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限时跟踪检测(四十九) 圆的方程及直线与圆的位置关系
一、单项选择题
1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
2．过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围
是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B.
C．(－3,1)∪
D．(－∞，－3)∪
3．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋
1＝0对称，则该圆的半径等于( )
A．2 B. C．3 D．9
4．(2024·山东滕州模拟)“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋
y2＝1相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最
小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
7．已知圆C的半径为，其圆心C在直线x＋y＋2＝0上，圆C上的动点P到直线kx－y
－2k＋2＝0(k∈R)的距离的最大值为4，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋2)2＋y2＝2
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝2
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝2
8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则
反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－C．－或－ D．－或－
9．(2024·山西模拟)经过A(2,0)，B(0,2)，C(2，4)三点的圆与直线kx－y＋2－4k＝0的
位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．无法确定
二、多项选择题
10．已知圆C：x2＋y2＋2mx－2(m＋1)y＋2m2＋2m－3＝0(m∈R)上存在两个点到点
A(0，－1)的距离为4，则m的值可能为( )
A．1 B．－1 C．－3 D．－5
11．(2024·辽宁锦州模拟)关于直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是
( )
A．若直线l与圆C相切，则m2－4k2为定值
B．若m2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m＋1，则直线l与圆C相离
D．“－23－2a，解得a<－3或a>1.所以a<－3或11，命题q：直线ax＋by＋2＝0
与圆x2＋y2＝1相交等价于<1 a2＋b2>4，从而有p \s\up7(\a\vs4\al(⇒)) q，q p，所以p是
q的必要不充分条件．故选B.
⇔ ⇒
答案：B
5．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点
(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，
b>0，于是得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为
4.
答案：D
6．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，
则有解得
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
答案：D
7．已知圆C的半径为，其圆心C在直线x＋y＋2＝0上，圆C上的动点P到直线kx－y
－2k＋2＝0(k∈R)的距离的最大值为4，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋2)2＋y2＝2
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝2
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝2
解析：∵直线kx－y－2k＋2＝0(k∈R)，
∴k(x－2)－y＋2＝0，令x－2＝0，－y＋2＝0，得x＝2，y＝2，
∴直线kx－y－2k＋2＝0(k∈R)恒过定点A(2,2)，
∵圆C上的动点P到直线kx－y－2k＋2＝0(k∈R)的距离的最大值为4，
∴圆心C到直线kx－y—2k＋2＝0(k∈R)的距离的最大值为4－＝3，
又圆心C在直线x＋y＋2＝0上，
∴可设C(a，－a－2)，当直线CA垂直于直线kx－y－2k＋2＝0(k∈R)时，圆心C到直
线kx－y－2k＋2＝0(k∈R)的距离最大，
∴＝3，解得a＝－1，故圆心C(－1，－1)，∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：A
8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意，知反射光线所在的直线一
定过点(2，－3)．当反射光线所在直线的斜率不存在时，即x＝2，不满足题意；设反射光
线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－.
答案：D
9．(2024·山西模拟)经过A(2,0)，B(0,2)，C(2，4)三点的圆与直线kx－y＋2－4k＝0的
位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．无法确定
解析：方法一：因为k ＝＝－1，k ＝＝1，所以k ·k ＝－1，所以BA⊥BC，所以
AB BC AB BC
该圆是以AC为直径的圆，可得圆心，即(2,2)，半径r＝＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2
＝4.圆心到直线的距离d＝，当k＝0时，有d＝0<2＝r，所以圆与直线相交；当k≠0时，有
d＝＝<2＝r，所以圆与直线相交．综上可知，圆与直线的位置关系是相交，故选A.
方法二：由题知，圆过 A(2,0)，B(0,2)，C(2，4)三点．因为 BA＝(2，－2)，BC＝
(2,2)，所以BA·BC＝(2，－2)·(2,2)＝0，即BA⊥BC.下同方法一．
答案：A
二、多项选择题
10．已知圆C：x2＋y2＋2mx－2(m＋1)y＋2m2＋2m－3＝0(m∈R)上存在两个点到点
A(0，－1)的距离为4，则m的值可能为( )
A．1 B．－1 C．－3 D．－5
解析：由题知，圆C：(x＋m)2＋[y－(m＋1)]2＝22与圆A：x2＋(y＋1)2＝42相交．故|4－
2|<|CA|<4＋2，即2<<6，解得m∈(－－1，－2)∪(0，－1)，∴m的值可能为－5，－3,1.故
选ACD.
答案：ACD
11．(2024·辽宁锦州模拟)关于直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是
( )
A．若直线l与圆C相切，则m2－4k2为定值
B．若m2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m＋1，则直线l与圆C相离
D．“－20恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；直线y＝kx＋
m与y轴的交点是(0，m)，当－20)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－7
＋2a)2＝r2.又圆C经过两点A(0,5)，B(3,6)，
所以|CA|＝|CB|＝r，即＝，解得a＝3，所以圆心C(3,1)，r＝|CA|＝＝5，所以圆C的方
程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.
答案：(x－3)2＋(y－1)2＝25
13．(2024·湖南师大附中月考)若直线l：kx－y＋2－2k＝0与曲线C：y＝有两个不同的
交点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意可得直线l：kx－y＋2－2k＝0即y＝k(x－2)＋2，所以直线l恒过定点
A(2,2)，曲线C：y＝为以(0,0)为圆心，2为半径的上半圆(包含与x轴相交的部分)，如图所
示．当直线l过点(－2，0)时，直线l与曲线C有两个交点，此时k＝＝；当直线l与曲线C
相切于点(0,2)时，直线l与曲线C有一个交点，此时k＝0.由图象可知，若直线l与曲线C
有两个不同的交点，则04，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x－3＝0是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离为d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
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15．(2024·湖南益阳模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点 P作
⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方
程为____________．
解析：⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圆心C(5,0)，半径r＝3，
∵四边形PACB的面积S＝·|PC|·|AB|＝2S ＝|PA|·|AC|＝3|PA|＝3，
△PAC
∴要使|PC|·|AB|最小，则需|PC|最小，
当 PC 与直线 l 垂直时，|PC|最小，此时直线 PC 的方程为 y＝－x＋5，联立解得
P(2,3)，则以PC为直径的圆的方程为2＋2＝，则两圆方程相减可得直线AB的方程为x－y
－2＝0.
答案：x－y－2＝0
