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微重点 8 数列的递推关系
数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可
直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再
利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．
考点一 构造辅助数列
例1 (1)已知数列{a}满足a＝1，a－3a ＝2aa (n∈N*)，则下列结论不正确的是( )
n 1 n n＋1 n n＋1
A.为等比数列
B．{a}的通项公式为a＝
n n
C．{a}为递增数列
n
D.的前n项和T＝3n－n－1
n
答案 C
解析 因为a－3a ＝2aa ，
n n＋1 n n＋1
两边同除以aa ，
n n＋1
可得＝＋2，
所以＋1＝3，
又＋1＝2≠0，
所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；
所以＋1＝2×3n－1，即a＝，
n
所以{a}为递减数列，故B正确，C不正确；
n
所以＝2×3n－1－1，的前n项和为
T＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)
n
＝2×(30＋31＋…＋3n－1)－n
＝2×－n＝3n－n－1，故D正确．
(2)(2022·吕梁模拟)已知S 为数列{a}的前n项和，且a ＝1，a ＋a ＝3×2n，则S 等于(
n n 1 n＋1 n 100
)
A．2100－3 B．2100－2
C．2101－3 D．2101－2
答案 D
解析 由a ＋a＝3×2n得，
n＋1 n
a －2n＋1＝－(a－2n)．
n＋1 n
又a－21＝－1，
1
所以{a－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以a－2n＝(－1)n，
n n即a＝2n＋(－1)n，
n
所以S ＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100
100
＝＋0＝2101－2.
规律方法 (1)若数列{a}满足a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0)，构造a ＋λ＝p(a＋λ)．
n n＋1 n n＋1 n
(2)若数列{a}满足a ＝pa＋f(n)(p≠0,1)，构造a ＋g(n＋1)＝p[a＋g(n)]．
n n＋1 n n＋1 n
跟踪演练1 (1)在数列{a}中，a＝3，a＝2a －n＋2(n≥2，n∈N*)，若a>980，则n的最
n 1 n n－1 n
小值是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 因为a＝2a －n＋2(n≥2，n∈N*)，
n n－1
所以a－n＝2[a －(n－1)](n≥2，n∈N*)．
n n－1
因为a＝3，所以a－1＝2，
1 1
所以数列{a－n}是首项和公比都是2的等比数列，则a－n＝2n，即a＝2n＋n，
n n n
因为a－a ＝2n－1＋1>0，
n n－1
所以数列{a}是递增数列，
n
因为a＝521<980，a ＝1 034>980，
9 10
所以满足a>980的n的最小值是10.
n
(2)(2022·兰州模拟)若数列{a}满足na ＝(n＋1)a＋1(n∈N*)，且a＝1，则a 等于( )
n n＋1 n 1 2 023
A．4 045 B．4 044
C．2 023 D．2 022
答案 A
解析 因为na ＝(n＋1)a＋1(n∈N*)，所以＝＋＝＋－，
n＋1 n
即＋＝＋，即＝，所以为常数列，又a＝1，
1
所以＝＝2，
所以＝2，解得a ＝4 045.
2 023
考点二 利用a 与S 的关系
n n
例2 已知S 是数列{a}的前n项和，a＝3，且当n≥2时，S，，S 成等差数列．
n n 1 n n－1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设数列{b}满足b＝1－，若b·b·…·b＝，求正整数n的值．
n n 2 3 n
解 (1)方法一 由题意知当n≥2时，
S＋S ＝na，
n n－1 n
∴S＋S ＝n(S－S )，
n n－1 n n－1
整理得S＝S ，
n n－1
由S＝a＝3，
1 1∴S＝××××…×××3＝(n2＋n)，
n
经检验，S＝3也符合S＝(n2＋n)．
1 n
∴当n≥2时，a＝S－S
n n n－1
＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n.
a＝3也满足a＝3n，
1 n
∴数列{a}的通项公式为a＝3n.
