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查漏补缺 03 相似三角形（8 大题型）
考点一：比例
【题型一】比例与比例的性质
1）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
1）比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）.
2）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段按照从小到大或从大到小的顺序排列，再判断前两条
线段的比与后两条线段的比是否相等，比值相等的四条线段成比例；
3）成比例的线段是有顺序的，要注意位置不能随意颠倒.
【中考真题】
x x−y
1．（2023·四川甘孜·中考真题）若 =2，则 = ．
y y
2．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个
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逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
3．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也
异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物
与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．
图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
√5−1
4．（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、
2
匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形
ABCD是黄金矩形，边AB的长度为√5−1，则该矩形的周长为 ．
【模拟训练】
1．（2025·广东深圳·一模）已知a，b，c，d成比例线段．若a=5cm，b=10cm，d=8cm，则c的长为
（ ）
A．2.5cm B．4cm C．10cm D．16cm
2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，R 为待测电阻，R 为可调电阻，R，R ，R 为已知电
y x 1 2
R R
阻，E为直流电压源，A为电流表，调节R 的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有 y = 2，
x R R
1 x
这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过R 的电阻求得R 的电阻，现
x y
已知R =2Ω，R =8Ω．当R =4Ω时电流表读数为0，那么此时将R 减小3Ω，则R 需要如何变，电流
1 2 x y x
表示数才能为0？
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A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
3．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），
山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，
m
设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则 的值为 ．
n
b 1
4．（2025·浙江·一模）已知线段a,b满足 = ，且a−2b=6．
a 4
(1)求线段a,b的长．
(2)若线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长．
a b c
5．（2025·上海徐汇·一模）已知： = = ．
2 3 5
2a+3b−5c
(1)求代数式 的值：
a−2b+3c
(2)当2a+b+3c=44时，求a,b,c的值．
【题型二】黄金分割
1）一天线段的黄金分割点有2个，黄金分割比为 ，近似值为0.618.题目中若没有要求时，一般
都要用原值.
【中考真题】
1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字
“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，
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BC √5−1
“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且 = ，若NP=2cm，则BC的长为
AB 2
cm（结果保留根号）．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，
支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
3．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺
纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
4．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选
法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上
下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为
米．
【模拟训练】
1．（2025·山西忻州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC，利用圆规在AC上截取
CD=CB，在AB上截取AE=AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB=4，则AE的长为（ ）
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√5−1
A．2 B．2√5−2 C． D．√5−2
2
2．（2025·安徽·一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，
在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，
将雕像AB分为上下两部分，其中C为AB的黄金分割点(AC0，x>0）把△ABO分成两部分，与边OA，AB分别交于C，D两点，若
x
OC=3BD．
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（1）k的值为 ；
（2）连接CD，则△ACD的面积为 ．
5．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形ABCD中，点P , P ,⋯, P , P 是对角线BD上的n等分
1 2 n−2 n−1
点．连结AP， AP (1≤i< j≤n−1)分别交线段BC, CD于点E, F，连结EF．
i j
(1)若EF∥BD，则i, j应该满足什么条件？
3
(2)若i=2, j=n−2，四边形ABCD的面积为S，△AEF的面积为 S，求n的值．
8
考点二： 相似三角形
【题型一】相似三角形的性质与判定
1）如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
1）相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一
定要注意找准对应关系.
2）利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相
似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
3）判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；
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5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.
