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第 3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标
准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题
的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的
定义、不等式的转化、等比数列{a}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
n
例1 (1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为( )
A．x＝0
B．15x－8y－8＝0
C．3x－4y＋4＝0或x＝0
D．3x＋4y－4＝0或x＝0
思路分析 设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，
l：x＝0.
答案 D
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，
所以圆心到直线的距离为d＝1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，
圆心到直线l的距离为d＝，
所以＝1，解得k＝－，
此时直线方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)已知数列{a}满足a ＋(－1)na ＝3，a ＝1，a ＝2，数列{a}的前n项和为S ，则S 等
n n＋2 n 1 2 n n 30
于( )
A．351 B．353 C．531 D．533
思路分析 a ＋－1na ＝3→当n为奇数时，a －a ＝3→{a}中的奇数项构成等差数列
n＋2 n n＋2 n n
→当n为偶数时，a＋a ＝3→{a}中连续两偶数项和为定值2
n n＋2 n答案 B
解析 依题意，a ＋(－1)na＝3，
n＋2 n
显然，当n为奇数时有a －a＝3，
n＋2 n
即有a－a＝3，a－a＝3，…，a －a ＝3，
3 1 5 3 2n＋1 2n－1
令b＝a ，故b －b＝3，
n 2n－1 n＋1 n
所以数列{b}是首项为1，公差为3的等差数列，
n
故b＝3n－2；
n
当n为偶数时有a ＋a＝3，
n＋2 n
即a＋a＝3，a＋a＝3，…，a ＋a ＝3，
4 2 6 4 2n＋2 2n
于是，S ＝(a＋a＋…＋a )＋
30 1 3 29
(a＋a＋…＋a )
2 4 30
＝(b＋b＋…＋b )＋[a＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )]
1 2 15 2 4 6 28 30
＝×15＋2＋7×3＝353.
批注 涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a ，a 是第个
1 n
奇数项；当n为偶数时，首项是a，a 是第个偶数项．
2 n
规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线
方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论
要有理有据、不重不漏．
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用
于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 设F ，F 为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F ，F 是一个直
1 2 1 2
角三角形的三个顶点，且|PF|>|PF|，则＝________.
1 2
思路分析 求→找|PF|，|PF|适合的条件→讨论Rt△PFF 的直角顶点
1 2 1 2
答案 或2
解析 若∠PFF＝90°，
2 1
则|PF|2＝|PF|2＋|FF|2，
1 2 1 2
又|PF|＋|PF|＝6，|FF|＝2，
1 2 1 2
解得|PF|＝，|PF|＝，∴＝.
1 2
若∠FPF＝90°，则|FF|2＝|PF|2＋|PF|2，
1 2 1 2 1 2
∴|PF|2＋(6－|PF|)2＝20，
1 1
又|PF|>|PF|，
1 2
∴|PF|＝4，|PF|＝2，
1 2
∴＝2.综上可知，＝或2.
批注 P，F ，F 是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分
1 2
类讨论，仔细审题，理解题意是关键．
规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置
变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，
如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做
到不重不漏，结论整合要周全．
例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，若的最大值为，则正实数 a＝
________.
思路分析 令fx＝t→＝＝→利用函数y＝t＋的单调性求最值.
答案 1
解析 令t＝x＋(x>0)，则t≥2，
则＝＝，
令y＝t＋(a>0，t≥2)，
当04时，t＋≥2(当且仅当t＝时，等号成立)，
则0<≤，即的最大值为，
则＝，解得a＝(舍)，综上，所求正实数a＝1.
规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨
论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循
分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量
避免分类，杜绝无原则的分类讨论．
