文档文本内容
第2讲 成对数据的统计分析
复习要点 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关
关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程.3.
了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法以及其简单应用.4.了解回归分析的
基本思想、方法及其简单应用．
一 变量的相关关系
1．对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(1)
画散点图；(2)求回归直线方程；(3)用回归直线方程作预报．
2．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．与函数关
系不同，相关关系是一种非确定性关系．
3．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称
为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．
二 样本相关系数
1．r＝.
2．当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
3．|r|≤1.当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对
样本数据的线性相关程度越弱．
三 一元线性回归模型
1．我们将y＝bx＋a称为y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，
其中
2．残差：观测值减去预测值，称为残差．
四 列联表与独立性检验
1．关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
Y
Y＝0 Y＝1 合计
X
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
2.计算随机变量
χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
常/用/结/论
1．经验回归直线过点(，)．
2．求b时，常用公式b＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
1．判断下列结论是否正确．
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平呈正相关．(√)
(2)经验回归直线y＝bx＋a至少经过点(x，y)，(x，y)，…，(x，y)中的一个点．()
1 1 2 2 n n
(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(√)
(4)残差平方和越大，线性回归模型的拟合效果越好．()
2．如图，有5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．决定系数R2变大
D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强
解析：去掉一个极端值，根据样本相关系数、残差平方和的定义、决定系数R2的含义
可知，A，C，D正确．故选B．
答案：B
3．(2020·全国Ⅰ卷，理)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度
x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x，y)(i＝
i i
1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和
温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作
为发芽率y和温度x的回归方程类型是y＝a＋bln x．故选D．
答案：D
4．在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X，Y之间有无关系的
是( )y y 合计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c＋d
2
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
A． B．
C． D．
解析：∵χ2＝，
∴分类变量X和Y有关系时，ad与bc差距会比较大，由－＝＝，故与的值相差应该大，
即的大小可以判断X，Y之间有无关系．
答案：D
题型 变量的相关关系
典例1 (1)(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，
其中 相关系数 r ＝ 0.824 5 ，下列说法正确的是
正相关，且相关程度较强．
( )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关数一定是0.824 5
相关性可能变强，也可能变弱．
(2)(2024·贵州贵阳摸底)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系
数的比较，正确的是( )
①相关系数为r ②相关系数为r
1 2③相关系数为r ④相关系数为r
3 4
A．r<r<0<r<r
2 4 3 1
B．r<r<0<r<r
4 2 1 3
C．r<r<0<r<r
4 2 3 1
D．r<r<0<r<r
2 4 1 3
解析：(1)根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误；散
点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，B选项错误，C选项正确；
由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，
即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，D选项错误．故选C．
(2)易知题中 图 ① 与图 ③ 是正相关 ， 图 ② 与图 ④ 是
①比③拟合程度高，故r＞r＞0.
1 3
负相关，且图①与图②中的样本点集中分布在一
②比④拟合程度高，由于r，r 均小于0，故r＜r＜0.
2 4 2 4
条直线附近，则r<r<0<r<r.故选A．
2 4 3 1
判断相关关系的两种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某条曲线附近，变量之间就有相关关系．如果
所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1，相关性越强．
对点练1 已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝bln(kx)与y＝
1 1
kx＋b 拟合时的相关系数分别为r，r，则比较r，r 的大小结果为( )
2 2 1 2 1 2
A．r>r B．r＝r
1 2 1 2
C．r<r D．不确定
1 2
解析：由散点图可知，用y＝bln(kx)拟合比用y＝kx＋b 拟合的程度高，故|r|>|r|.又
1 1 2 2 1 2
因为变量x，y呈负相关，
所以－r>－r，即r<r.
1 2 1 2
答案：C题型 一元线性回归模型
典例2人类社会正进入数字时代，网络成为了生活中必不可少的工具，智能
手机也给我们的生活带来了许多方便．但是这些方便又时尚的手机，却也让我们的眼睛离
健康越来越远．为了解手机对视力的影响程度，某研究小组在经常使用手机的大学生中进
行了随机调查，并对结果进行了换算，统计了大学生一个月中平均每天使用手机的时间
x(单位：h)和视力损伤指数y的数据如下表：
平均每天使用
1 2 3 4 5 6 7
手机的时间x(h)
视力损伤指数y 2 5 8 12 15 19 23
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程y＝bx＋a；
(2)该小组研究得知：视力的下降值t与视力损伤指数y满足函数关系式t＝·＋0.05，如
果小明在一个月中平均每天使用9个小时手机，根据(1)中所建立的经验回归方程估计小明
视力的下降值(结果保留一位小数)．
参考公式及数据：b＝，
a＝－b，≈1.414.
