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第 85 讲 产生感生电动势的三类情境及五种题型
1．（2022•江苏）如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时
间t的变化关系为B＝B +kt，B 、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动
0 0
势大小为（ ）
A． kr2 B． kR2 C． B r2 D． B R2
0 0
1．（2π022•广东）如图是简化π的某种旋转磁极式发电π机原理图。定子是仅π匝数n不同的两线圈，n
1
＞n ，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值
2
为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦
式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是（ ）
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等一.知识回顾
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较
物理量
磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率
项目
某时刻穿过某
某段时间内穿过某个面的 穿过某个面的磁通量变
意义 个面的磁感线
磁通量变化的多少 化的快慢
的条数
ΔΦ＝Φ－Φ＝
2 1
＝
Δ(B·S)
两种特例：
大小 Φ＝BS 两种特例：
①＝B
①ΔΦ＝B·ΔS
②＝S
②ΔΦ＝S·ΔB
若有相反方向
转过180°前后穿过平面
的磁场，磁通 等于单匝线圈上产生的
注意 的磁通量是一正一负，
量可抵消；S 感应电动势，即E＝
ΔΦ＝2BS，而不是零
为有效面积
提示：①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系，Φ＝0，不一定等于0；②感应电动势E与
线圈匝数n有关，但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。
2．法拉第电磁感应定律公式的物理意义：E＝n求的是Δt时间内的平均感应电动势，当
Δt→0时，E为瞬时感应电动势。
3．法拉第电磁感应定律应用的三种情况
(1)磁通量的变化是由有效面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝n。
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝n，S是磁场范围内的有效面积。
(3)磁通量的变化是由有效面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ －Φ ，E
末 初
＝n。
4．在图像问题中磁通量的变化率是Φt图像上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确
定感应电动势的大小。
二.典型例题
题型一：有效面积变化产生感应电动势
例1．如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线
圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6 ，磁场的磁感应强度B＝0.2T．现同时向两侧拉动线圈，线圈
的两边在△t＝1.0s时间内合到一起Ω。求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q。题型二：磁场变化产生感应电动势
例2．如图甲所示，单匝矩形金属线框 ab d处在垂直于线框平面的匀强磁场中，线框面积 S＝
0.3m2，线框连接一个阻值R＝3 的电阻，其余电阻不计，线框cd边位于磁场边界上。取垂直
于线框平面向外为磁感应强度BΩ的正方向，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示。下列
判断正确的是（ ）
A．0﹣0.4s内线框中感应电流沿逆时针方向
B．0.4﹣0.8s内线框有扩张的趋势
C．0﹣0.8s内线框中的电流为0.1A
D．0～0.4s内ab边所受安培力保持不变
题型三：磁场和有效面积都变化
例3．如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为 R的
电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为 S的区域，
区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小 B 随时间t的变化关系为B ＝kt，式
1 1
中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的
磁感应强度大小为B ，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从
0
静止开始向右运动，在t 时刻恰好以速度v 越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终
0 0
相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求
（1）在t＝0到t＝t 时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
0
（2）在时刻t（t＞t ）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
0
（3）如果面积为S的区域的均匀磁场的磁感应强度B 随时间t的变化关系为B ＝B ﹣kt，式中
1 1 0
k为大于0的常量，在t＝0时刻，均匀磁场垂直于纸面向里。MN（虚线）右侧磁场的磁感应强
度大小为B ，方向也垂直于纸面向里。在t 时刻金属棒以速度v越过MN时，撤掉外力，此后
0 0（t＞t ）金属棒恰好向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽
0
略不计。求速度v的大小（用k、S、B 、l表示）。
0
题型四：动生电动势与感生电动势交替
例4．如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电
阻忽略不计。OM是有一定电阻。可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良
好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使OM从OQ位置以
恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从
B'
B增加到B′（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则 等于（ ）
B
5 3 7
A． B． C． D．2
4 2 4
题型五：综合分析，定性判定
例5．如图为一种早期发电机原理示意图，该发电机由固定的圆形线圈和一对用铁芯连接的圆柱形
磁铁构成，两磁极相对于线圈平面对称，在磁极绕转轴匀速转动过程中，磁极中心在线圈平面
上的投影沿圆弧XOY运动，（O是线圈中心）．则（ ）
A．从X到O，电流由E经G流向F，线圈的面积有收缩的趋势B．从X到O，电流由F经G流向E，线圈的面积有扩张的趋势
C．从O到Y，电流由F经G流向E，线圈的面积有收缩的趋势
D．从O到Y，电流由E经G流向F，线圈的面积有扩张的趋势
