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微重点 1 函数的新定义问题
函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一
般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生
的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．
考点一 特征函数
考向1 高斯函数
例1 (2022·郑州调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：
[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的值域是[0,1]
C．f(x)在(0,1)上单调递增
D．∀x∈R，[f(x)]＝0
答案 A
解析 由题意知[x＋1]＝
所以f(x)＝[x＋1]－x
＝
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C
错误；
对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，
则[f(－1)]＝1，故选项D错误．
考向2 狄利克雷函数
例2 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名
字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C．∃x∈R，f(f(x))＝0D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
答案 D
解析 因为f(x)＝
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，
故A，B错误；
因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，
所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；
对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，
则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；
若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，
综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．
考向3 黎曼函数
例3 (2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提
出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)
＝R(x)，则f(2 022)＋f ＝________.
答案 －
解析 ∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＝－f(2－x)．
又f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(x－2)，
∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)的一个周期为4.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴令x＝0，可得f(2)＝0，
∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
f ＝－f ＝－f
＝－f ＝－R＝－，
∴f(2 022)＋f ＝－.
考向4 欧拉函数
例4 (多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正
整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧
拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的是( )
A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
答案 AC
解析 因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；
因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；
因 为 小 于 或 等 于 32 的 正 整 数 中 与 32 互 质 的 实 数 为
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，
所以φ(32)＝16，故C正确；
因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
规律方法 以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，
与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
跟踪演练1 (1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝偶函数f(x)满足f(x＋2)＝
f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则( )
A．sgn[f(x)]>0
B．f ＝1
C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)
D．sgn[f(k)]＝|sgn k|(k∈Z)
答案 C
解析 对于A选项，
sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于B选项，
f ＝f ＝f ＝，B错；
对于C选项，
对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，
则sgn[f(2k＋1)]＝sgn 1＝1，C对；
对于D选项，取k＝2，
则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，
而|sgn 2|＝1，D错．
(2)(多选)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着
丰富的实际应用．最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sin hx＝和双曲余弦函数cos hx＝.令
f(x)＝sin hxcos hx，则下列结论正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)为奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
答案 BC
解析 由已知可得
f(x)＝sin hxcos hx＝，
所以f(－x)＝－＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，所以A错误，B正确；
因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以C正确，D错误．
考点二 “新定义”函数的性质、运算法则等
例5 (1)(多选)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任
意给定的等比数列{a}，{f(a)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．下列函数是
n n
“保等比数列函数”的为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln|x|
答案 AC
解析 设等比数列{a}的公比为q.
n
对于A，则 ＝＝3＝q3，
故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；
对于B，则 ＝ ≠常数，
故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；
对于C，则 ＝＝＝|q|，
故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；
对于D，则 ＝＝
＝＝1＋≠常数，
故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”．
(2)(多选)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x 与x ，有g<时，我们称函
1 2
数g(x)在[a，b]上严格上凹，称函数g(x)在[a，b]上为凹函数，若用导数的知识可以简单地解
释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所
给定义域中“严格上凹”的有( )A．f(x)＝log x(x>0)
2
B．f(x)＝2e－x＋x
C．f(x)＝－x3＋2x(x<0)
D．f(x)＝sin x－x2(00在定义域内恒成
立．
对于A，f(x)＝log x(x>0)，
2
则f″(x)＝′＝－·<0在x>0时恒成立，不符合题意，故选项A错误；
对于B，f(x)＝2e－x＋x，
则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C，f(x)＝－x3＋2x(x<0)，
则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在x<0时恒成立，符合题意，故选项C正确；
对于D，f(x)＝sin x－x2(00)，
则h′(x)＝＋＝>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x，
0
且x∈(1，e)，则ln x＝有唯一实数根，
0
故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；
对于D，g(x)＝sin x＋2cos x，
则g′(x)＝cos x－2sin x，
令sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
即tan x＝－，
因为函数y＝tan x的周期为π，
所以tan x＝－的根有无数个，
故函数g(x)有无数个“新不动点”，不符合题意．
(2)(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定
的实数，且具有下列三条性质：
①a★b＝b★a；②a★0＝a；③(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
若函数f(x)＝x★，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为奇函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
答案 ACD
解析 对于新运算“★”的性质③，令c＝0，
则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.
∴f(x)＝x★＝1＋x＋，
当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2＝3，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，
∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正
确；
由C知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故D正确．
专题强化练
1．(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝＋d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检
测，它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是
一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是( )
A．类似递增的双曲线
B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线
D．是一条S形曲线
答案 A
解析 依题意可得拟合函数为y＝＋1，x>0，
即y＝＋1＝＋1＝＋4，x>0，
由y＝(x>1)向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y＝＋4(x>0)，
因为y＝在(1，＋∞)上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线，故选A.
