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第四讲 牛顿第二定律的综合应用
考点一、连接体问题
1.连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的系统称为连接体。连接
体一般(含弹簧的系统，系统稳定时)具有相同的运动情况(速度、加速度)．
2.常见的连接体
(1)物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度
速度、加速度相同
(2)轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等．
速度、加速度相同
速度、加速度大小相等，方向不同
(3)轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度．
速度、加速度相同
(4)弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；在弹簧形变最大时，
两端连接体的速度、加速度相等．3.整体法与隔离法在连接体中的应用
(1)整体法
当连接体内(即系统内)各物体的加速度大小相同时，可以把系统内的所有物体看成一个整体，分析其受力
和运动情况，对整体列方程求解的方法。
(2)隔离法
当求系统内物体间相互作用的内力时，常把某个物体从系统中隔离出来，分析其受力和运动情况，再对隔
离出来的物体列方程求解的方法．
例1、如图所示，水平面上有两个质量分别为m 和m 的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料
1 2
相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正
确的是( )
A．若水平面是光滑的，则m 越大绳的拉力越大
2
B．若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm g
1
C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
L例2、(多选)(2020·高考海南卷，T12)如图，在倾角为θ的光滑斜面上，有两个物块P和Q，质量分别为
m 和m，用与斜面平行的轻质弹簧相连接，在沿斜面向上的恒力F作用下，两物块一起向上做匀加速直线
1 2
运动，则( )
A．两物块一起运动的加速度大小为a＝
B．弹簧的弹力大小为T＝F
C．若只增大m，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
2
D．若只增大θ，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
例3、(2020·高考江苏卷，T5)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量。某
运送抗疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第 2节
对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢
的牵引力为( )
A．F B． C． D．例4、(整体法与隔离法)(2021河北邯郸一模)如图所示,在光滑水平面上放有一质量m=30 kg的斜劈,在其斜
0
面上放一质量m=2 kg的物块,现用一水平向右的力F拉斜劈,使其由静止开始运动,物块恰好能与斜劈保持相
对静止。已知斜劈倾角 θ=37°,物块与斜面间的动摩擦因数 μ=0.8,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin
37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。则拉力F大小为( )
A．1 N B．10 N
C．31 N D．310 N
例5、(2021·湖北荆州质检)(多选)如图所示，倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m的盒子甲，甲盒用轻质
细绳跨过光滑轻质定滑轮与乙盒相连，甲盒与定滑轮间的细绳与斜面平行，乙盒内放一质量为 的物体。
如果把这个物体改放在甲盒内，则乙盒的加速度恰好与原来等大反向，重力加速度大小为g，则乙盒的质
量m 和系统的加速度a的大小分别为( )
乙
A．m = B．m =
乙 乙
C．a=0.2g D．a=0.4g
课堂随练
训练1、(2022·山东师范大学附中高三月考)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面
上，一根轻绳跨过定滑轮，一端与质量为m ＝1 kg的物块A连接，另一端与质量为m ＝3 kg的物块B连
1 2
接，绳与斜面保持平行．开始时，用手按住 A，使B悬于空中，释放后，在B落地之前，下列说法正确的
是(所有摩擦均忽略不计，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．绳的拉力大小为30 NB．绳的拉力大小为6 N
C．物块B的加速度大小为6 m/s2
D．如果将B物块换成一个竖直向下大小为30 N的力，对物块A的运动没有影响
训练2、如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块
间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T。现用水平拉力F拉其中质量为3m的木块，使三
个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( )
A．质量为2m的木块受到四个力的作用
B．当F逐渐增大到T时，轻绳刚好被拉断
C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳还不会被拉断
D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为T
训练3、(多选)如图所示，水平地面上有三个靠在一起的物块A、B和C，质量均为m，设它们与地面间的
动摩擦因数均为μ，用水平向右的恒力F推物块A，使三个物块一起向右做匀加速直线运动，用 F 、F 分
1 2
别表示A与B、B与C之间相互作用力的大小，则下列判断正确的是( )
A．若μ≠0，则F∶F＝2∶1
1 2
B．若μ≠0，则F∶F＝3∶1
1 2
C．若μ＝0，则F∶F＝2∶1
1 2
D．若μ＝0，则F∶F＝3∶1
1 2
训练4、如图所示，质量为M、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为
m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连
线与竖直方向成α角．重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．凹槽对小铁球的支持力为
C．系统的加速度为a＝gtan α
D．推力F＝Mgtan α【解析】根据小铁球与光滑凹槽相对静止可知，系统有水平向右的加速度 a＝gtan α，小铁球受到的合外
力方向水平向右，凹槽对小铁球的支持力为，推力F＝(M＋m)gtan α，选项A、B、D错误，C正确．
训练5、(多选)如图所示，倾角为θ的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块m正沿斜面
加速下滑．支架上用细线悬挂的小球达到稳定(与滑块相对静止)后，悬线的方向与竖直方向的夹角也为θ，
斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是( )
A．斜面光滑
B．斜面粗糙
C．达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向左
D．达到稳定状态后，地面对斜面体的摩擦力水平向右
考点二、临界和极值问题
1.常见的临界条件
(1)两叠加物体脱离的临界条件：F ＝0.