三.举一反三，巩固练习
1. 如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心
圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属
环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，
重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）
A．在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向
√mgv
B．环中最大的感应电流大小为
R
C．环下落过程中一直处于超重状态
2πrBvt
D．t时间内通过金属环横截面的电荷量为
R
2. 如图，边长、材料相同，粗细不同的单匝正方形金属线框甲、乙。乙线框导线的横截
面积是甲的2倍。在竖直平面内距磁场相同高度由静止开始同时下落，一段时间后进入方向垂
直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，则在甲、乙线框进
入磁场的过程中（ ）
A．感应电流的方向均一定为顺时针方向
B．甲、乙线框的加速度时时相同
C．甲线框的焦耳热是乙线框的2倍
D．通过甲线框的电荷量是乙线框的2倍3. 空间存在范围足够大、竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，在其间竖直固定两
个相同的、彼此正对的金属细圆环a、b，圆环a在前、圆环b在后。圆环直径为d，两环间距
为L、用导线与阻值为R的外电阻相连，如图所示。一根细金属棒保持水平、沿两圆环内侧做
角速度为 的逆时针匀速圆周运动（如图），金属棒电阻为 r。棒与两圆环始终接触良好，圆
环电阻不计ω。则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在最低点时回路电流为零
B．金属棒在圆环的上半部分运动时（不包括最左和最右点），a环电势低于b环
BLdω
C．从最高点开始计时，回路电流的瞬时值为i= sin t
2(R+r)
ω
√2BLdωR
D．电阻R两端电压的有效值为U=
4(R+r)
4. 如图所示，两条电阻不计的平行导轨与水平面成 角，导轨的一端连接定值电阻R ，
1
匀强磁场垂直穿过导轨平面．一根质量为m、电阻为R 的θ导体棒ab，垂直导轨放置，导体棒
2
与导轨之间的动摩擦因数为 ，且R ＝2R ．如果导体棒以速度v匀速下滑，导体棒此时受到
2 1
的安培力大小为F，则棒匀速μ运动过程中以下判断正确的是（ ）
1
A．电阻R 消耗的电功率为 Fv
1
3
B．通过棒的电流方向为a到b
C．重力做功的功率为mgvcos
D．运动过程中棒减少的机械能θ全部转化为电能、摩擦热和焦耳热
5. 如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距L，固定在水平绝缘桌面上，左侧圆
弧部分处在竖直平面内，右侧平直部分处在磁感应强度为 B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。电阻均为R的金属棒ab、cd垂直于两导轨放置且与导轨接触良好，质量
分别为2m、m。开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从导轨左端距水平桌面高h处无初速
度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触，最后两棒离开导轨落在地面同一位置。不
计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．金属棒ab在沿导轨水平部分运动的过程中，始终做减速运动
2mgh
B．在沿导轨运动的过程中，金属棒ab损失的机械能为
3
B2L2√2gh
C．在沿导轨运动的过程中，cd棒的最大加速度为
mR
2m√2gh
D．在整个过程中，通过金属棒ab的电荷量为
3BL
6. 如图所示，面积为S闭合线圈放在磁场中，线圈平面与磁场垂直，磁场的磁感应强度
2π
B随时间t的变化规律是B＝B sin t，则在一个周期内线圈中产生感应电动势最大的时刻
m
T
（含0与T时刻）是（ ）
A．0、0.25T B．0.75T
C．0、0.5T、T D．0.25T、0.5T、T
7. 如图所示，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝
B +kt，其中B 和k都是定值且均大于0。导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐
0 0
标原点，狭缝右侧两导轨与x轴的夹角均为 ，一电容为C的电容器（在磁场外）与导轨左端
相连，电容器中静止一带电粒子A（受到的重θ力不计，图中未画出）。金属棒与x轴垂直并固定在导轨上，O点到金属棒的距离为x 。下列说法正确的是（ ）
0
A．电容器的上极板带负电
B．电容器的电荷量为Ckx 2tan
0
C．带电粒子A运动到极板上之θ前的加速度越来越小
D．带电粒子A运动到极板上之前的加速度越来越大
8. 如图，足够长的间距d＝1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间
存在一个宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B＝0.5T，方向如图所示。一根质量
m ＝0.1kg，阻值R ＝1.0 的金属棒a以v ＝4m/s的初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场
a a 0
区域后，与另一根质量mΩ＝0.2kg，阻值R ＝1.5 的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰
b b
撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电Ω阻不计。
（1）求金属棒a刚进入磁场时棒a两端的电压U ；
0
（2）求金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量Q；
（3）通过计算判断金属棒a能否再次穿过磁场区域。
9. 如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导
轨，其间距为L＝2m，R 和R 是并联在导轨一端的电阻，且R ＝12 、R ＝6 ，ab是垂直导
1 2 1 2
轨放置的质量为＝1kg的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处Ω均相同。Ω从零时刻开始，
对ab施加一个大小为F＝0.75N，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑
动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的 υ﹣t图象，其中O点为坐标原点，
其坐标为（0，0），AO是图象在O点的切线，AB是图象的渐近线。除R 、R 以外，其余部
1 2
分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知当棒的位移为10m时，其速度达到了最大速度1m/s。求（结果可以保留分数）
（1）导体棒ab运动中受的摩擦力f的大小和磁感应强度B的大小；
（2）在导体棒ab的位移为10m过程中电阻上产生的焦耳热；
（3）若在导体棒ab的位移为10m时立即将恒定拉力F撤掉，此后导体棒ab滑行到停止的过程
1
中流过的电量为 C，求摩擦力在导体棒ab整个运动过程的平均功率。
3
