第 1 讲 计数原理与概率
[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选
择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、
不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．
考点一 排列与组合问题
核心提炼
解决排列、组合问题的一般过程
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少
元素．
例1 (1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到 A，B，C三个路口协助交警值
勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求 A，B，C三个路口都
要有志愿者值勤，则不同的安排方法有( )
A．14种 B．11种
C．8种 D．5种
答案 B
解析 由题意得，
以C路口为分类标准：C路口值勤分得人数情况有2种，两个人或一个人，
若C路口值勤分得人数为2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此时有
两种安排方法．
若C路口值勤分得人数为1，丙或丁在C路口，具体情况如下．
丙在C路口：A(丁)B(甲乙)C(丙)；
A(甲丁)B(乙)C(丙)；
A(乙丁)B(甲)C(丙)．
丁在C路口：
A(甲乙)B(丙)C(丁)；
A(丙)B(甲乙)C(丁)；
A(甲丙)B(乙)C(丁)；
A(乙)B(甲丙)C(丁)；
A(乙丙)B(甲)C(丁)；
A(甲)B(乙丙)C(丁)．
所以一共有2＋3＋6＝11(种)安排方法．
(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四
节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，
特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分
别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？( )
A．192 B．240 C．120 D．288
答案 A
解析 由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到AA＝240(种)，
当“立春”和“惊蛰”相邻，且“清明”与“惊蛰”也相邻时，有2种排法，即“惊蛰”在
中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起，即2A＝48(种)，
所以最终满足题意的排法为240－48＝192(种)．
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相
邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题
先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
跟踪演练1 (1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车
全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求
索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同
学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，
其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )
A．144种 B．336种
C．672种 D．1 008种
答案 A
解析 选取的3个名称中含有祝融的共有C种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况有A种，其中祝融是第3个被分析的情况有A种，故祝融不是第3个被分析的情况有C(A－
A)＝144(种)．
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、
首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则
甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 B
解析 因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，则安排方法分两类：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速
滑馆，
有A＝2(种)；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有CA＝6(种)，则共有2×6＝12(种)．综上，甲和
乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12＋2＝14.
考点二 二项式定理
核心提炼
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类
讨论求解．
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展开式的通项T ＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T ＝Cx2y6；令k＝
k＋1 6＋1
5，得T ＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
5＋1
(2)已知n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a
的值为________，展开式中的常数项为________．
答案 1 45
解析 因为n的展开式的所有项的二项式系数之和为2n，且奇数项和偶数项的二项式系数之
和相等，所以2n－1＝512，解得n＝10，
所以展开式中第四项T＝Cx73，
4
所以Ca3＝120，解得a＝1，
所以10的展开式的通项为T ＝Cx10－kk＝Cx10－5k，
k＋1
令10－5k＝0，解得k＝2，
所以展开式中的常数项为C＝45.
易错提醒 二项式(a＋b)n的通项公式T ＝Can－kbk (k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式
k＋1
的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，
而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a ＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)8，则a 等
0 1 2 8 6
于( )
A．－448 B．－112 C．112 D．448
答案 C
解析 (1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8
＝a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)8，
0 1 2 8
a＝C×(－2)2＝112.
6
(2)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则下列结论正确的是________．
0 1 2 2 023
①展开式中各项系数和为1；
②展开式中所有项的二项式系数和为22 023；
③a＋a＋a＋…＋a ＝－2；
1 2 3 2 023
④a＋＋＋…＋＝0.
0
答案 ②③④
解析 令x＝1得a＋a＋…＋a ＝－1，
0 1 2 023
∴①错误；
二项式系数和为C＋C＋…＋C＝22 023，
∴②正确；
令x＝0得a＝1，
0
∴a＋a＋…＋a ＝－2，
1 2 2 023
∴③正确；
令x＝有a＋＋＋…＋＝0，
0
∴④正确．
考点三 概率
核心提炼
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．几何概型概率公式
P(A)＝3．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝.
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况
有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，
{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.