n n
方法二 由题意知当n≥2时，S＋S ＝na，
n n－1 n
∴当n≥3时，S ＋S ＝(n－1)a ，
n－1 n－2 n－1
两式相减得a＋a ＝na－(n－1)a (n≥3)，
n n－1 n n－1
即(n－1)a＝na ，
n n－1
∴＝(n≥3)，
∴当n≥3时，为常数列，
又由S＋S＝2a 得a＝6，
2 1 2 2
同理可得a＝9，
3
∴＝＝＝3，
∴＝＝3，即a＝3n，
n
∴数列{a}的通项公式为a＝3n.
n n
(2)由(1)得b＝1－＝1－
n
＝＝×，
∴b·b·…·b＝××××××…××＝.
2 3 n
由＝，得n＝88.
规律方法 在处理S ，a 的式子时，一般情况下，如果要证明f(a)为等差(等比)数列，就消
n n n
去S ，如果要证明f(S)为等差(等比)数列，就消去a ；但有些题目要求求{a}的通项公式，
n n n n
表面上看应该消去S，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去a，求
n n
出S，然后利用a＝S－S 求出a.
n n n n－1 n
跟踪演练2 (1)(2022·焦作模拟)已知数列{a}满足a ＋a ＋a ＋…＋a ＝2n，则a ＋2a ＋22a
n 1 2 3 n 1 2 3
＋…＋22 021a 等于( )
2 022
A．2(22 022－1) B.(22 022＋1)
C.(24 044－1) D.(24 044＋1)
答案 C
解析 因为a＋a＋a＋…＋a＝2n，
1 2 3 n
所以当n≥2时，
a＋a＋a＋…＋a ＝2(n－1)，
1 2 3 n－1
两式相减得a＝2，
n所以a＝2n(n≥2)，
n
又a＝2也适合该式，
1
故a＝2n.
n
所以{a}为等比数列，
n
所以a＋2a＋22a＋…＋22 021a
1 2 3 2 022
＝＝(24 044－1)．
(2)(2022·济宁模拟)已知正项数列{a}的前n项和为S ，若2aS ＝1＋a，b ＝log ，数列{b}
n n n n n 2 n
的前n项和为T，则满足T≥3的n的最小正整数的值为______．
n n
答案 10
解析 因为2aS＝1＋a，a>0，当n＝1时，2aS＝1＋a，解得S＝1，
n n n 1 1 1
当n≥2时，a＝S－S ，即2(S－S )S＝1＋(S－S )2，
n n n－1 n n－1 n n n－1
整理得S－S＝1，所以数列{S}是首项为S＝1，公差为1的等差数列，
所以S＝1＋(n－1)×1＝n，又正项数列{a}的前n项和为S，所以S＝，
n n n
所以S ＝，所以b ＝log ＝log ＝ ＝log ＝[log (n＋2)－log n]，所以T ＝b ＋
n＋2 n 2 2 2 2 2 n 1
b ＋b ＋…＋b ＋b ＝[log 3－log 1＋log 4－log 2＋log 5－log 3＋…＋log (n＋1)－log (n－
2 3 n－1 n 2 2 2 2 2 2 2 2
1)＋log (n＋2)－log n]＝[－1＋log (n＋1)＋log (n＋2)]＝[－1＋log (n＋1)(n＋2)]，
2 2 2 2 2
由T≥3，即[－1＋log (n＋1)(n＋2)]≥3，化简整理得n2＋3n－126≥0，
n 2
当n＝9时，92＋3×9－126＝－18<0，当n＝10时，102＋3×10－126＝4>0，
所以满足T≥3的n的最小正整数的值为10.
n
专题强化练
1．(2022·哈尔滨模拟)已知数列{a}的首项为10，且2a ＋a ＝3，则满足不等式|a －1|<的
n n＋1 n n
n的最小正整数的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 D
解析 由2a ＋a＝3，即a ＝－a＋，得a －1＝－(a－1)，又a－1＝9，
n＋1 n n＋1 n n＋1 n 1
所以数列{a－1}是以9为首项，－为公比的等比数列，
n
所以a－1＝9×n－1，所以|a－1|<，即为<，
n n
即9×n－1<，即2n－1>1 125，n∈N*，所以n≥12.
