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2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分150分，考试用时120分钟）
一､选择题
1．已知全集 ，集合 ， ，那么集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合 ，根据交集的定义即可.
【解析】由题意可知， ，
，
所以 .
故选：B.
2．已知函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义可得 ，计算可求 的值.
【解析】 ，
得 ，所以 .
故选：B.
3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
【分析】由函数 在 上是单调递增函数，则 ，可得答案
【解析】由函数 在 上是单调递增函数，则 ，
所以“ ”是“ ”的的充要条件，
故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题，
4．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】将 和 两边放，然后两边同时除以 ，凑出 ，再用基本不等式即可.
【解析】因为 ， ，两边同时除以 ，得到
，
当且仅当 即 取“=”.
则 ，当且仅当 取“=”.
两边取自然对数，则 ，当且仅当 取“=”.
故 的最小值为 .
故选：D.
5．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式： 它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中，
最大信息传递速率C取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中 叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比卡 从1999提升至 ，使得C
大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120)
A．9121 B．9119 C．9919 D．10999
【答案】B
【分析】根据题意先建立数学模型，然后利用对数求值进行计算.
【解析】解：由题意得：
，
又
故
故选：B
6．已知 且 ，函数 满足对任意实数 ，都有 成
立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得函数 在 上为增函数，所以 ，从而可求出 的取值范围
【解析】解：因为 对任意实数 ，都有 成立，
所以 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
故选：C
7．已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题设条件有 ，令 则有 、
，应用基本不等式求 范围且 恒成立，进而求 的范围，即可得结
果.
【解析】由 ，则 ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ，仅当 时等号成立，
对于 恒成立，仅当 ，即 时等号成立，
综上，若 ，则 ，
而 ，则 ，只需 ，
所以 ，仅当 ，即 时等号成立，
综上， ，仅当 ，即 时等号成立.所以目标式最小值为 .
故选：C
8．已知定义在R上的奇函数 ，对于 都有 ，当 时，
，则函数 在 内所有的零点之和为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合 时， ，即可作出
函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.
【解析】由题意定义在R上的奇函数 ，对于 ，都有 ，
图象关于直线 对称；
且 ，即 ，
故 ，
即函数 是以4为周期的周期函数，
当 ，则 ，则 ，
故 ，
当 ，则 ，因为 ，
则 ；
当 时，则 ，
由此可作出函数 在 内的图象，如图示：由 可得 ，
由图象可知 的图象与 在 内仅有4个交点，
不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为 ，
由于 为图象对称轴，且函数周期为4，故 也为函数图象的对称轴，
故由图象可知 关于 对称， 关于 对称，
故 ，则 ，
即函数 在 内所有的零点之和为12，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进
而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.
二、多选题
9．已知 ， ， ，则下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据不等性质分别判断各选项.【解析】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，两边同乘以 得 ，即 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，两式相乘得 ，故C错误；
对于D： ，因为 ，所以 ， ，所以
，即 ，故D正确；
故选：ABD.
10．已知关于x的一元二次不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 且
B．
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为
【答案】AB
【分析】A选项，转化为 为一元二次方程 的两个根，且 ，由韦达定理得到答案；B
选项，根据 为一元二次方程 的根，得到B正确；C选项，在A基础上不等式变形为
，解出解集；D选项，不等式变形为 ，求出解集.
【解析】A选项，由题意得 为一元二次方程 的两个根，且 ，故 ，即 ，A正确；
B选项， 为一元二次方程 的根，故 ，B正确；
C选项，由A选项可知， ，解得 ，C错误；
D选项， ，
又 ，故 ，解得 或 ，D错误.
故选：AB
11．定义区间 的长度为 ，记函数 （其中 ）的定义域 的长度为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B． 的最大值为
C． 在 上单调递增
D．给定常数 ，当 时， 的最小值为
【答案】ABD
【分析】求函数 的定义域，得 判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求
判断函数的最值判断BD选项．
【解析】由 ，得 ， ， ，A选项正确；
设 ，则 ，
， ， ， ， 在 上是增函数，
同理可证， 在 上是减函数，所以 在 上是增函数，在 上是减函数，C选项错误；
为最大值，B选项正确；
， ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，
的最小值为 和 中较小者，
．
的最小值为 ，D选项正确．
故选： ．
三、填空题
12．已知正实数 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】由题意可得 ，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【解析】由题意知， ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域为
【答案】
【分析】首先求出函数 的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解【解析】由 值域为 ，
得 ，所以 ，
解得 即 的定义域为 ，
由 得 ，
故 的定义域为 .
故答案为：
14．已知函数 在 上单调递减，且对任意的 ，总有 ，
则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据单调性求出 的范围，结合二次函数区间最值可得答案.
【解析】由于函数 图象的对称轴为直线 ，
函数 在 上单调递减，所以 .
在区间 上，0距对称轴 最远，故要使对任意的 ，都有 ，
只要 即可，即 ，
解得 .
又 ，所以 .
故答案为：
四、解答题
15．计算：(1)
(2) .
(3)已知 ，求 的值.
【答案】(1) ；
(2)0；
(3)
【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；
（2） 利用对数式的运算规则化简求值；
（3）由 ，两边同时平方，求出 ，由 ，求出 ，再由
求值即可.
【解析】（1） .
（2）
.
（3） ，即 ，
， ，
. .16．已知指数函数 的图象过点 ．
(1)求 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由指数函数的概念列式求解，
（2）由对数函数的单调性转化后求解．
【解析】（1）由题知指数函数 ，则 ，得 或 ，又 ，
图象经过 ，则 ，解得 ；
（2） ，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
∴满足条件 ，
∴不等式的解集为 ．
17．已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的最大值和最小值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得 在 上恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可
求出参数的取值范围.
【解析】（1）若 ， ， ，
令 ，因为 ，所以 ，
令 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ；
（2）因为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 的取值范围是 .
18．设函数
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于 的不等式： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对 是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为 ，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【解析】（1） 对一切实数x恒成立，等价于 恒成立.
当 时，不等式可化为 ，不满足题意.
当 ，有 ，即 ，解得
所以 的取值范围是 ．
（2）依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，此时 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ；
综上，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 .
19．设有两个集合 ，如果对任意 ，存在唯一的 ，满足 ，那么称 是一个 的
函数.设 是 的函数， 是 的函数，那么 是 的函数，称为 和 的复合，
记为 .如果两个 的函数 对任意 ，都有 ，则称 .
(1)对 ，分别求一个 ，使得 对全体 恒成立；
(2)设集合 和 的函数 以及 的函数 .
（i）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足 ；
（ii）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足 ，
并且说明如果存在其它的集合 满足存在 的函数 以及 的函数 ，满足 ，则
存在唯一的 的函数 满足 .
【答案】(1) ，
(2)（i） ， ；（ii） ， ，说明见解析
【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；
（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.
【解析】（1）因为 ，而 ，
对全体 恒成立；
故 对所有 成立.（2）（i）考虑 以及 两个函数，
对任意 ，因为 ，
所以 .
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
因此存在 满足条件；
如果 符合题意，即 ，
则 ，
由 定义得到 ；
所以存在唯一的 的函数 满足题意.
【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.
