的速度；又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有
可得
可知会增大在偏转磁场中的偏转半径，由于磁场宽度相同，故根据几何关系可知会减小偏转的角度，故P点会
右移，故B错误；
C．电子在偏转电场中做圆周运动，向下偏转，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故C错误；
D．由B选项的分析可知，当其它条件不变时，增大偏转磁场磁感应强度会减小半径，从而增大偏转角度，使
P点左移，故D正确。
故选D。
7、（2020·山东卷·T17）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压
为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，
a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴， 向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，
以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域I、Ⅱ内分别
充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷
量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电
场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
(2)求粒子打到记录板上位置的x坐标；
(3)求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；
(4)如图乙所示，在记录板上得到三个点s、s、s，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请
1 2 3
写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
【 答 案 】 (1) ； (2) ； (3)
；(4)s、s、s分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置
1 2 3
【解析】
(1)设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为α，在M、N两金属板间，由动能定理得
qU= mv2 ①
在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得
②
联立①②式得
③
由几何关系得
④
⑤
⑥
联立①②④式得
⑦
(2)设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为v，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，
z
由牛顿第二定律得
qE=ma ⑧
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
⑨
⑩
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
⑪
联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得
⑫
(3)设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得
y'=vtsinα ⑬
由题意得
y=L+y' ⑭
联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式⑮
(4)s、s、s分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置。
1 2 3
8、（2020·北京卷·T19）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线 ，与导线同轴放置一半径为 的金
属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为 ，电荷量为 。不考虑出射电子间的
相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与 平行的匀强磁场。
当电压为 或磁感应强度为 时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度 。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为 、长度为 的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射
电子形成的电流为 ，电子流对该金属片的压强为 。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
【答案】（1） ， ；（2） 。
【解析】
（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压 ，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根据动能定理有
解得
b.在柱面内，只加与 平行的匀强磁场，磁感应强度为 时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半径
为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力，则有解得
（2）撤去柱面，设单位长度射出电子数为N，则单位时间都到柱面的粒子数为
金属片上电流
根据动量定理有
解得
故总动能为
第二部分：练新题
1、（2023届·山东莒南县一中高三上学期开学考试）如图所示，两水平金属板构成的器件中同时存在着匀强
电场和匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。一带电粒子以某一水平速度从P点射入，恰好能沿直
线运动，不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子一定带正电
B. 粒子的速度大小v=
C. 若粒子速度大小改变，则粒子将做曲线运动