2．已知数列{a}满足na ＝(n＋1)a＋2(n∈N*)，且a＝1，则a 等于( )
n n＋1 n 1 2 023A．6 065 B．6 067
C．4 044 D．4 043
答案 B
解析 因为na ＝(n＋1)a＋2，
n＋1 n
所以＝＋，
即－＝2，
所以－＝2，
－＝2，
…
－＝2，
累加得－
＝2
＝2(n≥2)，
即－1＝2－，
即a＝3n－2，当n＝1时也成立，
n
则a ＝6 067.
2 023
3．(2022·焦作模拟)已知数列{a}的前n项和S＝(－1)na＋(n∈N*)，则S 等于( )
n n n 100
A．－ B．0 C. D.
答案 B
解析 由题意知S ＝a ＋，
102 102
所以S －a ＝S ＝，
102 102 101
又S ＝－a ＋，
101 101
所以a ＝，
101
故S ＝S －a ＝0.
100 101 101
4．(2022·衡阳模拟)已知数列{a}满足a＝，2a －aa ＝1，则下列结论错误的是( )
n 1 n＋1 n n＋1
A．a＝
2
B．数列为等差数列
C．a 的最小值为
n
D．a 的最大值为3
n
答案 C
解析 由2a －aa ＝1，
n＋1 n n＋1
得a ＝，
n＋1
所以－＝－＝－＝－1，又＝，
故数列为以为首项，－1为公差的等差数列，则＝＋(n－1)×(－1)＝－n，故a ＝1＋，a
n 2＝，数列{a}的最小值为a＝－1，最大值为a＝3.
n 7 6
5．(2022·洛阳模拟)若数列{a}和{b}满足a ＝2，b ＝0,2a ＝3a ＋b ＋2,2b ＝a ＋3b －
n n 1 1 n＋1 n n n＋1 n n
2，则a ＋b ＝________.
2 023 2 023
答案 22 023
解析 因为2a ＝3a＋b＋2, 2b ＝a＋3b－2,
n＋1 n n n＋1 n n
所以2a ＋2b ＝3a＋b＋2＋a＋3b－2＝4(a＋b)，即a ＋b ＝2(a＋b)，
n＋1 n＋1 n n n n n n n＋1 n＋1 n n
又a＋b＝2，
1 1
所以{a＋b}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n n
所以a＋b＝2n，
n n
所以a ＋b ＝22 023.
2 023 2 023
6．(2022·河南省重点高中联考)已知数列{a}中，a ＝，＝，则满足a>的n的最大值为
n 1 n
________．
答案 5
解析 根据题意，
(n＋1)a－2(n＋1)a ＝a＋2a ，
n n＋1 n n＋1
化简得＝，
所以＝，
＝，
…
＝(n≥2)，
运用累乘法计算得
＝···…·×
＝(n≥2)，
且a＝，
1
所以a＝，n≥2，a＝符合该式，
n 1
当a>时，2n·n(n＋1)<1 000，
n
当n＝5时，2n·n(n＋1)＝960<1 000，
当n＝6时，2n·n(n＋1)＝2 688>1 000，
所以满足条件的n的最大值为5.
7．(2022·邯郸模拟)已知数列{a}满足＋＋＋…＋＝.
n
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知b＝a(a －1)，求数列{b}的前n项和S.
n n n＋1 n n
(1)证明 当n＝1时，＝，则a＝2.
1
因为＋＋＋…＋＝，①所以＋＋＋…＋＝，②
由②－①得＝－，
化简可得2a－a ＝aa ，
n n＋1 n n＋1
＝
＝＝，
所以数列是一个首项为＝－，
公比为的等比数列．
(2)解 由(1)可知＝－×＝－，
化简可得a＝.
n
b＝a(a －1)＝
n n n＋1
＝－，
所以S＝＋＋＋…＋
n
＝1－.
