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§8.10 圆锥曲线中求值与证明问题
题型一 求值问题
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于
P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：k ＋k ＝0]
AP AQ
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求k ，k ]
AP AQ思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1 在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，焦距与长轴之比
为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且BP＝3BM，求△PMA的面积；
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上
(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求OD·OP的值．
解 (1)由已知可得可得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x，y)，P(x，x＋2)，
1 1 0 0
易知B(0，－1)，A(0,1)，
BP＝(x，x＋3)，BM＝(x，y＋1)，
0 0 1 1
由BP＝3BM可得
解得
即点M，
因为点M在椭圆C上，则＋2＝1，可得x＝6，
因此，S ＝S －S ＝|AB|·|x|＝.
△PMA △PAB △MAB 0
(3)设M(x，y)，N(x，y)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中00，
由根与系数的关系可得x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
k ＝＝，
NA
直线NA的方程为y＝x＋1，
k ＝＝，
MB
直线BM的方程为y＝x－1，
可得＝
＝
＝
＝·
＝·＝，
解得y＝，即点P，
因此，OD·OP＝t·＝1.
题型二 证明问题
例2 (2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于
A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)已知l为C的准线，过F的直线l 交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，
1
BN和l相交于一点．
(1)解 由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右．
设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则F.
由题意知AF⊥x轴，则点A的横坐标为，
将x＝代入y2＝2px，
可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)证明 由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)．
设直线l 的方程为x＝my＋1，
1
联立得y2－4my－4＝0.
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝4m，yy＝－4.
1 2 1 2
直线AM的方程为y＝(x－1)＋2，
即y＝(x－1)＋2，
令x＝－1，解得y＝，
所以直线AM与准线的交点为，
直线BN的方程为y＝(x－1)－2，
即y＝(x－1)－2，
令x＝－1，解得y＝.
所以直线BN与准线的交点为，
因为＝－
＝－＝1，
即＝，
所以直线AM，BN和l相交于一点．
思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与
圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通
过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
跟踪训练2 (2022·宁德模拟)若A，B，C(0,1)，D四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)
上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原
点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
(1)解 由于A，B两点关于原点对称，必在椭圆上，
则＋＝1，且＋<1，
∴(0,1)必在椭圆上，
即有＝1，则b＝1，a2＝2，
∴椭圆T的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设E(x，y)，F(x，y)，
1 1 2 2
联立得x2＋tx＋t2－1＝0，
则x＋x＝－t，xx＝t2－1，y＋y＝x＋t＋x＋t＝t，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴M，则k ＝－，
OM
联立
则可设P，Q，
∴|MP|·|MQ|＝··＝，
∵|ME|·|MF|＝|EF|2
＝(1＋k)(x－x)2
1 2
＝[(x＋x)2－4xx]＝，
1 2 1 2
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
课时精练
1．(2023·晋中模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成
一个正方形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且AF＝2FB，求|AB|.解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，
∴b＝c，
∵椭圆过点P，
∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)∵F(1,0)，
设l ：x＝my＋1，A(x，y)，B(x，y)，
AB 1 1 2 2
联立方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
∴
∵AF＝2FB，∴y＝－2y，
1 2
∴
∴22＝，∴m2＝，
∴|AB|＝·|y－y|＝·|－3y|＝3·＝.
1 2 2
2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A
为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.
证明 (1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，
设A，B，
所以直线AO的方程为y＝x，
由题意可得点C，
设直线AB的方程为x＝my＋2，
联立整理可得y2－8my－16＝0，
所以yy＝－16，可得y＝－，
1 2 2
所以y ＝y，
C 2
所以BC∥x轴．
(2)因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，
BE＝，BF＝，因为BE⊥BF，
所以BE·BF＝0，
即y＋＝0，
解得y＝－32＋16，x＝2－4，
2
由(1)可得xx＝＝＝4，
1 2
所以x＝2＋4，
1
|AF|＝x＋2，|BF|＝x＋2，
1 2
所以可证||AF|－|BF||＝|x－x|＝8.
1 2
3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大
值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k ，k ，k ，
0 1 2
若k，k，k 成等差数列，求实数t的值．
1 0 2
解 (1)由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，
设M(x，y)，显然－b≤y≤b，
1 1 1
△ABM的面积为·2a·≤ab，
因为△ABM的面积最大值为2，
所以ab＝2，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝，
于是⇒
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，
由题意可知直线l的斜率不为零，
所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得
⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设N(x，y)，
2 2
所以y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
直线AM的方程为＝，
把x＝t代入方程中，得y＝，
所以T，于是k＝＝，k＝，k＝，
0 1 2
因为k，k，k 成等差数列，
1 0 2
所以2k＝k＋k⇒2·＝＋，化简得＝，
0 1 2
把x＝my＋1，x＝my＋1代入，化简得
1 1 2 2
6myy＝(t＋5)(y＋y)＋(2t－8)y，
1 2 1 2 2
把y＋y＝，yy＝代入，得
1 2 1 2
＝(2t－8)y，因为m∈R，
2
所以即t＝4.
4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ，y)，Q(x ，y)在C上，且
1 1 2 2
x>x>0，y>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取
1 2 1
两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
(1)解 由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明 由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x＋x＝，xx＝－>0，
1 2 1 2
所以3－k2<0，
所以x－x＝
1 2
＝.
设点M的坐标为(x ，y )，
M M
则两式相减，得y－y＝2x －(x＋x)，
1 2 M 1 2
又y－y＝(kx＋t)－(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x－x)，
1 2
所以2x ＝k(x－x)＋(x＋x)，
M 1 2 1 2
解得x ＝；
M
两式相加，得2y －(y＋y)＝(x－x)，
M 1 2 1 2
又y＋y＝(kx＋t)＋(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x＋x)＋2t，
1 2
所以2y ＝k(x＋x)＋(x－x)＋2t，
M 1 2 1 2
解得y ＝＝x .
M M
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－，
B B
所以x ＋x ＝，y ＋y ＝.
A B A B
点M的坐标满足
得x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
设AB的中点为C(x ，y )，
C C
则x ＝＝，
C
y ＝＝.
C
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线y－y ＝－(x－x )，
C C
即y－＝－上，
与y＝x联立，得x ＝＝x ，
M C
y ＝＝y ，
M C
即点M恰为AB的中点，
故点M在AB上．