【中考真题】
1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分
∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正
k
半轴上）的公共顶点A在反比例函数y= 的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个
x
15
正方形的面积之和是 ，且MD=4GN．则k的值是（ ）
2
A．5 B．1 C．3 D．2
3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，
CF √3
且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：① = ；②
BF 2
tan∠H=√3−1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE⋅DH．
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其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高．
点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则
y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
45°−α 90°−α 45°+α α
A． B． C． D．
2 2 2 2
6．（2024·山西·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上
一点，且∠ACF=∠CAF，线段的延长线交于点G．若AB=√5，AD=4，tan∠ABC＝2，则BG的长
为 ．
7．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(4,0)，C(0,4√2)是矩形OABC的
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顶点，点M,N分别为边AB,OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中
k
点处，点C的对应点C'在反比例函数y= (k≠0)的图象上，则k=
x
8．（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D
不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；
如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连
接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．
9．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
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(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的
长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
S
(3)连接AD，交BC于点F，求 △≝¿ ¿的最大值．
S
△AEF
【模拟训练】
1．（2025·山东济南·一模）如图，已知▱ABOC的顶点B(−6,0)，O(0,0)，C(3,4)，按以下步骤作图：
①以点O为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边OB，OC于点D，E；②分别以点D,E为圆心、大于
1
DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC的内部交于点F；③作射线OF，交边BA的延长线于点G．则点G
2
的纵坐标为（ ）
22 23 24
A． B． C． D．5
5 5 5
2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，△≝¿为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点A，B，C，使
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DA=EB=FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长，交AC于点G．若AD=DF=2，则FG的长为
（ ）
3 4 4 3
A． √3 B． √2 C． √3 D． √2
5 5 5 5
3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE:EC=1:2，连接AE，将AB
沿AE折叠至正方形内部，得到线段AF，延长AF交BC于点G，延长EF交DC于点H，若AB=6，连接
CF,DF，则DF+CF的长为（ ）
12√5 18√5 18√3 12√3
A． B． C． D．
5 5 3 3
4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点M从点A出发以1cm/s
的速度沿折线AB−BC运动到点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动ts时，CN
长为ycm，则y关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
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5．（2025·广东深圳·二模）如图，∠BAC=∠BCD=90°，AC=2，三角形BCD面积始终为2，则AD的
最大值为（ ）
A．5 B．√5 C．√5+2 D．√5+1
6．（2025·山东淄博·一模）如图，在矩形ABCD中，BC=12，DC=9，M为矩形内一点，连接BM、
CM、DM，∠ABM=∠BCM，则sin∠CDM的最大值为 ．
7．（2025·河南焦作·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是对角线BD上一个动点，连
接AP，以AP为直角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，∠APE=90°，连接DE．
（1）当点E落在BD上时，DE的长为 ；
（2）DE的最小值是 ．
8．（2025·北京·模拟预测）在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α(90°<α<180°)，点E为BC的中点，
EF⊥AB于点F，将线段AB绕点B逆时针旋转(180°−α)得到线段DB，连接DC．
(1)如图1，当α=120°时，若AB=4，求EF的长．
(2)如图2，用等式表示线段AB，DC，EF之间的数量关系，并证明．
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9．（2025·江苏南京·二模）如图，AC与BD相交于点E，连接AB,CD,CD=DE．经过A,B,C三点的
⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．
(1)连接AF，求证AF=AB；
(2)求证AB2=AE⋅AC；
(3)若AE=2,EC=6,BE=4，则⊙O的半径为 ．
【题型二】相似三角形的应用
1）利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三
角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得.
【中考真题】
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯
光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
2．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一
平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已
知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，
则旗杆高度为（ ）
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A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
3．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像
投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'．设
AB=36cm，A'B'=24cm．小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离为 cm．
4．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，
AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一
平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F
远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
5．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗
杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
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(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得
小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水
平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并
标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用
同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【模拟训练】
1．（2025·河南洛阳·一模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图
1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令
BG=x（单位：m），EG= y（单位：m），若a=10cm,b=20cm,AB=1.55m，则y关于x的函数解析
式为（ ）
A．y=0.5x+1.55 B．y=0.5x+1.60
C．y=2x+155 D．y=x+1.55
2．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
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高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”（记为h ），EG称为“表距”（记为d），EH和GC都称为“表目距”（分别记为m ，m ），
0 1 2
则海岛AB的高为（ ）
dh dh
A． 0 +h B． 0 −h
m −m 0 m −m 0
2 1 2 1
dh dh
C． 0 +d D． 0 −d
m −m m −m
2 1 2 1
3．（2025·福建·一模）身高均为1.6m的小明与小强在学校球场的A照明灯和B照明灯之间，两盏灯的高度
均为6.4m，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在A灯的底部N处，小强的身影的顶部正好在B灯的底
部Q处，已知两灯之间的距离为10m，则两人的距离是 m．
4．（2025·广西崇左·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落
到点A ( 3, 3) 处．小球在空中所经过的路线是抛物线y=−x2+ 7 x的一部分．斜坡上点B处有一棵树，
2 2
OB 1
= ，小球恰好越过树的顶端C，那么这棵树的高度为 ．
OA 3
5．（2025·广东深圳·一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能
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路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳
能路灯的示意图，其中电线杆AB的高度为4.8m，电线杆CD的高度为6.4m，AC的长为30m．身高1.6m
的聪聪同学（EF）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作EM和EN．（A，
E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
(1)请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长EN；
(2)当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为AC的中点）时，请求出影长MN；
(3)若影长端点N处有一个竹竿NP，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M
处也有一个竹竿MQ，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿NP，MQ均垂直于地
面）请回答下列问题：
①设ME的长为xm，则MQ的长为 _______m（请用含有x的代数式来表示）；
1 1
②请判断 + 的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
NP MQ
【题型三】位似
1）位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、
轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变
换.