解：(1)由表格中的数据可得
＝＝4，
＝＝12，
所以b＝也可用b＝.
＝＝＝3.5，
a＝12－3.5×4＝－2，所以经验回归方程为y＝3.5x－2.
(2)如果小明在一个月中平均每天使用9个小时手机，那么小明的视力损伤指数为y＝
3.5×9－2＝29.5，
所以t＝×＋0.05＝＋0.05≈0.3，估计小明视力的下降值为0.3.
注意是用经验回归方程来估计的．
求经验回归方程的步骤对点练2 (2024·安徽蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日均存款总额的关
系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经
过统计得到下表：
利率上升百分点x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款总额y(亿元) 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y＝bx＋a；
(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测
日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①b＝，
a＝－b，② y＝0.9，＝0.55.
i i
解：(1)如图所示．
(2)由表格数据可得＝×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，
＝×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，
所以b＝
＝＝1.5，
a＝－b＝0.5－1.5×0.3＝0.05，
故y＝1.5x＋0.05.
(3)设利率需上升x个百分点，
由(2)得，0.625×2＝1.5x＋0.05，
解得x＝0.8，所以预测利率需上升0.8个百分点．
题型 一元非线性回归模型
典例3 2021年初，某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经
推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量y(单位：百件)与月份x之间的
关系.
月份x 1 2 3 4 5 6 7
销量y 6 11 21 34 66 101 196
(1)画出散点图，并根据散点图判断y＝ax＋b与y＝cdx(c，d均为大于零的常数)哪一个
适合作为销量y与月份x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据，求y关于x的经验回归方程，并预测2021年8月
份的销量；
(3)考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份(x的
取值依次记作1到12)，每百件该产品的利润为P＝10－0.05x2＋0.6x元，求2021年几月份
该产品的利润Q最大．
参考数据：
y v 100.54
i i i i
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
其中v＝lg y，＝.
i i i
参考公式：
对于一组数据(u，v)，(u，v)，…，(u，v)，其经验回归直线v＝α＋βu的斜率和截距
1 1 2 2 n n
的最小二乘估计公式分别为β＝，α＝－β.
解：(1)散点图如下图，
由散点图知用曲线型拟合．
根据散点图判断，y＝cdx适合作为销量y与月份x的经验回归方程类型．
(2)对 y ＝ cd x 两边同时取常用对数 得lg y＝lg c＋xlg d，目的：非线性转线性．
由lg y＝v，得v＝lg c＋xlg d，
因为＝4，＝1.54，＝140，v＝50.12，
i i所以lg d＝＝＝0.25，
再把(4,1.54)代入v＝lg c＋xlg d，
得lg c＝0.54，所以v＝0.54＋0.25x，
即lg y＝0.54＋0.25x.
所以y关于x的经验回归方程为y＝100.54＋0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x，
把x＝8代入上式，得y＝3.47×102＝347，
所以预测 2021年8月份的销量为347百件．
注意答题的准确性．
2
(3)由题意得Q＝yP＝ 3.47×10 － 0.05 x ＋ 0.85 x(x∈N
本质是研究指数的最值．
且1≤x≤12)，构造函数 f ( x ) ＝－ 0.05 x 2 ＋ 0.85 x ( x ∈ N 且 1≤ x ≤12) ，可直接求对称轴 x＝
8.5∉N*，则x＝8或9时，f(x)最大．
得f′(x)＝－0.1x＋0.85，令f′(x)＝0，得x＝8.5.
