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3.5 幂函数与一元二次函数（精练）（提升版）
题组一 幂函数及总值
1．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3， )，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式为 ，
将点 的坐标代入解析式得 ，解得 ，
∴ ，函数的定义域为 ,是非奇非偶函数，且在 上是增函数，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）设 则“ 的图象经过 ”是“ 为
奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 ，
由 的图像经过 ，则 的值为 ，此时 为奇函数.
又当 为奇函数时，则 的值为 ，此时 的图象经过 .
所以“ 的图象经过 ”是“ 为奇函数”的充要条件
故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（ ）
A．幂函数y=x-1是奇函数
B．幂函数y=x2是偶函数
C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D．y= 既不是奇函数，又不是偶函数
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以A正确；
因为 ，所以B正确；
因为 不恒成立，所以C不正确；
因为 定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.
故选：C.
4．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数 是幂函数，且其图象过点
，则函数 的单调递增区间为___________.
【答案】
【解析】因为函数 是幂函数，所以 ，解得 ，
又其图象过点 ，所以 ，所以 ，
则 ，则 ，解得 或 ，
令 ，则函数 在 上递增，在 上递减，
又因函数 为减函数，所以函数 的单调递增区间为 .故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若 ，且 ，则 取值的集合
是_____.【答案】
【解析】若 ，且 ，
则幂函数 的图象一定在 的上方，
故 不可能为奇函数，即 不能取 和 ，
当 取 时， 是偶函数，故只需满足 即可，
此时 ，即 ，则 ，即 ，
则 可取 ，故 取值的集合是 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）幂函数 在区间 上是增函数，求实数 的
取值集合 ．
【答案】
【解析】由题得 ，所以 或 ．
当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上不是增函数，舍去．
故所求实数 的取值集合为 ．
题组二 一元二次函数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在R上为减函数，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为函数 在R上为减函数，所以 ，解得
，
所以实数a的取值范围为 ，故选：B.
2．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））函数 在区间（－∞，2）上单调递增，
则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ，且各区间上对应的二次函数的对称轴均为 ，
又 时 不合题设，所以 .
当 时，在 上 开口向下，即 上递增， 上递减；当 上 开口向上，即
上递增；
当 时，在 上 开口向上，即 上递减；当 上 开口向下，即 上递增，
上递减；
综上，要使 在（－∞，2）上单调递增，有 ，可得 .
故选：B.
3．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范
围是（ ）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 .
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）二次函数 在区间 上单调递减的一个充分不必要条
件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的对称轴为 ，开口向上，所以 ，解得 ，所以二次函数
在区间 上单调递减的充要条件为 ，
所以二次函数 在区间 上单调递减的一个充分不必要条件为 ；
故选：D
5．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设 ，函数 ，若 的最小值为 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
6（2022·北京·二模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
7．（2021·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且函数 的
值域为 ，所以 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围是 ，故选：A
8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数 在定义域 上的值域为 ，则实数 的取
值范围为____.
【答案】
【解析】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
9．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实
数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】对任意 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ，
则其在 上的最小值为 ，所以 ，得 .
故答案为：
10．（2022·江苏·高三专题练习）设函数 ，若对于 ， 恒成立，则
实数 的取值范围为___________.【答案】
【解析】由题意， 可得 ，即 ，
当 时， ，所以 在 上恒成立，
只需 ，
当 时 有最小值为1，则 有最大值为3，
则 ，实数 的取值范围是 ，
故答案为：
11．（2022·北京房山·二模）已知函数 若函数 在 上不是增函数，则a的一个取值为
___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 或 即可)
【解析】y=x和y= 的图象如图所示：
∴当 或 时，y= 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 或 时，函数 在 上不是增函数．
故答案为：-2．
12．（2021·全国·高三专题练习）（多选）关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个
整数，则a的取值可以是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】函数f(x)= x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，
依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，
即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得 ，解得 ，
而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，
所以a的取值可以是6或7或8.
故选：ABC
题组三 一元二次函数与其他知识综合
1．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数 的值域为 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】因为二次函数 的值域为 ，所以 ，
即 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，令 ，要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，综上：实数m的取值范围是 .故选：D
3．（2022·北京昌平·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 上递增， 上递减，
由 ，即 恒过 且 ，
所以 上 ， 上 ，
而 在 上递增，且 上 ， 上 ，
所以 的解集为 .
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若关于x的方程 有5个
不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ，则
单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时， ；时， ，则 ，令 ，则 ，所以 时， ，则
单调递增； 时， ，则 单调递减；且 ， ， 时，
；
作出 在 上的图象，如图：
关于x的方程 有5个不同的实根，
令 ，则 有两个不同的实根 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 ，
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 ， ， 满足 ，则当 与
同时取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立；
又由 ，
当 时，等号成立，
所以当 与 同时取得最大值时，则有 ，
解得 ，此时 .
故选：B.
6．（2022·重庆·三模）已知 且 ，“函数 为增函数”是“函数 在 上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】函数 为增函数,则 ,此时 ,故函数 在 上单调递增;当
在 上单调递增时, , ,所以 ,故 为增函数.
故选:C
6．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若 为定义在 上的偶函数，且在 上单调
递减，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由 为偶函数且在 上单调递减知： 在 上单调递增，
，
又 ， ， ，故 ，
所以 .
故选：D.
7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足 ， ，则 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】构建函数 ，则 为奇函数，且在 上单调递增.
由 ， ，
得 ， ，所以 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习（理））关于x的不等式 ，解集为___________.
【答案】
【解析】由题设， ，而 在R上递增，
当 即 时， ，原不等式不成立；
当 即 时， ，原不等式恒成立.综上，解集为 .
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为：_________．
【答案】
【解析】不等式变形为
所以 ，
令 ，则有 ，显然 在R上单调递增，
则 ，可得 解得 .
故不等式的解集为 ．故答案为：
题组四 图像问题
1．（2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（一））函数 的图象
大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ， ，
故函数 为偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项可排除B；
而 ，结合选项可排除C，D．
故选：A．
2．（2022年高考最后一卷（押题卷八）数学试题）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由 得 ，即函数 的定义域为 ，
又 ，即 为奇函数，排除B，C；
因为 ，D不符合条件，A满足.
故选：A
3．（2022届高三下学期临考冲刺原创卷（二）数学试题）已知函数 则函数
的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知函数 为奇函数， 也是奇函数，
则函数 为偶函数，故排除选项B，C；
因为 ，
当 时， 恒成立，所以 恒成立，
且当 时， ，所以当 时， ，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
4．（2022届高三下学期临考冲刺原创卷（六）数学试题）函数 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得 或2，故排除选项A；
当 时，函数值无限靠近x轴，但与x轴不相交，只有选项B满足．
故选：B．
5．（天津市南开区2022届高三下学期二模数学试题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，则 ， 且 ，
， 为奇函数，排除BC，
当 且 时， ，排除A，
故选：D．
6．（安徽省合肥市第八中学2022届高三下学期高考最后一卷理科数学试题）函数 的部分图象
大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，因为 ，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当 时， ，所以 ，排除C，故选：B
7．（浙江省绍兴一中2022届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）函数 的部分图象大
致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 的定义域为： ，
又 ，所以函数 为奇函数，故B和D错误；
，又 ，所以 ，故C错误.
故选：A.
8．（天津市南开区2022届高三下学期三模数学试题）函数 ， 的图象大致为（ ）．A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 ，
当 时，可得 ，所以 ，且 ，所以 ，
可排除A、B、C.
故选：D.