2）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于
某点的位似图形有两个.
【中考真题】
1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．
若点A(−3,1)的对应点为A' (−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B'的坐标为（ ）
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A．(−4,8) B．(8,−4) C．(−8,4) D．(4,−8)
2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，
在点光源O的照射下形成的投影是△A B C ，若OB:BB =2:3，则△A B C 的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2
3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位似中
1
心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
3
4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点
A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的式
子表示）
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【模拟训练】
1．（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，
AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，
遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，AB=6，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB
的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（ ）
A．水平向右移动1cm B．水平向左移动1cm
C．水平向右移动1.5cm D．水平向左移动1.5cm
2．（2025·浙江温州·一模）如图，在6×7的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放
大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点P C．点P D．点P
1 2 3 4
3．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数
学之美．如图1和如图2，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A'B'C'D'，已知A'B':AB=2:1．
（1）四边形A'B'C'D'的外接圆半径为 ．
（2）将正方形ABCD顺时针旋转一定角度，达到如图2所示的位置，若点D'在线段CD延长线上，则DD'
长为 ．
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4．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(−2,2)，
B(−4,−2)，C(2,−2)．
(1)以点O为位似中心，在平面直角坐标系中画出△ABC的位似图形△A B C （点A，B，C的对应点分别
1 1 1
为A ，B ，C ），使△A B C 与△ABC的相似比为1:2，且点B 在第一象限．
1 1 1 1 1 1 1
(2)画出以点O为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到的△A B C ．
2 2 2
S
△A B C
(3) 1 1 1的值为______．
S
△A B C
2 2 2
题型三： 相似三角形综合
【题型一】相似三角形综合
【中考真题】
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重
合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点
G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，
√10 1 11
则sin∠NBC= ；④BN=√2BM；⑤若AH= HD，则S = S ，其中正确的结论是
10 2 △BND 2 △AHM
（ ）
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A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
2．（2024·江苏南通·中考真题）在△ABC中，∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AH⊥BC，垂足为H，D是
线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过
深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小
时，AH2=AB⋅AE．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
3．（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方
形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE=BE,AM=1，又在线段MD上任取一点N
（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA N，随后连接DA ．小王同学通过多
1 1
次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点A 在以E为圆心的圆弧上运动；②当DA 达到最
1 1
大值时，A 到直线AD的距离达到最大；③DA 的最小值为2√5−2；④DA 达到最小值时，
1 1 1
MN=5−√5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点D，E分别
√2 AE
在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD= CE，则下列结论：① =√2；②
2 BD
∠DFE=135°；③△ABF面积的最大值是4√2−4；④CF的最小值是2√10−2√2．其中正确的是
（ ）
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A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2024·河北·中考真题）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C ，C ，C 是线段
1 2 3
CC 的五等分点，点A，D ，D 是线段DD 的四等分点，点A是线段BB 的中点．
4 1 2 3 1
（1）△AC D 的面积为 ；
1 1
（2）△B C D 的面积为 ．
1 4 3
6．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF的
直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C'NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面
内的点D'处，然后还原．若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH
的交点为P，则PH的长为 ．
7．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻
的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平
行四边形”．
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(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=√5，CE=2，则AE=______；AB=______；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的
垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连
接PE，请直接写出PE的值．
8．（2024·海南·中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1=∠2，
AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
(1)如图1，求证：△ABE≌△EGF；
(2)如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
CH
②当 =m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
DH
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB=6，求BE的值．
9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
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(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的
长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
S
(3)连接AD，交BC于点F，求 △≝¿ ¿的最大值．
S
△AEF
10．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展
平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．
【深入研究】
AG 1 GH
若 = ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
AC k HC
【模拟训练】
1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于
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点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP.下列四个结论：
①AM=PN；②DM+DN=√2DF；③若P是BC中点，AB=3，则EM=2√10；④BF⋅NF=AF⋅
DF；⑤若PM∥BD，则CE=√2BC.其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
k
2．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y= (k>0,x>0)的图象上，
x
BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
32
A．8 B．9 C． D．4
3
3．（2025·重庆·一模）如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE:EC=1:2，连接AE，将AB
沿AE折叠至正方形内部，得到线段AF，延长AF交BC于点G，延长EF交DC于点H，若AB=6，连接
CF,DF，则DF+CF的长为（ ）
12√5 18√5 18√3 12√3
A． B． C． D．
5 5 3 3
4．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AB上一点，且AE=2，点
F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B'，连接AC、CB'，则以下结论正确的是
（ ）
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4 3
①当△BEF与△ABC相似时，BF= ；②CB'的最小值是√17−1；③点B'到AC距离的最小值是 ；④取
3 5
√17+1
CB'的中点P，连接BP，则BP的最大值是 ．
2
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
5．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形ABCD为菱形，动点P，Q同时从A点出发，点P以每秒1个单
位长度沿线段AD向终点D运动；点Q沿线段A−B−C−D向终点D运动，当点P运动至终点时，另一点
Q也恰好到达终点．设运动时间为x秒， △APQ的面积为y个平方单位，图2为y关于x的函数关系图象．
下面四个结论中：①菱形ABCD的边长为6；②点Q的运动速度为每秒3个单位长度；③当2≤x≤5时，
5 15
5≤ y≤10；④曲线FG段的函数解析式为y=− x2+ x，结论正确的是（ ）
4 2
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
6．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA B C ，B A B C ，B A B C ，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
⋯的顶点B ，B ，B ，⋯在x轴上．顶点C ，C ，C ，⋯在直线y=kx+b上，若OB =2，B B =3，
1 2 3 1 2 3 1 1 2
则（ ）
①点C 坐标为(1,1)；
1
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1 4
②直线y=kx+b的表达式为y= x+ ；
5 5
③S :S =2:3；
△C B C △C B C
1 1 2 2 2 3
(3) n−1
④点C 的横坐标为5· −4，其中说法正确的为（ ）
n 2
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
7．（2025·山西·一模）如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D为AC中点，连接BD，点E
为BA延长线上一点，连接CE．若∠ACE=∠ABD,EC=2√7，则AE的长为 ．
8．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】
（1）如图①，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，OA长度为5，根据
PA≥OA−OP，得到点P到点A的最短距离为_____________；
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边
BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P．求点P到点C的最短距离．
【问题解决】
（3）如图③，某老小区有一个矩形ABCD活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善
居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在BC上取一点E，在AE上留一条小
路与小路BD交于点F，并将AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H，连接
AH，AH与BD交于点K，在△AKF处建一个人工湖，已知AB=400m，AD=300m，BD=500m．为
满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的
△AKF？若存在，求△AKF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
9．（2025·山东青岛·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，
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BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点
B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之
停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
(1)设四边形CQDP的面积为y，求y与t的函数关系式；
(2)当t=______秒，四边形PQBA是梯形？
(3)是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)当t=______秒时，PD⊥AB．
10．（2025·山东淄博·一模）如图1，二次函数y =ax2+bx−2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于
1
点C，且OC=OB=2OA．
(1)求抛物线的表达式：
PD
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PO交BC于点D，求 的最大值及此时点
OD
P的坐标；
(3)作抛物线y 关于直线y=4上一点对称的函数图象y ，且y 与y 只有一个公共点E（E在y轴右侧），M
1 2 1 2
为直线BC上一点，N为抛物线y 对称轴上一点，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M
2
的坐标．
33
