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人教A版数学--高考解析几何复习专题一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆 的左、右焦点为 ，过 的直线 与椭圆相交
于 、 两点.
（1）若 ，且 求椭圆的离心率.
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆E的离心率为 ，
且通径长为1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当
时，求四边形 面积的最大值．典例2、已知椭圆 ： 与抛物线 ： 有相同的焦点 ，抛
物线 的准线交椭圆于 ， 两点，且 .
（1）求椭圆 与抛物线 的方程；
（2） 为坐标原点，过焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值.
随堂练习：在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，过点
，且
是椭圆 的内接三角形.（1）若点 为椭圆 的上顶点，且原点 为 的垂心，求线段 的长；
（2）若点 为椭圆 上的一动点，且原点 为 的重心，求原点 到直线 距离
的最小值.
典例3、在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，过点 的动直线 与过
点 的动直线 的交点为P， ， 的斜率均存在且乘积为 ，设动点Р的轨迹为曲
线C.
（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一
点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求 的最大值.随堂练习：对于椭圆 ，有如下性质：若点 是椭圆外一点，
， 是椭圆
的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是 ，可利用此结论解答下列问
题．
已知椭圆C： 和点 ，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，
记点A，B到
直线 （O是坐标原点）的距离是 ， ．
（1）当 时，求线段 的长； （2）求 的最大值．
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知椭圆 的长轴长为 ，且经过点 .
（1）求C的方程；（2）过点 斜率互为相反数的两条直线 ， 分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线 过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆 ： 过点 ，过右焦点 作 轴的垂线交椭
圆于 ， 两点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程； （2）点 ， 在椭圆 上，且 .证明：直线
恒过定点.典例5、已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 、 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，证明直线 经过
定点．
随堂练习：已知F是椭圆 的左焦点，焦距为4，且C过点 ．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l，l，若l与C交于A，B两点，l与C交于D，E
1 2 1 2
两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求
出定点坐标；若不过定点，请说明理由．典例6、已知椭圆T： 经过以下四个不同点中的某三个点： ，
， ， ．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知
M，N两点的坐标分别为 ， ，点F是直线 上的一个动点，且直线 ，
分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线 是否恒过
定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆 ： （ ）的左、右顶点分别为 ， ， 为坐标
原点，直线 ： 与 的两个交点和 ， 构成一个面积为 的菱形.
（1）求 的方程；（2）圆 过 ， ，交 于点 ， ，直线 ， 分别交 于另一点 ， .
①求 的值； ②证明：直线 过定点.
人教A版数学--高考解析几何复习专题一答案
典例1、答案：（1） ；（2）最大值 ；最小值 .
解:（1） ， 因为 。所以 ， 所以
，
所以
（2）由于 ，得 ，则 .
①若 垂直于 轴，则 ， 所以 ，
所以
②若 与 轴不垂直，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为
由 得， 方程有两个不等的实数根.
设 ， . ,
=
，所以当直线 垂于 轴时， 取得最大值
当直线 与 轴重合时， 取得最小值
随堂练习：答案：（1） ；（2）2.
解:（1）依题意可知 ，解得 故椭圆的方程为 ．
（2）延长 交E于点 ，由（1）可知 ，
设 ，设 的方程为 ，由 得 ，故 ．
设 与 的距离为d，则四边形 的面积为S，
，
又因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 故四边形 面积的最大值
为2．
典例 2、答案：（1）椭圆 的方程为： ，抛物线 的方程为： ；
（2）最大值为1.
解：（1）因为 ，所以不妨设 的坐标为 ， 的坐标为 ，
所以有： ，∴ ， ，
∴椭圆 的方程为： ，抛物线 的方程为： ；
（2）由（1）可知： 的坐标为： ，
设直线 的方程为： ， 到 的距离为 ，则，
联立 可得： ，则 ，
，
当且仅当 时取等号，故 面积的最大值为1.
随堂练习：答案：（1） ；（2） .
解：（1）设焦距为 ，由题意知： ，
因此，椭圆 的方程为： ；
由题意知： ，故 轴，设 ，则 ， ，
，解得： 或 ，
， 不重合，故 ， ，故 ；
（2）设 中点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点， 为 的重心，则
，
当 斜率不存在时，点 在 轴上，所以此时点 在长轴的端点处由 ,则 ，则 到直线 的距离为1；
当 斜率存在时，设 ： ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ，即
也即
，则
，
则： ， ，代入式子得： ，
设 到直线 的距离为 ，则 时，
；
综上，原点 到直线 距离的最小值为 .
