文档内容
3.1 函数的三要素（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 定义域
【例1-1】（2022·湖北省通山县第一中学）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ；故选：C
【例1-2】（1）（2022·新疆昌吉）已知f(x)的定义域是 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为( )A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）因f(x)的定义域是 ，则在 中有： ，解得 且 ，
所以函数 的定义域是 .答案：B
（2）由题意得： ，解得： ，由 ，解得： ，
故函数的定义域是 ，故选：B．
【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 的定义域为 ，所以首先满足 恒成立， ，
再者满足 ，变形得到
，最终得到 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·四川·遂宁中学）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的定义域为 ，所以函数 满足 ，
即 ， ，函数 的定义域为 ，故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： 在 上恒成立.
即 时， 恒成立，符合题意，
时，只需 ，解得： ，综上： ，故选：C.
3．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得 ，解得 ，
令k=-1，解得 ，
令k=0，解得 ，
令k=1，解得 ，
综上，定义域为 .
故答案为：考点二 解析式
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 是一次函数，满足 ，则
的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设 ，则 ，则 ，所以
，得 或 ，所以 或 .故选：AD.
【例2-2】（1）（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是单调函数，且满足对任意 ，都有
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）令 ，则 ，所以 ，所以 ，
故选：A.
（2） 在 上是单调函数， 可令 ， ，，解得： ， ， .故选：C.
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，化简变形可得 ，令 ，
所以 ， ，所以 ，故选：C.
【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，①，∴ ，②，
由①②联立解得 ．故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，且 ，所以 .故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是一次函数，且 ，则 的解析式为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
即 对任意的 恒成立，所以 ，解得： 或 ，
所以 的解析式为 或 ，故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 满足 ，
设 ，则 ，由 知 ，故原函数可转化为 ，
，即 的解析式为 .故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】把 ①中的 换成 ，得 ②
由① ②得 .故选：D
考点三 值域
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,所以 所以函数 的值域是
故选：B
【例3-2】（2022·全国·江西科技学院附属中学）函数 的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，其中 的值域为
，故函数 的值域为 ，故选D．
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A．（0，＋∞） B．（－∞，1） C．（1，＋∞） D．（0，1）
【答案】D【解析】 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .故选：D
【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，原函数即为： ，
对称轴方程为 ，可知 ， 函数值域为 ．故选：C．
【例3-5】（2021·全国高三专题练习）求函数 的值域 .
【答案】
【解析】函数 的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，
B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx， 上，
如图，∴k≤y≤k，即 .
BP BQ【例3-6】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．故选：C．
【例3-7】（2022·全国·高三专题练习）函数 （ ）， ，对 ，
，使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若对 ， ，使 成立，只需函数 的值域为函数 的值域的子集即可.
函数 ， ，的值域为 .
当 时， 递增，可得其值域为 ，
要使 ，需 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的 值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 且
又因为 ，所以 ，所以 ，
即函数的 值域为 ，故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
【答案】D
【解析】 ，∴y ，∴该函数的值域为 ．故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 又
，所以函数 的值域为 故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为： ，
设 ，所以有 ，
因为 ，所以函数 的最小值为： ，即 ，
所以函数 的值域是 ，故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 时， ，又 的值域为 ，则 时， 的值域包含 ，
，解得： .故选：B
6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 的最小值为 ，则实数a的取值范围
是___________.
【答案】
【解析】当 时， ，易知： 上 ， 上 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，最小值为 .
当 时，若 ，则 在 上递减，则最小值为 ，
此时， ，解得 ，故 ，符合题设；
若 ，则 在 上递减，最小值为 ，
此时， ，符合题设；
若 ，则 在 上递减， 上递增，最小值为 ，
此时， 或 ，无解.
综上， .
故答案为： .
