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人教A版数学--高考解析几何复习专题五
知识点一 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例1、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线 的右
顶点 在圆 上，且 ．
（1）求双曲线 的方程；（2）动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两
条渐近线分别交于点 、 ，设 为坐标原点．求证： 的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C： 的离心率为 ，焦点到其渐近线的距离
为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l： 与双曲线C交于A，B
两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为 ，求△OAB的面积．典例2、已知双曲线 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，
一条渐近线的倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；（2）经过点 的直线与双曲线的右支交与 两点，与 轴
交与 点，点 关于原点的对称点为点 ，求证： ．
随堂练习：已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，的左､右焦点分
别为 ， ，且 到 的一条渐近线的距离为1.
（1）求 的标准方程；（2）若 是 与 在第一象限的交点， 与 的另一个交点
为P，与 的另一个交点为 ， 与 的面积分别为 ， ，求 .
典例3、已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近
线的距离为1．
（1）求双曲线 的标准方程与离心率；（2）已知斜率为 的直线 与双曲线 交于
轴上方的A， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积为 ，求 的面
积．随堂练习：在平面直角坐标系中 中，已知双曲线 的一条渐近线
方程为 ，
过焦点垂直于实轴的弦长为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 交于两点 ，且 ，若 的面积为 ，求直线
的方程.
知识点二 直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A
（x，y）和B（x，y）两点.
1 1 2 2
（1）当x+x＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线
1 2
l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S与S，求SS的最
1 2 1 2
小值.
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，斜率为2的直线 与抛物线 相交于 、
两点．
（1）若直线 与抛物线 的准线相交于点 ，且 ，求直线 的方程；
（2）若直线 不过原点，且 ，求 的周长．典例5、已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）当l的倾斜角为 时，若 ，求 ；（2）设点 ，且 ，
求l的方程．
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 、
两点， ．
（1）求 的取值范围；（2）若 ，点 的坐标为 ，直线 与抛物线的另一个
交点为 ，直线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与 轴交于点 ，求
的取值范围．典例6、已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，
交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
（1）若 ，求直线l的斜率；（2）若 ，证明： 为定
值.
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ．
（1）如图所示，线段 为过点 且与 轴垂直的弦，动点 在线段 上，过点 且斜
率为1的直线 与抛物线交于 两点，请问 是否为定值，若是，
求出该定值；若不是，说明理由；（2）过焦点 作直线 与 交于 两点，分别过 作抛物线 的切线，已知两切线
交于点 ，求证：直线 ､ 、 的斜率成等差数列．
人教A版数学--高考解析几何复习专题五答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为 ,
从而 故由 , 又因为 , 所
以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线 的标准方程为：
（2）设直线 与 轴交于 点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点, 且与双曲线 的两条渐近线分别交于点
,当动直线 的斜率不存在时, , ， ,
当动直线 的斜率存在时, 且斜率 , 不妨设直线 ,
故由
依题意， 且 , 化简得
,
故由 , 同理可求, ,
所以 又因为原点 到直线 的距离
,
所以 ,又由 所以 ,
故 的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C： 的焦点坐标为 ，其渐近线方程为
，
所以焦点到其渐近线的距离为 ． 因为双曲线C的离心率为 ，
所以 ，解得 ， 所以双曲线C的标准方程为 ．（2）设 ， ， 联立 ，得 ，
，
所以 ， ．
由 ， 解得t＝1（负值
舍去），
所以 ， ． 直线l： ，所以原点O到直线l的距离为
，
， 所以△OAB的面积为
．
典例2、答案：（1） ；（2）证明见解析．
解：（1）由题意得 ， ，
解得 所以双曲线 的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为： ，得 ，
，
设 ， ， 联立 ，整理可得， 所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以 ，设 ，
