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培优冲刺 04 几何最值问题综合
1、将军饮马类几何最值
2、辅助圆类几何最值
3、瓜豆原理类几何最值
4、其他类几何最值
题型一：将军饮马类几何最值
1.“两定一动”型将军饮马：
①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值
②同侧型→对称、连接；后续同上
2. “两定两动”型：
①同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移
（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。
同侧型
异侧型
②异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。
【中考真题练】
1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF
取得最小值时， 的值是 ．
2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE
＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为 ．
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3．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点
C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．
【中考模拟练】
1．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），
若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是
（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2023•龙马潭区二模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为
半径的圆上，则DE+EF的最小值 ．
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3．（2024•碑林区校级一模）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边
AC的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的
动点，求PQ+QD的最小值；
（2）如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB＝200 米，BC＝400米．根据实际情况，
需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半
径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米
为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希
望PM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．
4．（2023•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最
小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN＝
6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若
将线段MN看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求 ME+NE的最
小值；
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拓展应用
（3）如图③，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2 ，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，
且BE＝AF，分别过点E、F作 EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出
△AMN周长的最小值．
题型二：辅助圆类几何最值
动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：
1、定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半
径的圆（或圆弧）
2、定边对直角——若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径
的圆（或圆弧）
3．定边对定角——若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆
周角，该定边为弦的圆（或圆弧）
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕
点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在
旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 ．
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【中考模拟练】
1．（2023•永寿县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当
∠APM的度数最大时，CP的长为 ．
2．（2023•营口一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，
AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
3．（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的 O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点
E为 O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为
⊙
．
⊙
4．（2024•兰州模拟）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几
何问题，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），
AE为△ABD的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．始终存在以下
两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°；
【类比探究】（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．小斌同学沿着小林同学的
思考进一步探究后发现： ，请你帮他证明；
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD
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为半径的圆上运动（AD＞AB），直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG
存在最大值．若AB＝4，请直接写出BG的最大值．
题型三：瓜豆原理类几何最值
大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合
【中考真题练】
1．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO
的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），那么第（1）问的结论是否仍
然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
α α
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3 ，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝
∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．
【中考模拟练】
1．（2023•金平区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝ ，E为BC上一点，且BE＝ ，F为
AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的
最小值为 ．
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2．（2023•苍溪县一模）如图，线段AB为 O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是
O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD
⊙
长的最大值为 ．
⊙
3．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，
N满足PM＝ PN且∠MPN＝90°，则称点P是图形W的关联点．
已知点A（﹣2 ，0），B（0，2）．
（1）在点P （﹣ ，﹣1），P （﹣ ，3），P （﹣2 ，﹣2）中， 是线段AB的关
1 2 3
联点；
（2） T是以点T（t，0）为圆心，r为半径的圆．
①当t＝0时，若线段AB上任一点均为 O的关联点，求r的取值范围；
⊙
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是 T的关联点，直接写出r
⊙
的最小值．
⊙
4．（2024•昆山市一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，
抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积
的 ，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的 B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是 B上一动
点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
⊙ ⊙
求FD长度的取值范围．
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题型四：其他类几何最值
除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂
线段最短等
【中考真题练】
1．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC
和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，
两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则
CP+ AP的最小值是 ．
2．（2023•德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝2 ，AA ＝2，点M为AC
1 1 1 1
的中点，一只小虫从B 沿三棱柱ABC﹣A B C 的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．
1 1 1 1
3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．
M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作 CMND．连接AN并取AN的中
点P，连接PM，则PM的取值范围是 ． ．
▱
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【中考模拟练】
1．（2024•济南一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿
DE折叠，点A落在A 处，连接A C，若F、G分别为A C、BC的中点，则FG的最小值为 ．
1 1 1
2．（2024•郾城区一模）如图，在矩形ABCD中， ，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E
在线段AC上，且AE＝4，点F为线段BD上的一个动点，则 的最小值为 ．
3．（2024•肇东市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做
C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是 C上一个动点，则 PA+PB的最小值为 ．
⊙ ⊙
9