(2)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个
白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙
箱中，分别以A，A，A 表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随
1 2 3
机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是________．(填序号)
①A，A，A 两两互斥；②P(B|A)＝；
1 2 3 2
③P(B)＝；④B与A 相互独立．
1
答案 ①②
解析 A，A，A 中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，①正确；
1 2 3
P(B|A)＝＝＝，②正确；
2
P(B)＝×＋×＋×＝，③错误；
又P(A)＝，P(AB)＝×＝，
1 1
P(A)P(B)＝×＝，
1
∴P(AB)≠P(A)P(B)，
1 1
∴A 与B不相互独立，④错误．
1
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型、几何概型、条件概率分别用各自的公式求解．
(2)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
跟踪演练3 (1)有一个底面圆的半径为1, 高为2的圆柱，点O ，O 分别为这个圆柱上底面
1 2
和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O ，O 的距离都大于1的概率
1 2
为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题设，到O ，O 的距离都大于1的部分为圆柱体去掉以底面为最大轴截面的两个
1 2
半球体，
所以到O，O 的距离都大于1的部分的体积为V＝2π×12－π×13＝，
1 2故点P到点O，O 的距离都大于1的概率P＝＝.
1 2
(2)(2022·莆田模拟)从0,1,2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：
“恰好抽的是2,4,6”，记B为事件：“恰好抽取的是6,7,8”，记C为事件：“抽取的数字
里含有6”．则下列说法正确的是( )
A．P(AB)＝P(A)P(B)
B．P(C)＝
C．P(C)＝P(AB)
D．P(A|C)＝P(B|C)
答案 D
解析 由题知，从10个数中随机地抽取3个数，共有C＝120(种)可能情况，
对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事件，则P(AB)＝0，而
P(A)P(B)≠0，故A选项错误；
对于B选项，P(C)＝＝＝，故B选项错误；
对于C选项，P(AB)＝0，P(C)＝，故C选项错误；
对于D选项，由于P(AC)＝P(BC)＝＝，故由条件概率公式得P(A|C)＝P(B|C)，故D选项正
确．
专题强化练
一、选择题
1．(2022·福州质检)6展开式中的常数项为( )
A．－540 B．－15 C．15 D．135
答案 D
解析 二项式6展开式的通项公式为
T ＝C(3x)6－k·k
k＋1
＝(－1)k·36－kC· ，k≤6，k∈N，
由6－k＝0，
解得k＝4，
则T＝(－1)4×32×C＝135，
5
所以6展开式中的常数项为135.
2.(2022·玉林模拟)有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹．”芍药不仅观赏性强，且具有药用
价值．某地打造了以芍药为主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部
分都是以正方形的顶点为圆心、正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的(如
图所示)．白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍．倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是( )
A．1－ B.－ C.－1 D.
答案 A
解析 由题意，设正方形的边长为2，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为r＝1，
可得正方形的面积为S＝2×2＝4，
阴影部分的面积为S＝S－4×πr2＝4－π，
1
根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是P＝＝＝1－.
3．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报 4月1日起连续4天，每天下雨的概率为0.6，
现用随机模拟的方法估计 4 天中恰有 3 天下雨的概率：在 0～9 十个整数值中，假定
0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺
序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计4天中恰有3天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由表中数据可得4天中恰有3天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753，
共8组，
所以估计4天中恰有3天下雨的概率为＝.
4．(2022·荆州联考)某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有
一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，
则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有( )
A．80种 B．120种
C．130种 D．140种
答案 D
解析 若夫妻中只选一人，
则有CCA＝120(种)不同的方案；
若夫妻二人全选，且两人报告顺序相邻，则有CAA＝20种不同的方案，故总计有140(种)不
同的方案．
5．(2022·惠州模拟)(a－x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 利用二项式定理展开得(a－x)(2＋x)6＝
(a－x)(C26＋C25x＋C24x2＋C23x3＋C22x4＋C2x5＋Cx6)，
则x5的系数为aC2－C22＝12，∴a＝6.
6．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在
两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 先将丙和丁捆在一起，有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，
最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．
7．(2022·山东省实验中学诊断)已知(a＋b)n的展开式中第五项的二项式系数最大，则n的所
有可能取值的和为( )
A．15 B．16 C．17 D．24
答案 D
解析 若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则＋1＝5，解得n＝8；若展开式中第四
项和第五项的二项式系数最大，则＝5，解得n＝7；若展开式中第五项和第六项的二项式系
数最大，则＝5，解得n＝9.故n的所有可能取值的和为7＋8＋9＝24.
