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2025二轮复习专项训练27
最值、范围问题
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，最值、范围问题
是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较
大，多次以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法
一是几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求
解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)变量的函数，然
后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式；
(2)利用已知参数的取值范围；
(3)利用隐含的不等关系；
(4)利用已知不等关系构造不等式；
(5)利用函数值域的求法．
一、单选题
1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
点 在双曲线的右半支上，点 ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，
是椭圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ，
斜率之积的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东烟台·二模）已知双曲线C经过点 ，且与椭圆 有公共的
焦点 ，点M为椭圆 的上顶点，点P为C上一动点，则（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．
C．当P为C与 的交点时， D． 的最小值为1
4．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知点 是左、右焦点为 ， 的椭圆 ：
上的动点，则（ ）
A．若 ，则 的面积为
B．使 为直角三角形的点 有6个
C． 的最大值为
D．若 ，则 的最大、最小值分别为 和
三、填空题
5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过椭圆 上一动点 分别向圆 ：
学科网（北京）股份有限公司和圆 ： 作切线，切点分别为 ， ，则 的
取值范围为 .
6．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）已知椭圆 C的焦点为 为 C 上一点满足
，则C 的离心率取值范围是 ．
四、解答题
1
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ．左顶点为 ，下
2
顶点为 是线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成
立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物
线 交于点 ， .当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
学科网（北京）股份有限公司【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上一点，Q
为圆 上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
2．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双
曲线右支上的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交
于 两点， 为坐标原点，记 与 的面积分别为 和 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，点 是 上任
意一点，则 的值可能是（ ）
A． B．3 C．6 D．8
5．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若
过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
学科网（北京）股份有限公司6．（21-22高二·江苏·假期作业）已知双曲线 ： ，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线 的渐近线平行的直线与双曲线 一定没有交点
D．若直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
三、填空题
7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若P是椭圆 上一动点， ，则 的
最大值为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 上的动点，过点 作圆 ：
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
9．（2023·浙江·一模）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，且C上
存在点P使得 ，则a的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭
圆 相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐
标．
11．（2022·江苏盐城·三模）已知双曲线 ： 过点 ，渐近线
学科网（北京）股份有限公司方程为 ，直线 是双曲线 右支的一条切线，且与 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线
与 交于 两点，且当 ， 时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，求 面积的最小值．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知点F为抛物线C： 的焦点，过点F作两条
互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直线 与C交于D，E两点，则
的最小值为（ ）
A．64 B．54 C．50 D．48
2．（2023·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知 ， ，动点 满
足 ，则 （ ）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
3．（2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆 上存在两点
到点 的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，
从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长
线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
5．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆 ， 、 分别为它的左右焦点，
、 分别为它的左、右顶点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点 到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B． 的最小值为
C．若 为直角三角形，则 的面积为
学科网（北京）股份有限公司D． 的范围为
6．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
点 是双曲线 的右支上一点，过点 的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，
则（ ）
A． 的最小值为8
B． 为定值
C．若直线 与双曲线 相切，则点 的纵坐标之积为 ；
D．若直线 经过 ，且与双曲线 交于另一点 ，则 的最小值为 .
三、填空题
7．（2023·辽宁·一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，点
、 在椭圆C上，满足 ， ，若椭圆C的离心率 ，则
实数λ取值范围为 .
8．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）椭圆 与双曲线
有公共焦点 ，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点
，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则 的
取值范围是 .
9．（2022高二上·全国·专题练习）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
学科网（北京）股份有限公司的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则 的最小值为 ．
四、解答题
1
10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ．左顶点为 ，
2
下顶点为 是线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成
立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西柳州·二模）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线
与抛物线 有两个不同交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
12．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
经过点 ，点 与点 关于原点对称， 为 上一动点，且 异于
两点.
(1)求 的离心率；
(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.
13．（2022·全国·高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的
学科网（北京）股份有限公司直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．
当 取得最大值时，求直线AB的方程．
14．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于A、B两点，
为坐标原点，且 ， ，垂足为点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 面积的取值范围．
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