文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
5.2 复数
五年高考
高考新风向
z
1.(2024新课标Ⅰ,2,5分,易)若 =1+i,则z= ( )
z−1
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
2.(2024新课标Ⅱ,1,5分,易)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1 C.√2 D.2
3.(2024 全 国 甲 理 ,1,5 分 , 易 ) 若 z=5+i, 则 i(z+z)=
( )
A.10i B.2i C.10 D.2
考点1 复数的概念
1.(2023 新 课 标 Ⅱ,1,5 分 , 易 ) 在 复 平 面 内 ,(1+3i)·(3-i) 对 应 的 点 位 于
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2−i
2.(2021新高考Ⅱ,1,5分,易)在复平面内,复数 对应的点位于 ( )
1−3i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
3.(2020课标Ⅲ理,2,5分,易)复数 的虚部是 ( )
1−3i
3 1 1 3
A.- B.- C. D.
10 10 10 10
4.(2023全国乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|= ( )
A.1 B.2 C.√5 D.5
5.(2023全国甲理,2,5分,易)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.(2022全国乙理,2,5分,易)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
7.(2020课标Ⅱ理,15,5分,中)设复数z ,z 满足|z |=|z |=2,z +z =√3+i,则|z -z |= .
1 2 1 2 1 2 1 2
考点2 复数的运算1.(2020新高考Ⅱ,2,5分,易)(1+2i)(2+i)= ( )
A.-5i B.5i C.-5 D.5
2.(2022新高考Ⅱ,2,5分,易)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
3.(2022新高考Ⅰ,2,5分,易)若i(1-z)=1,则z+z= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2021新高考Ⅰ,2,5分,易)已知z=2-i,则z(z+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
2−i
5.(2020新高考Ⅰ,2,5分,易) = ( )
1+2i
A.1 B.-1 C.i D.-i
1−i
6.(2023 新 课 标 Ⅰ ,2,5 分 , 易 ) 已 知 z= , 则 z-z=
2+2i
( )
A.-i B.i C.0 D.1
2+i
7.(2023全国乙理,1,5分,易)设z= ,则z= ( )
1+i2+i5
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
z
8.(2022 全 国 甲 理 ,1,5 分 , 易 ) 若 z=-1+√3i, 则 =
zz−1
( )
A.-1+√3i B.-1-√3i
1 √3 1 √3
C.- + i D.- - i
3 3 3 3三年模拟
练速度
1.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,2)若复数z满足z+2z=3-2i,则|z|为 ( )
A.2 B.√2 C.√5 D.5
2
2.(2024河北唐山一模,1)已知i为虚数单位,复数z= ,则z·z= ( )
1+i
A.1+i B.1-i C.√2 D.2
3.(2024湖南衡阳名校联合体联考一,2)已知复数z=(a+bi)i(a,b∈R,i为虚数单位)的共轭复
数为z,则z为纯虚数的充分必要条件为 ( )
A.a2+b2≠0 B.ab=0
C.a=0,b≠0 D.a≠0,b=0
4.(2024湖南师大附中模拟(二),2)已知z是虚数,z2+2z是实数,则z的 ( )
A.实部为1 B.实部为-1
C.虚部为1 D.虚部为-1
5.(2024湖南岳阳质检(三),2)若虚数单位i是关于x的方程ax3+bx2+2x+1=0(a,b∈R)的一个
根,则|a+bi|=( )
A.√2 B.2 C.√5 D.5
a+i
6.(2024黑龙江齐齐哈尔一模,2)已知a∈R,若z= 为纯虚数,则a= ( )
2i−1
1
A.√2 B.2 C.1 D.
2
2
7.(2024河北部分学校联考,2)已知复数z = ,z =2i,则|z -z |= ( )
1 1+i 2 1 2
A.10 B.√10 C.√2 D.1
8.(2024辽宁辽阳一模,2)复数z=(2-i)(|4-3i|+i)的共轭复数为 ( )
A.11+3i B.51+23i C.9+3i D.49+23i
9.(2024浙江Z20名校联盟第二次联考,2)已知1+2i是关于 x的实系数一元二次方程 x2-
2x+m=0的一个根,则m= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
z i
10.(2024山东潍坊一模,12)已知i是虚数单位,若复数z满足(2+i)z=i,则 = .
