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第十章机械振动
第十章 机 械 振 动
知识网络
受力特点
简谐运动的特点
能量特点
单摆的回复力
单摆
图象 单摆周期公式
物理量 简谐运动的描述
简谐运动
公式
受迫振动特点
受迫振动
共振
机械振动
机械振动是自然界中常见的一种运动形式本章通过对两个简单的物理模
概述： 1． ，
型 弹簧振子和单摆的研究初步介绍机械振动中一种最基本的运动 简谐运动
——— ， ———
的特点及规律
.
除了简谐运动之外本章还要介绍存在能量损失的振动形式 阻尼振动以
2． ， ——— ，
及物体在驱动力作用下的受迫振动这也是生活和生产中常见的运动之一因此学习
， ，
的时候要注意联系实际生活去理解和掌握
.
111GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式定理定律图表
、 、
一、 简 谐 运 动
一知识图解
、
理想化模型
弹簧振子 不计摩擦
理想化条件
简谐运动 弹簧质量忽略不计
简谐运动振动图象是一条正余弦曲线
： （ ）
振子位移
简谐运动及图象
振动时间
简谐运动图象应用
速度方向
二重要知识剖析 加速度方向
、
机械振动物体在平衡位置附近所做的往复运动
1. ：
简谐运动概念辨析
2.
简谐运动具有周期性
（1） .
简谐运动是一种变加速运动位移增大时加速度增大速度减小位移减小时加速度
（2） ： ， ， ； ，
减小速度增大
， .
简谐运动具有对称性关于平衡位置对称的两点其位移加速度一定等大反向而速度
（3） ： ， 、 ，
大小一定相等
.
三三学重习要方概法念引剖导析
、、
例题弹簧振子做简谐运动的图线如图所
示在 这段时间内 x/m
， t—t （ ）
振子的1 速2度方向和加速度方向都不变
A． t
振子的速度方向和加速度方向都改变 O 2
B． 振子的速度方向改变加速度方向不变 t 1 t/s
C． ，
振子的速度方向不变加速度方向改变
D． ，
做简谐运动的弹簧振子每次经过平衡位置加速度方向改
解析： ， ，
变一次而速度方向不变每次经过最大位移处速度方向改变一
， ； ，
次而加速度方向不变也就是说简谐运动过程中振子的速度
， . ， ，
方向与加速度方向的变化并不是同时的
.
答案
D
112第十章机械振动
二、 简谐运动的描述
一知识图解
、
定义振动物体离开平衡位置的最大距离
： （A）
振幅 物理意义描述振动的强弱
：
振幅是标量
周期做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间
： （T）
单位时间内完成全振动的次数
（f）
简谐运动的描述 周期与频率 频率
周期与频率互为倒数即 1
， f=
T
圆频率 2π
： ω= =2πf
T
x=Asin（ωt+渍）
简谐运动表达式
相位描述周期性运动在各个时刻所处的状
：
态用 表示其中叫做初相位
， （ωt+渍） ， 渍
二重要知识剖析
、
在简谐运动图象中最高点所对应的纵坐标表示该简谐运动的
1. ， x/m
振幅相邻两个最高点所对应的纵轴距离表示一个周期如图所示 A T
， ， .
简谐运动的振幅与周期
2. O
在简谐运动中从计时初始时刻开始 t/s
， ，
经过一个周期质点以相同的速度回到运动的初始位置运
（1） ， ，
动的路程等于四个振幅
.
经过1 周期质点运动到其初始时刻的对称点速度与初始时刻等大反向运动的路程
（2） ， ， ，
2
等于两个振幅
.
经过1 周期质点运动的路程可能大于一个振幅也可能小于一个振幅若初始时刻质点
（3） ， ， .
4
位于平衡位置或最大位移处经过1 周期其运动的路程等于一个振幅
， ， .
4
113GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式定理定律图表
、 、
三学习方法引导
、
例题 如图所示是某弹簧振子的振动图象由图象可知该振子
1 ， ，
振动的频率是 内振子运动的位移为 路
本题考 Hz， 0—0.3 s ，
名师经验谈： 程为
查简谐运动的图象及
.
简谐运动周期与振幅
的关系 y/cm
.
5
O
0.1 0.2 0.3 0.4 t/s
-5
由图象可知该振子振动的周期为 振幅为 计
解析： ， 0.2 s， 0.05 m，
时零点该振子处于平衡位置根据周期与频率的关系该振子的频率
. ，
为 振子运动了3 周期此时它正以相反的速度通过
5Hz； 0—0.3s， ，
2
平衡位置故其位移为零而路程应该等于六个振幅即
， ， ， 0.3m.
