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必刷小题 11 数 列
一、单项选择题
1．数列－，，－，，…的通项公式可能是a 等于( )
n
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由a＝－，排除A，C；由a＝，排除B；分母为奇数列，分子为(－1)n，故D正确．
1 2
2．已知数列{a}为等比数列，公比为q，若a＝4(a－a)，则q等于( )
n 5 4 3
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 由题意，得aq4＝4(aq3－aq2)，解得q＝2.
1 1 1
3．在正项等比数列{a}中，a＝4，a＝64，S＝510，则n等于( )
n 2 6 n
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 由a＝4，a＝64，得q4＝＝16(q>0)，
2 6
所以q＝2，a＝2，
1
所以510＝，解得n＝8.
4．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{a}的通项公式为a ＝3n－1，则等式＋＋＋…
n n
＋等于( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 D
解析 ＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.
5．等比数列{a}中，a＋a＝6，a＋a＝12，则{a}的前8项和为( )
n 1 2 3 4 n
A．90 B．30(＋1)
C．45(＋1) D．72
答案 A
解析 等比数列{a}中，a＋a＝6，
n 1 2
a＋a＝(a＋a)q2＝12，
3 4 1 2
∴q2＝2，a＋a＝(a＋a)q2＝24，同理a＋a＝48，
5 6 3 4 7 8
则{a}的前8项和a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＝6＋12＋24＋48＝90.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
6．设数列{a}，{b}都是正项等比数列，S ，T 分别为数列{lg a}与{lg b}的前n项和，且
n n n n n n
＝，则 等于( )A. B. C. D.
答案 D
解析 因为数列{a}，{b}都是正项等比数列，所以数列{lg a}与{lg b}为等差数列，
n n n n
因为＝，所以＝＝
＝ ＝＝.
则 ＝.
7．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其
中DD ，CC ，BB ，AA 是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别
1 1 1 1 1 1 1 1
为＝0.5，＝k ，＝k ，＝k.已知k ，k ，k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为
1 2 3 1 2 3
0.725，则k 等于( )
3
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案 D
解析 设OD ＝DC ＝CB ＝BA＝1，
1 1 1 1
则CC ＝k，BB＝k，AA＝k，
1 1 1 2 1 3
依题意，有k－0.2＝k，k－0.1＝k，
3 1 3 2
且＝0.725，
所以＝0.725，
故k＝0.9.
3
8．等差数列{a}的前n项和为S.已知a＝－5，a＝－1.记b＝(n＝1,2，…)，则数列{b}的(
n n 1 3 n n
)
A．最小项为b B．最大项为b
3 3
C．最小项为b D．最大项为b
4 4
答案 C
解析 等差数列{a}中，a＝－5，a＝－1，
n 1 3
所以d＝2，a＝－5＋2(n－1)＝2n－7，S＝－5n＋×2＝n2－6n，
n n
则b＝＝，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝>0，
n故f(x)在，上单调递增，没有最大值，
因为b＝1，b＝9，b＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4时，b 取得最小值．
1 3 4 n
二、多项选择题
9．等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，当首项a 和d变化时，a ＋a ＋a 是一个定值，
n n 1 3 8 13
则下列各数也为定值的有( )
A．a B．a C．S D．S
7 8 15 16
答案 BC
解析 由等差中项的性质可得a＋a＋a ＝3a 为定值，则a 为定值，
3 8 13 8 8
S ＝＝15a 为定值，
15 8
但S ＝＝8不是定值．
16
10．下列说法正确的是( )
A．任意等差数列{a}和{b}，数列{a＋b}是等差数列
n n n n
B．存在等差数列{a}和{b}，数列{ab}是等差数列
n n n n
C．任意等比数列{a}和{b}，数列{a＋b}是等比数列
n n n n
D．存在等比数列{a}和{b}，数列{ab}是等比数列
n n n n
答案 ABD
解析 A项，若{a}和{b}都是等差数列，不妨设a＝kn＋b，b＝kn＋b，
n n n 1 1 n 2 2
故可得a＋b＝(k＋k)n＋b＋b，则a ＋b ＝(k＋k)(n＋1)＋b＋b，
n n 1 2 1 2 n＋1 n＋1 1 2 1 2
则a ＋b －(a＋b)＝k＋k，故数列{a＋b}是等差数列，故A正确；
n＋1 n＋1 n n 1 2 n n
B项，设数列{a}是数列1,1,1；数列{b}是数列2,2,2，故可得数列{ab}是数列2,2,2，是等
n n n n
差数列，故B正确；
C项，若{a}和{b}是等比数列，设a ＝aq，b ＝bq，故可得a ＋b ＝aq＋bq，a ＋b
n n n 1 n 1 n n 1 1 n＋1 n＋1
＝aq＋bq，则＝，不是常数，故{a＋b}不是等比数列，故C错误；
1 1 n n
D项，设数列{a}是数列1,1,1；数列{b}是数列2,2,2，故可得数列{ab}是数列2,2,2，是等
n n n n
比数列，故D正确．
11．数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝2S(n∈N*)，则有( )
n n 1 n＋1 n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．a＝
n n
答案 ABD
解析 由题意，数列{a}的前n项和满足a ＝2S(n∈N*)，
n n＋1 n
当n≥2时，a＝2S ，
n n－1
两式相减，可得a －a＝2(S－S )＝2a，
n＋1 n n n－1 n
可得a ＝3a，即＝3(n≥2)，
n＋1 n
又a＝1，则a＝2S＝2a＝2，所以＝2，
1 2 1 1
所以数列{a}的通项公式为
na＝
n
当n≥2时，S＝＝＝3n－1，
n
又S＝a＝1，适合上式，
1 1
所以数列{a}的前n项和为S＝3n－1，
n n
又＝＝3，
所以数列{S}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
n
12．设S 为等比数列{a}的前n项和，若a>0，a＝，S<2，则{a}的公比可取的值为( )
n n n 1 n n
A. B. C. D．2
答案 AB
解析 设等比数列{a}的公比为q，则q≠1.
n
∵a>0，a＝，S<2，
n 1 n
∴{a}是递减数列，×qn－1>0，<2，
n
∴1>q>0且1≤4－4q，解得0