N
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的
临界条件是F ＝0.
T
例1、(2020·河南省六市联考二模)(多选)如图甲所示，在倾角为θ＝30°的固定光滑斜面上，轻质弹簧下端固
定在底端挡板上，另一端与质量为m的小滑块A相连，A上叠放另一个质量也为m的小滑块B，弹簧的劲
度系数为k，初始时两滑块均处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力 F作用在滑块B上，使B开始沿斜面
向上做加速度为a的匀加速运动，测得两个滑块的vt图象如图乙所示，重力加速度为g，则( )
A．施加拉力F前，弹簧的形变量为
B．拉力F刚施加上时，A的加速度为0
C．A、B在t 时刻分离，此时弹簧弹力大小为m(g＋2a)
1
D．弹簧恢复到原长时，A的速度达到最大值
例2、如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为m ＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为m
A B＝1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动，如果撤去
F，对A施加一水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，则F′的最大值F 为( )
max
A．2.0 N B．3.0 N
C．6.0 N D．9.0 N
例3、如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好
能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度 v ＝10 m/s沿木板
0
向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，质量m ＝2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量m ＝1
B A
kg的小物块A，整个装置静止．现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2
m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g＝10 m/s2.以下结论正确的是( )A．变力F的最小值为2 N
B．变力F的最小值为6 N
C．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s
D．小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s
训练2、如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面．
取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．下列说法正确的是( )
A．当斜面体以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 N
B．当斜面体以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 N
C．当斜面体以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 N
D．当斜面体以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N
训练3、如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为
m ＝6 kg的物体P，Q为一质量为m ＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于
1 2
静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知
在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x；
0
(2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a；
(3)力F的最大值与最小值．考点三、板块模型
1.位移关系：如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差 Δx＝
x－x＝L(板长)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和x＋x＝L.
1 2 2 1
2.解题关键点
①由滑块与木板的相对运动来判断“板块”间的摩擦力方向．
②当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩
擦力(水平面上共同匀速运动)．
例1、(多选)如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A，滑块A受到随时间t
变化的水平拉力F作用时，用传感器测出滑块A的加速度a，得到如图乙所示的a－F图像，A、B之间的
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．滑块A的质量为4 kg
B．木板B的质量为2 kg
C．当F＝10 N时滑块A加速度为6 m/s2
D．滑块A与木板B间动摩擦因数为0.2
例2、(2020·四川省攀枝花市三模)(多选)如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到大小从零
开始逐渐增大的水平拉力F作用，A、B间的摩擦力f 、B与地面间的摩擦力f 随水平拉力F变化的情况如
1 2
图乙所示，已知物块A的质量m＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )A．物块B的质量为4 kg
B．A、B间的动摩擦因数为0.2
C．B与水平地面间的动摩擦因数为0.2
D．当F＝10 N时，物块A的加速度大小为1.5 m/s2
例3、(2020·广东深圳一模)如图甲所示，质量为0.5 kg的物块和质量为1 kg的长木板，静置于倾角为37°足
够长的固定斜面上，t＝0时刻对长木板施加沿斜面向上的拉力F，使长木板和物块开始沿斜面上滑，作用
一段时间t后撤去拉力F。已知长木板和物块始终保持相对静止，上滑时速度的平方与位移之间的关系如
图乙所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．长木板与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.35
1
B．拉力F作用的时间为t＝2 s
C．拉力F的大小为13 N
D．物块与长木板之间的动摩擦因数μ 可能为0.88
2
例4、(多选)如图甲所示，水平地面上静止放置一质量为 M的木板，木板的左端有一个可视为质点的、质
量m＝1 kg的滑块．现给滑块一向右的初速度v ＝10 m/s，此后滑块和木板在水平地面上运动的速度图像
0
如图乙所示，滑块最终刚好停在木板的右端，取g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4
1
B．木板与地面间的动摩擦因数μ＝0.1
2
C．木板的长度L＝4 mD．木板的质量M＝1.5 kg
例5、(2013年全国2) 一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面精致的物块轻放到木板
上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面
间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g
＝10 m/s2求:
(1)物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数:
(2)从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小.