答案
5 0 0.3 m
例题 某质点做简谐运动其位移随时间变化的关系式为
2 ， x＝
π 则质点
Asin t， （ ） x/m
4
第 末与第 末的位移相同 A
本题考 A. 1 s 3 s
名 查 各物 师 简 理 经 谐 量 验 运 的 谈 动 含 ： 表 义 达式中 B. 第 1 末 s 至 末与第 末 3 的 s 位 末 移 的 方 速 向 度 都 相 相 同 同 O 1 2 3 4 5 6 7 8 t/s
. C. 3 s 5 s -A
末至 末的速度方向都相同
D. 3 s 5 s
由关系式可知 π 2π 将 和 代
解析： ω= rad/s， T= =8 s， t=1 s t=3 s
4 ω
入关系式中求得两时刻位移相同 对画出对应的位移时间图
， A ； -
象由图象可以看出第 末和第 末的速度方向不同 错
， ， 1 s 3 s ， B ；
仍由图象可知 末至 末的位移大小相同方向相反而速度
， 3 s 5 s ， ，
是大小相同方向也相同故错 对
， . C 、 D .
答案
AD
114第十章机械振动
三、 简谐运动的回复力和能量
一知识图解
、
定义简谐运动物体受到的指向平衡位置的合力
：
回复力 特点
： F=-kx
简谐运动
效果力回复力可以是几个力的合力也可以是某个力的分力
的回复力 ： ，
和能量
做简谐运动的系统机械能守恒
，
简谐运动的能量
简谐运动的能量与振幅有关振幅越大能量越大
， ，
二重要知识剖析
、
简谐运动的特点
受力特点受到回复力作用
（1） ： ， F=-kx.
运动特点变加速运动具有周期性和对称性位移
（2） ： ， ， y=Asin（棕t+渍）.
能量特点机械能守恒
（3） ： .
三学习方法引导
、
例题一个在水平方向上振动的弹簧振子由质量为的振子和劲
， m 本题考
度系数为的弹簧构成其振幅为 在最大位移处弹性势能为
名师经验谈：
k ， A， ， 查的是弹簧振子做简
则振子在
E， （ ） 谐运动的回复力及能
A． x=-A 时 ， a= kA B． x=-A 时 ， a=- kA 量变化 . 对于弹簧振子
m m 来说 回复力就是振
，
子受到的合力 根据
C． x=0
时
，
v=姨2E
D． x=0
时
， a=0 牛顿第二定律
，
可由
m ，
弹簧振子做简谐运动所受的合力就是回复力而回复力 回复力来计算其加速
解析： ，
度弹簧振子的位移
F=-kx， 根据牛顿第二定律 ， a= F = -kx ， 所以 ， 当 x=-A 时 ， a= 回 ， 复力与加速度三个 、
m m
量成正比例关系对于
kA 当 时 而由于简谐运动过程中机械能守恒当 做简谐运动的弹 . 簧振
， x=0 ， a=0； ， ，
m 子其机械能守恒可
弹簧振子由最大位移处运动至平衡位置时弹性势能全部转化成 ， .
， E 根据机械能守恒定律
动能
，
故有
E=
1
mv2，
所以
，
当
x=0
时
，
v=姨2E
.
来研究其能量变化的
2 m 问题
.
答案
ACD
115GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式定理定律图表
、 、
四、 单 摆
一知识图解
、
不可伸长的轻绳质量不计
（ ）
理想化条件 不计摩擦和空气阻力
绳长远大于球的直径
单摆的回复力小球重力沿切向的分力
单摆 ：
单摆做简谐运动条件摆角很小小于
： （ 5°）
单摆周期公式 ： T=2π姨 l
g
二重要知识剖析
、
关于单摆的回复力及单摆做简谐运动的条件
1.
若不计摩擦和空气阻力单摆只受到重力和绳子拉力两个力的作用受力
， ，
分析如右图所示
.
将重力分解可得 θ T
， ：
v2 为小球运动的向心力
T-mgcosθ=m ，
l
为小球运动的回复力
F=mgsinθ， mg
而当摆角很小时摆球的位移的大小与角所对的弧长 角所对的弦长都近似相等因
， x ， θ ， θ ，
而 x 所以单摆的回复力为 mg
sinθ≈ ， F≈- x.
l l
其中mg 可以用一个常量来表示于是上式可以写成
， k ， F=-kx.
l
可见在摆角很小的情况下单摆做简谐运动
， ， .