所以当x＝8或9时，f(x)取最大值，
即2021年8月份或9月份该产品的利润Q最大．
解决非线性回归模型的应用问题的关键是对非线性回归函数模型作变换，一般思路是
换元，化非线性为线性，进而应用线性回归的方法进行求解．如
对点练3 数独是一种运用纸、笔进行演算的数学游戏，玩家需要根据 9×9
盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫
(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大
赛初级组的比赛，赛前小明在某数独 APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度
y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到下表的数据：
x(天) 1 2 3 4 5 6 7
y(秒) 990 990 450 320 300 240 210
(1)现用y＝a＋作为经验回归模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；
(2)请用第(1)题的结论，预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少
秒？
参考数据：其中t＝，y＝1 845，≈0.37，－72≈0.55.
i i i
参考公式：对于一组数据(u，v)，(u，v)，…，(u，v)，其经验回归直线v＝α＋βu的
1 1 2 2 n n
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝，α＝－β.
解：(1)由题意得＝×(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，
令t＝，得y关于t的经验回归方程为y＝bt＋a，
则有b＝
≈＝1 000，
a≈500－1 000×0.37＝130，
所以y＝1 000t＋130，又t＝，所以y关于x的经验回归方程为y＝＋130.
(2)当x＝100时，y＝140，
所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒．
题型 独立性检验
典例4 (2023·全国甲卷，理)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选
40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白
鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，测得40只小白鼠体重(单位：
g)如下(已按从小到大排列)：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
17．3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4
26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
5．4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2
23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
(1)设其中 两只小白鼠中对照组小白鼠数目为 X ，求X的分布列和数学期望；
X服从超几何分布．
(2)①求40只小白鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
<m ≥m
对照组
试验组
②根据2×2列联表，能否有95%的把握
在临界值表中找0.05.
认为臭氧对小白鼠生长有抑制作用．
参考数据：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010
0
k 2.706 3.841 6.635
0
解：(1)X的可能取值为0,1,2，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)①依题意，可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排
列后第20位与第21位数据的平均数，
这是研究中位数的前提，也是易错点．
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组前10位数据与试验组后8位数据即
可，
可得第 11 位数据为 14.4，后续依次为 17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2，23.6，…，
故第20位为23.2，第21位数据为23.6，
所以m＝＝23.4，
故列联表为
<m ≥m 合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
②由①可得，
K2＝＝6.400>3.841，
K2与临界值大小作比较，作统计判断．
所以能有95%的把握认为臭氧对小白鼠生长有抑制作用．
独立性检验的一般步骤
对点练4 (2024·湖南永州模拟)为了精准地找到目标人群，更好地销售新能
源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分
析，得到如下列联表(m≤40，m∈N).
购买新能源汽车 购买传统燃油车
(人数) (人数)
男性 80－m 20＋m
女性 60＋m 40－m
(1)当m＝0时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层随机抽样的方法抽
取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数
为X，求X的分布列与数学期望．
(2)定义χ2＝∑(2≤i≤3,2≤j≤3，i，j∈N)，其中A 为列联表中第i行第j列的实际数据，B
ij ij
为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘列联表的总频数得到的理论频数．基于小概率
值α的检验规则：首先提出零假设H(变量X，Y相互独立)，然后计算χ2的值，当χ2≥x 时，
0 α我们推断H 不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没
0
有充分证据推断H 不成立，可以认为X和Y相互独立．根据χ2的计算公式，求解下面的问
0
题：
①当m＝0时，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新
能源汽车有关；
②当m<10时，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能
源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？
附：
α 0.1 0.025 0.005
x 2.706 5.024 7.879
α
解：(1)当m＝0时，
用分层随机抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人．
由题意可知，X的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
则X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
(2)①零假设为H ：性别与是否喜爱购买新能源汽车独立，即性别与是否喜爱购买新能
0
源汽车无关联．
当m＝0时，
A ＝80，B ＝0.5×0.7×200＝70，A ＝20，B ＝0.5×0.3×200＝30，
22 22 23 23
A ＝60，B ＝0.5×0.7×200＝70，A ＝40，B ＝0.5×0.3×200＝30，
32 32 33 33
χ2＝＋＋＋
＝＋＋＋＝≈9.524，
∵9.524>7.879＝x ，
0.005
∴根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为性别与是否购买
0
新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.
②χ2＝＋＋＋
＝，
由题意可知≥2.706，
整理得(10－m)2≥28.413，
又m∈N，m<10，∴m≤4，且m∈N，
∴m的最大值为4，
又80－4＝76，
∴至少有76名男性喜爱购买新能源汽车．