D. 若粒子速度大小改变，则电场对粒子的作用力会发生变化
【答案】C
【解析】
A．粒子做直线运动，竖直方向受力平衡，如果粒子带正电，则电场力向下，洛伦兹力向上，如果粒子带负电，
则电场力向上，洛伦兹力向下，故粒子电性不确定，故A错误；
B．根据平衡条件得
qvB=qE
解得v=
故B错误；
CD．若粒子速度大小改变，则洛伦兹力大小改变，故粒子将做曲线运动，电场力做功，粒子速度大小改变，
但电场力不变，故C正确，D错误。
故选C。
2、（2023届·浙江名校协作体高三上学期开学考试）如图所示，图甲为速度选择器原理示意图，图乙为质谱
仪原理示意图，图丙和图丁分别为多级直线加速器和回旋加速器的原理示意图，忽略粒子在图丁的D形盒狭
缝中的加速时间。下列说法正确的是（ ）
A. 图甲中，只有具有速度 的粒子才能沿图中虚线路径经过速度选择器
B. 图乙中， 、 、 三种粒子经加速电场射入磁场， 在磁场中偏转半径最大
C. 图丙中，由于技术上产生过高的电压是很困难的，为了使粒子获得更高的能量，所以采用多级直线加速装
置
D. 图丁中，随着粒子速度的增大，交流电源的频率也应该增大
【答案】ABC
【解析】
A．图甲中，当粒子沿直线通过时，满足
即
即只有具有速度
的粒子才能沿图中虚线路径经过速度选择器，选项A正确；
B．图乙中， 、 、 三种粒子经加速电场射入磁场，则由解得
因为 的 最大，则在磁场中偏转半径最大，选项B正确；
C．图丙中，由于技术上产生过高的电压是很困难的，为了使粒子获得更高的能量，所以采用多级直线加速装
置，选项C正确；
D．图丁中，由于
可知，随着粒子速度的增大，粒子在磁场中运动的周期不变，则交流电源的频率也是不变的，选项D错误。
故选ABC。
3、（2023届·人大附中高三上学期开学考试）如图所示，将非磁性材料制成的圆管置于匀强磁场中，当含有
大量正负离子的导电液体从管中由左向右流过磁场区域时，测得管两侧M、N两点之间有电势差U。忽略离子
重力影响，则（ ）
A. M点的电势高于N点
B. N点的电势高于M点
C. 管中导电液体的流速越大，M、N两点之间的电势差U越大
D. 管中导电液体的离子浓度越大，M、N两点之间的电势差U越大
【答案】AC
【解析】
A B．管中的导电液体从管中由左向右流过磁场区域时，由左手定则带电液体在洛伦兹力的作用下，带正电的
液体向上偏，带负电的液体向下偏，使管上壁带正电、下壁带负电，所以M点的电势高于N点，A正确，B
错误；
C D．两管壁最后电压稳定时，则有电场力与洛伦兹力平衡
管中导电液体的流速越大，M、N两点之间的电势差U越大，C正确，与液体离子浓度无关，D错误。
故选AC。4、（2023届·山东济南市高三上学期开学考试）质谱仪可用来分析带电粒子的基本性质，其示意图如图所示，
其中加速电压恒定。带电粒子从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后打在荧光屏上。图中虚线为 粒
子（ ）和某未知带电粒子在质谱仪中的运动轨迹，下列判断正确的是（ ）
A. 未知带电粒子的比荷一定大于 粒子的比荷
B. 未知带电粒子的比荷一定小于 粒子的比荷
C. 未知带电粒子的电荷量一定大于 粒子的电荷量
D. 未知带电粒子的电荷量一定小于 粒子的电荷量
【答案】A
【解析】
粒子加速过程中，由动能定理得
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
由于未知粒子半径小，则比荷大，而电荷量无法比较，故A正确，BCD错误。
故选A。
5、（2023届·山东临沂市高三上学期开学考试）如图所示，竖直面内有 三个点，分布在半径为
R、圆心为O的同一圆周上，A点为圆周上的最低点， 。空间有一方向与圆面平行的匀强电场
（图中未画出），若从A点竖直向上以速度 抛出一个质量为m、电荷量为 的小球，经时间 小球恰好
沿 方向打在B点；若保持电场强度的大小不变，将其逆时针转过角θ，同时施加一垂直于圆面向外的匀强
磁场，仍将该小球从A点竖直向上以速度 抛出，小球恰好做圆周运动。已知小球与圆弧面的碰撞为弹性碰
撞，经时间 小球恰好打在B点，重力加速度为g。
（1）求小球由A点运动到B点的时间 ；
（2）求小球由A点运动到B点的时间 及所施加磁场的磁感应强度的大小。【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
（1）未施加磁场时，小球从A点竖直向上抛出，最终恰好沿 方向打在B点，可知小球在重力和恒定电场
力的作用下做类斜抛运动，因为 与 关于 的角平分线对称，根据类斜抛运动的特点可知，小球打
在B点时的速度大小也为 ，重力和电场力的合力沿 的角平分线，因为施加磁场后小球做匀速圆周运
动，所以小球受到的重力与电场力大小相等，故未施加磁场时，小球受到的重力和电场力的合力等于 ，小
球在沿合力方向做匀变速直线运动，由牛顿第二定律有
小球沿合力方向的初速度大小
根据类斜抛运动的对称性可知小球从A点运动到B点的时间
（2）施加垂直于圆面向外的匀强磁场后小球做圆周运动，可知小球受到的重力和电场力平衡，洛伦兹力提供
向心力，有
将圆弧 平均分成n段，设小球与圆弧面碰撞 次后到达B点。作出 和 时的情形如图
所示，其中
。
设轨迹某一段所对应圆弧 上的圆心角为 ，则有则小球做圆周运动的轨迹半径
运动时间
解得
，
6、（2023届·河北沧州市高三上学期开学考试）如图所示，坐标系xOyz的xoy平面内内有竖直向上的匀强电
场，yoz左侧区域内既有沿x轴负方向的匀强磁场，又有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度与第一象限内的
电场强度等大。现有一质量为m、电荷量为 的粒子从x轴上的P点，以初速度 沿x轴负方向进入
第一象限，经y轴上的Q点进入第二象限内，在以后的运动过程中恰好未从x轴上飞出电磁场。已知P、Q到
坐标原点O的距离分别为2d、d，不计粒子重力，求：
（1）电场强度的大小及粒子到达Q点时速度的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）粒子在电磁场区域第二次经过x轴的位置到坐标原点O的距离。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】
（1）粒子在第一象限做类平抛运动联立解得
（2）在y轴方向上，粒子做匀速圆周运动
联立解得
（3）粒子在第二象限中第二次经过x轴沿y轴方向，转过 个圆周，因此
圆周运动的周期
沿x轴方向做匀加速直线运动
联立解得
