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培优点 7 概率与统计的创新问题
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，
主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判
断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
考点一 概率和数列的综合
例1 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以
赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A，A，A 中的一
1 2 3
个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B，B 中的一个．
1 2
(1)记事件E ：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A ，A ，A 玩偶；事件F ：一次性购
n 1 2 3 n
买n个乙系列盲盒后集齐B，B 玩偶．求概率P(E)及P(F)；
1 2 5 4
(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买
时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系
列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率
为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙
系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Q.
n
①求{Q}的通项公式；
n
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估
计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
解 (1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A ，A ，A 玩偶，
1 2 3
则有两种情况：
①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有CCA种结果；
②其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有CCC种结果，
故P(E)＝＝＝＝；
5
若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B 与全部为B 的概率相等，均为，
1 2
故P(F)＝1－－＝.
4
(2)①由题可知，Q＝，
1
当n≥2时，
Q＝Q ＋(1－Q )＝－Q ，
n n－1 n－1 n－1
则Q－＝－，Q－＝，
n 1
即是以为首项，以－为公比的等比数列．
所以Q－＝×n－1，
n
即Q＝＋×n－1.
n
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→＋∞，所以其购买甲系列的概率近似于，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ～B，
所以E(ξ)＝100×＝40，即购买甲系列盲盒的人数的均值为40，所以礼品店应准备甲系列盲
盒40个，乙系列盲盒60个．
规律方法 本题的关键是通过审题，找到第n次购买与前一次购买之间的联系，从而找到数
列的递推关系．
跟踪演练1 (2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，
每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是
白球，则该轮记为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，
在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽
球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有 1 000名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记 t
表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
求y关于t的线性回归方程y ＝＋a，并预测成功的总人数(精确到1)；
(3)证明：＋＋＋…＋…<.
附：线性回归方程系数：b ＝，a ＝－b；
参考数据：＝1.46，＝0.46，2＝0.212(其中x＝，＝)．
i i
(1)解 由题知，X的取值可能为1,2,3，
所以P(X＝1)＝2＝；
P(X＝2)＝2＝；
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
(2)解 令x＝，则y＝bx＋a，
i
由题知 y＝315，＝90，
i i
所以b＝
＝＝＝270，
所以a＝90－270×0.46＝－34.2，y＝270x－34.2，故所求的线性回归方程为y＝－34.2，
所以估计t＝6时，y≈11；
估计t＝7时，y≈4；
估计t≥8时，y<0，
预测成功的总人数为450＋11＋4＝465.
(3)证明 由题知，在前n轮就成功的概率为
P＝＋＋＋…＋…，
又因为在前n轮没有成功的概率为
1－P＝××…×
＝×××…××××
＝××××…××××＝＝＝＋>，
故＋＋＋…＋…<.
考点二 概率和函数的综合
例2 (2022·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．为了弘扬中国优
秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛
规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少
于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决
赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各 5幅，
其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛
中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对
该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的
次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？
解 (1)由题可知，所有可能的情况如下，
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率
P＝＝，
1
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率
P＝＝，
2
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率
P＝＝，
3
故所求概率P＝＋＋＝.
(2)设强化训练后，规定作品入选的概率为p，创意作品入选的概率为p，
1 2
则p＋p＝＋＋＝，
1 2
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为P＝Cp(1－p)·Cp＋Cp·Cp(1－p)＋Cp·Cp＝2pp(p＋p)－3(pp)2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
＝3pp－3(pp)2，
1 2 1 2
∵p＋p＝，
1 2
且p≥，p≥，
1 2
即－p≥，－p≥，
2 1
即p≤，p≤，
2 1
故可得≤p≤，≤p≤，
1 2
pp＝p＝－2＋，
1 2 1
∴pp∈，令pp＝t，
1 2 1 2
则P(t)＝－3t2＋3t＝－32＋在上单调递减，
∴P(t)≤P＝－3×2＋<.
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B(5，P)，
∴E(X)＝5P<5×＝<4，故该同学没有希望进入决赛．
易错提醒 构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的
限制．
跟踪演练2 (2022·新余模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一
项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，
获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获
胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛
获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为
p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比
赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为
f(p)．求p为何值时，f(p)取得最大值．
解 (1)X可取5,6,7,8,9,10，
P(X＝5)＝C×5＝，
P(X＝6)＝C××4＝，
P(X＝7)＝C×2×3＝，
P(X＝8)＝C×3×2＝，
P(X＝9)＝C×4×＝，
P(X＝10)＝C×5＝，
分布列为
X 5 6 7 8 9 10P
所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝7.5(分)．
(2)设一天得分不低于3分为事件A，
则P(A)＝1－(1－p)＝1－(1－p)＝，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率
f(p)＝C3·2
＝(2p＋1)3(1－p)2,00；
当，故p
0， 所以f(t)在区间上单调递增； 当t∈时，f′(t)<0， 所以f(t)在区间上单调递减， 所以当t＝，即k＝3时，f(t)取得最大值， 且f(t) ＝f ＝－(百亿元)， max 所以E(Y)取最大值时，k的值为3.