、
课堂随练
训练1、(多选)(2022·烟台期末)某实验小组在探究接触面间的动摩擦因数实验中，如图甲所示，将一质量为
M的长木板放置在水平地面上，其上表面有另一质量为m的物块，刚开始均处于静止状态。现使物块受到
水平力F的作用，用传感器测出水平拉力F，画出F与物块的加速度a的关系如图乙所示。已知重力加速
度g取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个运动过程中物块始终未脱离长木板。则( )A．长木板的质量为2 kg
B．长木板与地面之间的动摩擦因数为0.1
C．长木板与物块之间的动摩擦因数为0.4
D．当拉力F增大时，长木板的加速度一定增大
训练2、(多选)滑沙运动是小孩比较喜欢的一项运动，其运动过程可类比为如图所示的模型，倾角为37°的
斜坡上有长为1 m的滑板，滑板与沙间的动摩擦因数为.小孩(可视为质点)坐在滑板上端，与滑板一起由静
止开始下滑，小孩与滑板之间的动摩擦因数取决于小孩的衣料，假设图中小孩与滑板间的动摩擦因数为
0.4，小孩的质量与滑板的质量相等，斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则下列判断
正确的是( )
A．小孩在滑板上下滑的加速度大小为2 m/s2
B．小孩和滑板脱离前滑板的加速度大小为0.8 m/s2
C．经过1 s的时间，小孩离开滑板
D．小孩离开滑板时的速度大小为0.8 m/s
训练3、如图所示，在光滑的水平面上有一足够长的质量为M＝4 kg的长木板，在长木板右端有一质量为
m＝1 kg的小物块，长木板与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，长木板与小物块均静止，现用F＝14 N的
水平恒力向右拉长木板，经时间t＝1 s撤去水平恒力F，g取10 m/s2，则：
(1)在F的作用下，长木板的加速度为多大？
(2)刚撤去F时，小物块离长木板右端多远？
(3)最终长木板与小物块一起以多大的速度匀速运动？
(4)最终小物块离长木板右端多远？训练4、如图所示，放在水平地面上的长木板B长为3 m，质量为m＝2 kg，B与地面间的动摩擦因数为μ
1
＝0.2.一质量为M＝3 kg的小铅块A放在B的左端，A、B之间动摩擦因数为μ ＝0.4.刚开始A、B均静止，
2
现使A以5 m/s的初速度向右运动(g＝10 m/s2)，求：
(1)A、B刚开始运动时的加速度；
(2)B在地面上滑行的最大距离．
考点四、传送带模型
1．水平传送带
滑块的运动情况
情景
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速 先加速后匀速
vv时，一直减速 v>v时，先减速再匀速
0 0滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左
端．
滑块一直减速到右端
若vv返回
0 0 0
到左端时速度为v.
2．倾斜传送带
滑块的运动情况
情景
传送带不足够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系
先加速后匀速
gsin θ<μgcos θ)
若μ≥tan θ，先加速后匀速
一直加速(加速度为gsin θ
＋μgcos θ) 若μv时，一直减速(加速度 若 μ≥tan θ，先减速后匀速；若 μμgcos θ，一直加速；
gsin θ＝μgcos θ，一直匀速
先减速到速度为0后反向加速到原位置
(摩擦力方向一定 gsin θ<μgcos θ，一直减速
时速度大小为v(类竖直上抛运动)
沿斜面向上) 0
例1、(多选)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型．传送带始终保持 v
＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2.旅
客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是( )
A．开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B．行李经过2 s到达B处
C．行李到达B处时速度大小为0.4 m/s
D．行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
例2、(2021·广东番禺月考)如图甲所示，在顺时针匀速转动的传送带底端，一质量m=1 kg的物块以某一初
速度向上滑动，传送带足够长，物块的速度—时间图像部分如图乙所示，g取10 m/s2，取sin 37°= 0.6，
cos 37°=0.8，求:(1)物块与传送带之间的动摩擦因数μ；
(2)物块沿传送带向上运动的最大位移。
例3、如图所示，煤矿有一传送带与水平地面夹角θ＝37°，传送带以v＝10 m/s的速率逆时针转动．在传送
带上端A点静止释放一个质量为m＝1.0 g的黑色煤块，经过2 s运动到传送带下端B点并离开传送带，煤
块在传送带上留下一段黑色痕迹．已知煤块与传送带之间的动摩擦因数 μ＝0.5，sin 37°＝0.6，g＝10
m/s2，求：
(1)传送带从A到B的长度；
(2)煤块从A运动到B的过程中传送带上形成痕迹的长度．课堂随练
训练1、如图所示，水平传送带AB长3.2 m，以v＝4 m/s的速度沿顺时针方向匀速运动。现将一小物块以
v ＝2 m/s的水平初速度从A点冲上传送带。若小物块与传送带间的动摩擦因数为0.25，g取10 m/s2，则小
0
物块运动至传送带右端B点所用的时间为( )
A．0.8 s B．1.0 s
C．1.2 s D．1.6 s
训练2、(多选)如图甲所示，倾斜的传送带以恒定速率v 沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°.一物块以
1
初速度v 从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图像如图乙所示，物块到达一定
2
高度时速度为零，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，则( )
A．传送带的速度为4 m/s
B．物块上升的竖直高度为0.96 m
C．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5
D．物块所受摩擦力方向一直与物块运动方向相反
训练3、如图甲所示，水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体
A、B、C，物体A经t =9.5 s到达传送带另一端Q，物体B经t =10 s到达传送带另一端Q，若释放物体时
A B
刻作为t=0时刻，分别作出三个物体的v-t图像如图乙、丙、丁所示，g取10 m/s2，求:甲
(1)传送带的速度大小v;
0
(2)传送带的长度L;
(3)物体A、B、C与传送带间的动摩擦因数,以及物体C从传送带左端P到达右端Q所用的时间t 。
C