2．设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实
数解x＝x ，则称(x ，f(x))为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3
0 0 0
＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心．若函
数f(x)＝x3－3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f 等于( )
A．－8 086 B．－8 082
C．8 084 D．8 088
答案 A
解析 因为函数f(x)＝x3－3x2，
则f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，
令f″(x)＝0，解得x＝1，且f(1)＝－2，
由题意可知，f(x)的拐点为(1，－2)，
故f(x)的对称中心为(1，－2)，
所以f(2－x)＋f(x)＝－4，
所以f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＝－4×＝－8 086.
3．(2022·成都质检)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f(x)＝
p
则称函数f(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的
p是( )
A．f(f(0))＝f(f(0))
p p
B．f(f(1))＝f(f(1))
p p
C．f(f(2))＝f(f(2))
p p
D．f(f(3))＝f(f(3))
p p
答案 B
解析 因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，
所以f(x)＝
2
对于A，f(f(0))＝f(－1)＝2，
p 2
f(f(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；
p
对于B，f(f(1))＝f(－2)＝2，
p 2
f(f(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
p
对于C，f(f(2))＝f(－1)＝2，
p p 2
f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；
对于D，f(f(3))＝f(2)＝－1，
p p 2
f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确．
4．已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使
f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－
x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为( )
A．(0,2] B．[0,2]
C．(0,2) D．(－2,2)
答案 C
解析 由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，
则f(x)在[a，b]上的值域为.
由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得k>0，
且
即方程f(x)＝在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根，即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个
不相等的实数根．
设g(x)＝3x－x3，则原问题可转化为直线y＝k与函数g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的
交点．
因为g′(x)＝3－3x2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，所以在(0，＋∞)上，g(x) ＝g(1)＝2.
max
又g(0)＝g()＝0，所以00，对任意x∈R，有|
f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数．下列函数为F函数的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝sin x＋cos x
C．f(x)＝
D．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x，x 均有|f(x)－f(x)|≤2|x－x|
1 2 1 2 1 2
答案 CD
解析 对于A，|f(x)|＝|x||x|，所以不存在实数m使得对任意x∈R有|f(x)|≤m|x|，故其不是F
函数；
对于B，f(x)＝sin x＋cos x，
当x＝0时，f(0)＝1≥m×0，
故|f(x)|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
对于C，f(x)＝，
|f(x)|＝|x|≤|x|，
故对任意的m≥，都有|f(x)|≤m|x|，故其是F函数；
对于D，f(x)是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x，x 均有|f(x)－f(x)|≤2|x－x|，
1 2 1 2 1 2
令x＝x，x＝0，由奇函数的性质知，f(0)＝0，故有|f(x)|≤2|x|，显然是F函数．
1 2
6．(多选)(2022·重庆市育才中学)若对于函数f(x)上任意一点A，都存在异于原点O的另一点
B，使OA·OB＝0，则称f(x)为“正交函数”．下列四个函数中是“正交函数”的为( )
A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝cos x＋1
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x－2
答案 ABD
解析 由题意，要使f(x)为“正交函数”，则f(x)与y＝±x在相邻的象限上有交点即可，
对于A，f(x)＝x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意；对于B，f(x)＝cos x＋1与y＝±x的图象如图所示，符合题意；
对于C，f(x)＝ln x与y＝±x的图象如图所示，只有一个交点，不符合题意；
对于D，f(x)＝2x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意．
7．(2022·武汉质检)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；
②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个
新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝
0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝______________.
答案 x2(答案不唯一)
解析 因为f(x)＝x3－x为奇函数，
h(x)＝g(x)f(x)为奇函数，
所以g(x)为常函数或为偶函数，
当g(x)＝1时，h(x)＝x3－x，
则h′(x)＝3x2－1，此时h′(0)＝－1≠0，
所以g(x)＝1不符合题意，
当g(x)＝x2时，h(x)＝x5－x3，
因为h(－x)＝(－x)5－(－x)3
＝－(x5－x3)＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数，h′(x)＝5x4－3x2，
由h′(x)>0，得x<－或x>，
由h′(x)<0，得－0，且a≠1)有且仅有3个不同
a
的零点，则实数a的取值范围是__________________．
答案 [3,4)
解析 函数y＝{x}－1＋log x有且仅有3个零点，
a
即y＝log x的图象与函数y＝1－{x}的图象有且仅有3个交点．
a
而y＝1－{x}＝1＋[x]－x＝
画出函数y＝1－{x}的图象，如图所示，
易知当01，作出函数y＝log x的大
a a
致图象，结合题意可得解得3≤a<4，
所以实数a的取值范围是[3,4)．
