文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1．已知集合 ，集合 ，求
2．复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ．
3．已知向量 ，若 ，且 ，则 ．
4．设一组样本数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为 .
5．已知方程 的两个根为 ，则 = .
6．已知函数 ，则 ．
7．函数 的最大值为2，求
8．已知 ，则 （用数字作答）．
9．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱，命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不
惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”这是给感动中国十大
人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师
的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现将甲、乙、丙、丁 名志愿者安排到 三个学校参加支教
活动，要求每个学校至少安排 个人，则甲被派到 学校的概率为 .10．已知 记函数 的最大值为 ，则 的取值范围是 ．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P为圆
与C的一个公共点，若 ，则C的离心率为 ．
12．已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ， ，且 ，
则 的最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一
个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知锐角 ， ， ，则 边上的高的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．在单位正方体 中，点P在线段 上，点Q线段 上．①二面角 的大
小为定值；② 长度的最小值为 ．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
16．设集合 ，定义：集合 ，集合
，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，则下
列结论可能成立的是（ ）A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）
已知三角形 ，
(1) ，三角形的面积 ，求角 的值；
(2)若 ， ， ，求 ．
18．（14分）
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，
从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件
跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
一
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件
一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 人，再从这 人中随机抽取 人.记 为这 人中
最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ；样本中的
大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ； ， ， ， ， ，
， ， 的方差为 .写出 ， ， 的大小关系.（结论不要求证明）19．（14分）
三棱柱 中， ，线段 的中点为 ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20．（18分）
已知 分别是椭圆 的左、右顶点，过点 、斜率为 的直线 交椭圆 于 两个
不同的点．
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)若点 落在以线段 为直径的圆的外部，求 的取值范围；
(3)若 ，设直线 分别交 轴于点 ，求 的取值范围．
21．（18分）已知 为实数， ．对于给定的一组有序实数 ，若对任意 ， ，都
有 ，则称 为 的“正向数组”．
(1)若 ，判断 是否为 的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若 为 的“正向数组”，则对任意 ，都有 ；
(3)已知对任意 ， 都是 的“正向数组”，求 的取值范围．