关于单摆的周期公式
2.
在单摆的周期公式 T=2π姨 l 中 ， l 为单摆的摆长 （ 或等效摆长 ）， 是指从悬点到摆球球心的距
g
离等于悬线长度与小球半径之和 为当地的重力加速度或等效重力加速度 所以利用单
， ， g （ ） . ，
摆的周期公式可以测量某处的重力加速度只需测出单摆的周期和摆长即可
， .
116第十章机械振动
三学习方法引导
、
例题 如图是单摆振动时摆球位移随时间
1 x/cm
变化的图象取重力加速度
（ g=π2m/s2） 5
求单摆的摆长
（1） l.
估算单摆振动时偏离竖直方向的最大角O
1 2 3 t/s
（2）
度单位用弧度表示 -5
（ ） .
根据周期公式有
本题考
解析： （1） 名师经验谈：
查单摆的周期公式对
T=2π姨 l 于单摆的周期 要 . 明
g ，
由图象可知单摆周期 确公式中各变量的关
T=2 s 系 学会找等效摆长
解得 ，
l=1 m 及等效重力加速度
.
单摆振动时偏离竖直方向的最大角度 A
（2） θ≈
l
解得
θ=0.05 rad
本题的正确答案见解析
.
例题 做简谐振动的单摆摆长不变若摆球质量增加为原来的倍 本题考
2 ， 4 ， 名师经验谈：
查单摆的等时性和能
摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1 则单摆振动的
， （ ） 量特点摆长一定的情
2 .
频率振幅都不变 况下单摆周期不变
A． 、 而振 ， 幅越大 在平衡 ，
频率振幅都改变 ，
B． 、 位置时的速度越大
频率不变振幅改变 .
C． 、
频率改变振幅不变
D． 、
解析： 由单摆的周期公式 T=2π姨 l ， 可知 ， 单摆摆长不变 ， 则周
g
期不变频率不变振幅是反映单摆运动过程中的能量大小的物
， ； A
理量由 可知摆球经过平衡位置时的动能不变因此
1
， E= mv2 ， ，
k 2
振幅改变所以正确
， C .
答案
C
117GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式定理定律图表
、 、
五、 外力作用下的振动
一知识图解
、
阻尼振动系统在振动过程中受到阻力作用振动的能量逐渐减小振幅也逐渐
： ， ，
减小最后停下来这样的振动叫做阻尼振动
， ，
定义系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动
：
外力作用 驱动力受迫振动系统所受到的周期性的外力
受迫振动 ：
下的振动
特点受迫振动的频率等于其所受驱动力的频率
： ，
与系统的固有频率无关
共振当驱动力的频率等于固有频率时受迫振动的振幅最大这种现象叫做共
： ， ，
振声音的共振现象叫共鸣
.
二重要知识剖析
、
共振曲线
建立直角坐标系用横轴表示驱动力的频率用纵轴表示受迫振动的振
， ， A
幅可得到共振曲线如右图
， .
共振曲线直观的反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响由共
，
振曲线可知当驱动力的频率与物体的固有频率相等时受迫振动的振
， f f ，
幅最大 0
. O
f f
0
三学习方法引导
、
例题两个质量相同的弹簧振子甲的固有频率是 乙的固有频率
， 3f，
是 若它们均在频率为的驱动力作用下做受迫振动则
4f， 5f ， （ ）
小贴士 振子甲的振幅较大振动频率为
： 共振是受迫 A． ， 3f
振子乙的振幅较大振动频率为
振动驱动力频率与固有 B． ， 4f
频率相等时的一种特殊 振子甲的振幅较大振动频率为
C． ， 5f
现象. 每个做受迫振动 振子乙的振幅较大振动频率为
D． ， 5f
的系统， 只要满足共振 受迫振动的频率与其驱动力频率一致而与其固有频率无
的条件， 都有可能发生 解析： ，
关故本题中甲乙两弹簧振子受迫振动的频率均为 而根据共
共振的现象， 但是受迫 ， 、 5f；
振曲线驱动力的频率与固有频率越接近受迫振动的振幅越大
振动不是时刻都在共振
， ， ，
的. 故本题中乙振子的振幅比甲振子的振幅大
.
答案
D
118