7、（2023届·人大附中高三上学期开学考试）如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可
视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场，带电量为+q、质量为m的粒子，由静止开始从
正极板出发，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动，忽略重力的影响，求：（1）匀强电场场强E的大小；
（2）粒子从电场射出时速度ν的大小；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）根据匀强电场电势差和电场强度的关系得，匀强电场场强E的大小
（2）设带电粒子出电场时速度为v，由动能定理得
解得粒子从电场射出时速度ν的大小
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
联立得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
8、（2023届·北京交大附中高三上学期开学考试）如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电
场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场，带电量为+q、质量为m的粒子，由静止开
始从正极板出发，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动，忽略重力的影响，求：
（1）匀强电场场强E的大小；
（2）粒子从电场射出时速度ν的大小；（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）根据匀强电场电势差和电场强度的关系得，匀强电场场强E的大小
（2）设带电粒子出电场时速度为v，由动能定理得
解得粒子从电场射出时速度ν的大小
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
联立得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
9、（2023届·浙江浙里卷天下高三上学期开学考试）如图所示为一实验装置的剖面图，左侧为电压可以控制
的加速电场。在加速电场右侧有相距为d、长也为d的两平行金属板构成的区域，区域内存在方向垂直纸面向
外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场的右边界与荧光屏P之间的距离为2d。荧光屏中点O与加速电
极上两小孔S、S 位于两板的中轴线上。在中轴线正下方d位置有另一块荧光屏Q，两块荧光屏的宽度均为
1 2
2d。现从S 连续注入质量为m、电荷量为+q且初速可视为零的粒子，经 的加速电场后从小孔S
1 2
射出再经磁场偏转后，打到荧光屏Q上。不计带电粒子的重力与各粒子间的相互作用。求：
（1）带电粒子打到荧光屏Q的具体位置；
（2）若撤去两平行金属板间的磁场，加上平行纸面且垂直两金属板、电场强度为E 的匀强电场，判断能否使
0
粒子打到荧光屏Q的同一点；
（3）若撤去两平行金属板间的磁场，在三角形ABD区域加上磁感强度大小和方向与两平行金属板间磁场皆相
同的磁场，加速电压的数值可在 区间中调节，粒子打在荧光屏Q上的距A的最远距离和
荧光屏P上的分布区间。【答案】（1）距离A点 ；（2）不能；（3）见解析
【解析】
（1）带电粒子在加速电场中
在磁场中偏转，洛伦磁力提供向心力
解得
由几何知识，可知该粒子离开磁场时，在竖直方向偏转的位移为
即粒子恰好从下极板边缘射出，速度与水平方向夹角α满足
由几何知识，可得打在荧光屏Q上的位置到A点的距离为
（2）根据平抛运动的规律，离开电场时速度的反向延长线过水平位移的中点，若粒子打在相同的位置，满足
则
即已经打到下极板，所以不存在这样的电压值。（3）a.加速电压的数值可以在位于区间 ，对应粒子的速度范围为 ，粒子
在三角形ABD磁场中对应的半径区间为 ，当粒子轨迹和BD相切时，打在Q屏上距离A点最远，由几
何关系得
解得此时圆周运动半径为
打在荧光屏Q上距离A点的最远距离为
b.当粒子轨迹半径大于 时，粒子射出磁场，打在荧光屏P上。当粒子轨迹半径最大时，粒子打
在P上的位置距离B点最远。粒子最大轨迹半径为5d，以AB为x轴，A为原点建立坐标系，圆方程的圆心坐
标为（0，-4d），圆方程为
BD所在的直线方程为
y=-x+2d
解出圆与直线的交点
粒子离开磁场后沿直线运动，该直线方程为
x=2d时，可求出荧光屏P上粒子击中区域距离B点的最大距离为
则粒子打在荧光屏P上距离B点 以内的区域
10、（2023届·浙江名校协作体高三上学期开学考试）如图所示，在纸面内存在一半径为R的圆形区域，区
域内、外分别存在大小不同，方向均垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小关系为 。圆心O
处有一粒子源，可以在平面内向各个方向发射速度大小均为v的 粒子（即电子），其电量为 ，质量为
m。现以O点为原点，建立x坐标轴，其中沿与x轴正方向成 角发射的粒子A，恰好可以经过x轴上的P点（图中未标出）。已知圆形区域内磁场的磁感应强度 ，不考虑粒子之间的作用力。求：
（1） 粒子在圆形磁场区域内运动的轨迹半径r；
（2）有粒子可能出现的区域的面积；
（3）粒子A从原点O点发射至返回原点O且速度方向与出发时方向相同所经历的时间t；
（4）P点的坐标 。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，其中n取正整数；（4）见解析
【解析】
（1）由洛伦兹力提供向心力，则有
得
（2）由 得
粒子的部分运动轨迹如下图1所示
根据几何关系所以
中由余弦定理得
粒子运动到离O点最远的点N（连心线与圆 的交点）
所以粒子可能出现的区域的面积
（3）粒子第一次回到O点的运动轨迹如下图2所示
运动总时间
第一次回到O点，速度方向绕O点顺时针转过 ，所以回到O点且第一次速度方向与发射时方向相同经历
时间
考虑到运动的周期性其中n取正整数
（4）如图1
中，由勾股定理得
得
粒子在 磁场中做圆周运动的轨迹的圆心的轨迹为以O为圆心 为半径的圆，粒子A在 磁场中
做圆周运动的轨迹的圆心只能是上述圆的六个等分点（ 为其中一点），分别以这六个等分点为圆心以
为半径作圆，与x轴会有4个交点，如图2所示
其中
由对称性可知