2−i 5
练思维
1.(2024 江西重点中学协作体联考,2)在复平面内,复数 z 对应的点在第三象限,则复数
z·(1+i)2 024对应的点在 ( )A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024湖南九校联盟第二次联考,3)关于复数z与其共轭复数z,下列结论正确的是( )
A.在复平面内,表示复数z和z的点关于虚轴对称
B.z·z>0
C.z+z必为实数,z-z必为纯虚数
D.若复数z为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的一根,则z也必是该方程的根
3.(多选)(2024江苏徐州新高考适应性测试,9)已知复数z在复平面内对应的点为( 1 √3),
− ,
2 2
则 ( )
A.|z|=1 B.z+z=1
C.z2+z+1=0 D.z2 024=z
2
4.(多选)(2024湖南长沙长郡中学一模,9)已知i为虚数单位,复数z= ,下列说法正确
i(3+i3
)
的是 ( )
√10
A.|z|=
5
B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
3
C. i-z<0
5
1
D.z+ 为纯虚数
5
5.(多选)(2024河北衡水部分学校二模,9)已知z∈C,z是z的共轭复数,则 ( )
1+3i −4−3i
A.若z= ,则z=
1−3i 5
B.若z为纯虚数,则z2<0
C.若z-(2+i)>0,则z>2+i
D.若M={z||z+3i|≤3},则集合M所构成区域的面积为6π
6.(多选)(2024山东青岛第一次适应性检测,10)已知复数z,下列说法正确的是 ( )
A.若z-z=0,则z为实数
B.若z2+z2=0,则z=z=0
C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数7.(多选)(2024山东泰安一轮检测,9)已知复数z,w,则下列说法正确的是( )
A.若z=w,则z=w
B.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限
C.若z2=1,则z=z
D.若|z-2|=1,复数 z 在复平面内对应的点为 Z,则直线 OZ(O 为原点)斜率的取值范围为
[ √3 √3]
− ,
3 3
8.(多选)(2024山东泰安三模,10)已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则
( )
A.x-y-1=0 B.x+y+1=0
√2 1
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
2 2
9.(多选)(2024湘豫名校联考模拟(三),11)一般地,对于复数z=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),在
平面直角坐标系中,设|z|=|⃗OZ|=r(r≥0),经过点Z的终边的对应角为θ,则根据三角函数的定
义可知a=rcos θ,b=rsin θ,因此z=r(cos θ+isin θ),我们称此种形式为复数的三角形式,r称
为复数 z 的模,θ 称为复数 z 的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合
0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z-1|≤r,r∈(0,1),Re(z)为z的实部,θ为
z的辐角的主值,则 ( )
A.|z-√2024i|的最大值为r+45
B.|z-√2024i|的最小值为45-r
C.cos θ≤
√1−r2
D.Re(1)≥ 1 (1-r2)
z ℜ(z)
练风向
1.(创新知识交汇)(2024广东湛江二模,4)若复数z=(2x+yi)(2x-4yi)(x,y∈R)的实部为4,则点
(x,y)的轨迹是 ( )
A.直径为2的圆
B.实轴长为2的双曲线
C.直径为1的圆
D.虚轴长为2的双曲线2.(概念深度理解)(多选)(2024浙江杭州二模,9)已知关于x的方程x2+tx+1=0(-20
C.z+z必为实数,z-z必为纯虚数
D.若复数z为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的一根,则z也必是该方程的根
3.(多选)(2024江苏徐州新高考适应性测试,9)已知复数z在复平面内对应的点为( 1 √3),
− ,
2 2
则 ( ACD )
A.|z|=1 B.z+z=1
C.z2+z+1=0 D.z2 024=z
2
4.(多选)(2024湖南长沙长郡中学一模,9)已知i为虚数单位,复数z= ,下列说法正确
i(3+i3
)
的是 ( ABC )
√10
A.|z|=
5
B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
3
C. i-z<0
5
1
D.z+ 为纯虚数
5
5.(多选)(2024河北衡水部分学校二模,9)已知z∈C,z是z的共轭复数,则 ( AB )
1+3i −4−3i
A.若z= ,则z=
1−3i 5
B.若z为纯虚数,则z2<0
C.若z-(2+i)>0,则z>2+i
D.若M={z||z+3i|≤3},则集合M所构成区域的面积为6π
6.(多选)(2024山东青岛第一次适应性检测,10)已知复数z,下列说法正确的是 ( AC )
A.若z-z=0,则z为实数
B.若z2+z2=0,则z=z=0
C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2D.若|z-i|=|z|+1,则z为纯虚数
7.(多选)(2024山东泰安一轮检测,9)已知复数z,w,则下列说法正确的是( ACD )
A.若z=w,则z=w
B.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限
C.若z2=1,则z=z
D.若|z-2|=1,复数 z 在复平面内对应的点为 Z,则直线 OZ(O 为原点)斜率的取值范围为
[ √3 √3]
− ,
3 3
8.(多选)(2024山东泰安三模,10)已知z满足|z+i2-i3|=|z|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则
( AC )
A.x-y-1=0 B.x+y+1=0
√2 1
C.|z|的最小值为 D.|z|的最小值为
2 2
9.(多选)(2024湘豫名校联考模拟(三),11)一般地,对于复数z=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),在
平面直角坐标系中,设|z|=|⃗OZ|=r(r≥0),经过点Z的终边的对应角为θ,则根据三角函数的定
义可知a=rcos θ,b=rsin θ,因此z=r(cos θ+isin θ),我们称此种形式为复数的三角形式,r称
为复数 z 的模,θ 称为复数 z 的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合
0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z-1|≤r,r∈(0,1),Re(z)为z的实部,θ为
z的辐角的主值,则 ( ABD )
A.|z-√2024i|的最大值为r+45
B.|z-√2024i|的最小值为45-r
C.cos θ≤
√1−r2
D.Re(1)≥ 1 (1-r2)
z ℜ(z)
练风向
1.(创新知识交汇)(2024广东湛江二模,4)若复数z=(2x+yi)(2x-4yi)(x,y∈R)的实部为4,则点
(x,y)的轨迹是 ( A )
A.直径为2的圆
B.实轴长为2的双曲线
C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线
2.(概念深度理解)(多选)(2024浙江杭州二模,9)已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2
