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专练 23 正弦定理和余弦定理、解三角形
命题范围：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形．
[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(
)
A． B．π
C． D．或π
2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
(2b－c)·cos A＝a cos C，则角A的大小为( )
A． B．
C． D．
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，
则△ABC的面积为( )
A． B．1
C． D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝
3，cos B＝，则b＝( )
A．14 B．6
C． D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B．
C．2 D．1
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测
出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(
)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
b2＋c2－a2＝bc，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A．1 B．
C．2 D．2
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝
60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________．11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，
托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两
条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两
条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若
△ABC的面积为，则C＝________．
[能力提升]
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满
足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
14．[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的
一个示意图，现有 A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 A′，B′，C′满足
∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B
点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(
)
A.346 B．373
C．446 D．473
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝
2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
16．[2022·江西省临川模拟]已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且
cos B＝，∠BAD＝2∠BCD.则AD＝________．