8．(2022·仙桃模拟)定义：＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e(a，b，c，d，e∈Z) ，当
a>b<c>d<e时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，是波动数
的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有A＝120(个)．
而构成波动数，需满足 a>b<c>d<e，有 31 425，31 524,41 325,41 523,51 324,51 423，32
415，32 514,42 315,42 513,52 314,52 413，21 435，21 534,53 412,43 512，共16个．
所以波动数的概率为＝.
9．(2022·泸州模拟)在[－11,6]内取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋2m，记事件A为“函数
f(x)有零点”，事件B为“函数f(x)只有负零点”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令f(x)＝－x2＋mx＋2m＝0，
当函数f(x)有零点时，由Δ＝m2＋8m≥0，得m≥0或m≤－8，
又因为m∈[－11,6]，
所以m∈[－11，－8]∪[0,6]，当函数f(x)只有负零点时，得
解得m≤－8，又因为m∈[－11,6]，
所以m∈[－11，－8]，
所以P(B|A)＝＝.
10．有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现要将他们分配到三家医院，每家医院分
到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法
有( )
A．252种 B．540种 C．792种 D．684种
答案 D
解析 6名护士按人数可分为2,2,2或者1,2,3，先安排医生，再安排护士．
安排医生的方法有A＝6(种)，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故安排护士
方法有×A＋C×A＋C×C×A＝114(种)，其中C×A表示护士甲和护士乙一组的分配方法种数，
C×C×A表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的分配方法种数．所以总的分配方法有
6×114＝684(种)．
11．(2022·锦州模拟)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称
a，b对于模m同余，记作a＝b(mod m)，比如：26＝16(mod 10)．已知n＝C＋C·8＋C·82
＋…＋C·810，满足n＝p(mod 7)，则p可以是( )
A．23 B．31 C．32 D．19
答案 A
解析 因为
n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810
＝(1＋8)10＝(7＋2)10，
也即n＝C·710＋C·79·2＋…＋C·7·29＋C·210，
故n除以7的余数即为C·210＝1 024除以7的余数，1 024除以7的余数为2，结合选项知23
除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．
12．(2022·衡阳模拟)将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部
随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给
同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学
乙”，则下列结论正确的是( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(C|A)＝
D．P(B|A)＝
答案 C
解析 将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有CA＝36(个)基本事件，
事件A包含的基本事件数为A＋CA＝12，
则P(A)＝＝，
同理，P(B)＝P(C)＝，
事件AB包含的基本事件数为A＝2，则P(AB)＝＝，
事件AC包含的基本事件数为C＋CC＝5，
则P(AC)＝，
因为P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A错误；
因为P(A)P(C)＝≠P(AC)，故B错误；
因为P(C|A)＝＝，故C正确；
因为P(B|A)＝＝，故D错误．
二、填空题
13．(2022·益阳调研)为迎接新年到来，某中学“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚
会如期举行．校文娱委员会要在已经排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来
的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为________．
答案 90
解析 总共10个节目排顺序，先把老师的节目排好，剩下的 8个学生的节目按原来的顺序
即可，故共有A＝90(种)不同的排法．
14．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
________．
答案
解析 从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．
其中4个点共面有以下两种情况：
(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．
故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况．
所以所取的4个点在同一个平面的概率
P＝＝.
15．(2022·滨州模拟)(x＋y－z)6的展开式中xy2z3的系数是________．答案 －60
解析 依题意xy2z3的系数为CC(－1)3＝－60.
16．(2022·广州模拟)如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等
可能地向左或向右移动一个单位，共移动 6次，则事件“质点位于－2的位置”的概率为
__________．
答案
解析 由图可知，若想通过6次移动最终停在－2的位置上，则必然需要向右移动2次且向
左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L，则该题可转化为RRLLLL六个字母
排序的问题，故落在－2上的排法种数为＝15，所以移动结果的总数为26＝64，所有落在－
2上的概率为P＝.