典例3、答案：（1） （2）解：（1）设 点坐标为 ，
定点 ， ，直线 与直线 的斜率之积为 ，
，
（2）设 ， ， ，则 ， ，
所以
又 ，所以 ，又 即 ，则直线 ：
，
直线 ： ，由 ，解得 ，即
，
所以
令 ，则 ，所以
因为 ，当且仅当 即 时取等号，所以 的最大值为 ；
随堂练习：答案：（1） ；（2） ．
解:（1）当 时，直线 方程为 ，联立，得 ．
设 ， ，则 ， ．则
．
（2）直线 ： ，即 ，直线 ： ．
设 ， ，则 ，
记 ，则 ，
法一：常规换元法
令 ， ，则
，当 即 时取得等号，则 的最大值是 ．
法二：分离常数法
，显然 时不取得最大值，则 ，
当 时取得等号，则 的最大值是 ．
典例4、答案：（1） ；（2）证明见解析， .
解:（1）由题意得 ，得 ，所以椭圆方程为： ，
将 代入椭圆方程得： ，解得 ， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 .
设A，B的坐标分别为 ， 则
，
且 ， 因为直线 ， 斜率互为相反数，即 ，
所以 ，则 ， 即
，即 ， 所以 ，化简
得 ，
所以直线 的方程为 ， 故直线 过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当 时， ， 又因为椭圆过点 ，则 ，
联立解得 ，故椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明设点 ， ， 因为 ，即 ，
即 .* 当直线 的斜率存在时，设直线方程为
.
代入椭圆方程消去 得 ， ， ，
，
根据 ， .代入*整理， 得
，
结合根与系数的关系可得， .
即 ， 当 时，直线方程为 .过点 ，不符合条件.
当 时，直线方程为 ， 故直线 恒过定点
.
当直线 的斜率不存在时，令点 ， 此时 ，
又 .可得 （舍去）或 . 当 时，与点 重合，与已知条件
不符，
∴直线 的斜率一定存在，故直线 恒过定点 .
典例5、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知， ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得
，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：若 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 与 也关于 轴对称，
从而直线 与 的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线 方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
可得 ，由韦达定理可得 ， ，因为
，
整理可得 ，
即 ，化简得 ，
即 ，可得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意.
随堂练习：答案：（1） （2） 过定点，定点坐标为
解：（1）依题意 ， 由 解得 ， 所以椭圆 的方程
为 .
（2）由题意知，当 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 ，此时直线
为 轴；
当 的斜率都存在且不为 时，设 ，
设 ，联立 ，整理得 ，， ，
则 ， 所以 的中点 ，
同理由 ，可得 的中点 ， 则
，
所以直线 的方程为 ，
化简得 ，
故直线 恒过定点 ． 综上，直线 过定点 .
典例6、答案：（1） ；（2）直线 恒过定点 .
解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即 ①， 若B在椭圆上，则
②，
由①②可得 ，不存在， 所以D在椭圆上，可得 ③，
由①③可得 ， ， 所以椭圆的方程为： ；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变，
设E上的点为： ，对应的点 ，由题意可得 ， ， 所以 ，
，
所以E的方程 ， 设 ， ， ， ，
所以直线 的方程为： ，直线 的方程 ，
联立直线 与椭圆的方程 整理可得 ，
所以 ， ，即 ，
联立直线NF与椭圆的方程： 整理可得 ，
所以 ， 即 ，
所以直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，整理可得 ，当 ， . 所以直线 恒过定点 ．
随堂练习：答案：（1） （2）① ②证明见解析
解：（1）因为直线 ： 与 的两个交点和 ， 构成的四边形是菱形，
所以 垂直平分 ，所以 ， .
设 为直线 与 的一个交点，则菱形的面积为 .
因为菱形的面积为 ，所以 ，解得 ，即 .
将点 代入 ，得 ，又因为 ，所以 .
故 的方程为 .
（2）①由题意，得 为圆 的一条弦，且直线 垂直平分该弦，
故直线 经过圆心 ，所以 为圆 的直径，因此 ，即 .
设 ， ，则 .
注意到 ， ，则 .
又因为 ， ，所以 .
②易知直线 不可能平行于 轴，则设直线 的方程为 （ ），
， .由 得 .
，（*）
， .①因为 ， ，所以
，
即 ， 即 .
将①代入上式得 ，
化简得 ，解得 ，满足（*），
所以直线 的方程为 ， 故直线 过定点 .