所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线 的离心率为： 故椭圆 的离心率为：
双曲线 的一条渐近线方程为：
设 的坐标为： ，则 ，解得
又 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程为：
（2）联立方程组： 解得： ，即 点坐标为：
直线 的斜率为： 则直线 的方程为：
联立方程组： 解得： 或
即 点坐标为 ， 点到 的距离为联立方程组： 解得： 或
即 点坐标为 ， 点到 的距离为 则 ，即
典例3、答案： （1） ，离心率为 （2）
解：（1）由题意知焦点 到渐近线 的距离为 ， 则
因为一条渐近线方程为 ，所以 ， 又 ，解得 ，
，
所以双曲线 的标准方程为 ， 离心率为 ．
（2）设直线 ： ， ， ， 联立
则 ， 所以 ，
由
解得 或 （舍去）， 所以 ，
： ，令 ，得 ，
所以 的面积为随堂练习：答案： （1） （2） 或
解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将 代入双曲线，得 ，则
①，
又C的一条渐近线方程为 ，则 ②， 由①②解得 ， ，
所以双曲线C的方程为 ．
（2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为
．
联立 ，整理得 ，于是得
则 ，同理可得 ，
因为 整理得 ，解得
．
即 或 （满足 ）．
考虑到 ，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为 、 时，结合 得 或 ，
同理可得 或 ，
于是由点 、 ，据直线的两点式方程并化简可得AB方程 ，
同理可得AB的方程为 或 或 ．
②同理，当OA、OB的斜率为 、 时，
直线AB的方程为 ，或 或 或
综上，直线AB的方程为 或
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不
为0，
可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y+y＝4m，yy＝﹣8，所以x+x＝my+2+my+2＝m（y+y）+4＝4m2+4，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
因为x+x＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
1 2
所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y+y＝4m，yy＝﹣8，则S |PF| |y﹣y|
1 2 1 2 1 1 2
2 ，
因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方
程为x＝0，
但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的
斜率为 ，
因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2
＝0，
设M（x，y），N（x，y），可得x+x ，xx＝4，
3 3 4 4 3 4 3 4
则y﹣y＝m（2﹣x）﹣m（2﹣x）＝﹣m（x﹣x），
3 4 3 4 3 4
因此|y﹣y|＝|m| |x﹣x|＝|m| |m|
3 4 3 4
，
所以S |PF| |y﹣y| 1 ，
2 3 4
所以SS＝2 4 4 4 4
1 2
12，
当且仅当2m2 即m＝±1时等号恒成立，所以SS的最小值为12.
1 2
随堂练习：答案： （1） ；（2） .
解:（1）由抛物线 可知 ，准线为 ，
设直线 的方程为 ，则点 的坐标为 ，
联立方程 ，消去 后整理为 ，
又由 ，可得 ，
由点 的坐标为 ，有 ，解得 或 （舍去），故直线 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， 点 、 的坐标分别为 ， ，
联立方程 ，消去 后整理为 ， 可得 ，
，
又由 ，可得 ． 又由 ，
，
可得
，
得 （舍去）或 ．由 ，可得 ， ，
所以 ，
， 故 的周长为 ．
典例5、答案： （1） （2） 或
解：（1）当l的倾斜角为 时，l的斜率为1， 又 ，所以直线 ，
将 代入 ，得 ，即 ，设 ， ，则 ， ，
根据抛物线的几何性质可知， ， ，
因为 ， 可知 ，
， 所以
．
（2）当 轴时， ， ， ，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
．
设 ， ，则 ， ，
又 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，化简有 ，解得 ，
所以l的方程为 或 ．
随堂练习：答案： （1） （2）解:（1）依题意，设直线 为 ，
代入 得 ，其判别式为 ， ∴ ．
设 ， 为交点， ∴ ， ．
∵焦点 的坐标为 ， ∴ ， ．
∵ ， ∴
，
∴ ， ∴ 或 ．
∵ 成立． ∴
．
（2）若 ，则 ，
设点 ， 为直线 、直线 与抛物线的交点．
设直线 为 ，代入 得 ， ∴ ，∴ ，
同理可得 ， ∴点 和 的坐标分别为 ， ．
又∵ 在直线 上， ∴ ， 共线，
∴ ， ∴ ．∵ ，∴ ， ∴ ，设 ，
∴ 在 时恒成立， ∴ 在 单调递增，
∴ 的取值范围为 ．
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为
0，
设直线l为 ， 联立 与 得： ，
则 ， ， 因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为 ；（2）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为 ，令 得： ，故 ，
联立 与 得： ， 则 ， ，
因为 ， 所以 ，
，
解得： ， ， 所以
，
故 为定值-1.
随堂练习：答案： （1） 是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入 可得 ，
设 ，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当 不满足题意舍去，
则 是定值.（2）证明：依题意设直线 的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ， ， ，
又 ,点F坐标为 ,∴ ,
， ，
，
所以直线 ､ 、 的斜率成等差数列．
