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选择题考点专项 49 带电粒子在直线边界磁场中的
运动
1.(单边界磁场)质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂
直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹如图两种虚线所示，下列表述正确的是(
)
A.M带负电，N带正电
B.M的速度率小于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M的运动时间大于N的运动时间
2.(单边界磁场)在x轴上方有垂直于纸面的匀强磁场，同一种带电粒子从 O点射
入磁场。当入射方向与x轴的夹角α＝45°时，速度为v 、v 的两个粒子分别从
1 2
a、b两点射出磁场，如图所示，当α＝60°时，为了使粒子从ab的中点c射出磁
场，则速度应为( )
A.(v ＋v ) B.(v ＋v )
1 2 1 2
C.(v ＋v ) D.(v ＋v )
1 2 1 2
3.(垂直边界磁场)(多选)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面
向里，磁感应强度大小为 B的匀强磁场。一带电粒子从 y轴上的M点射入磁场，
速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在 N点(图中未画
出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(
)A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(＋1)a
4.(平行边界的磁场)(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度 v 和v 射入匀
a b
强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为 60°和30°，磁场宽度为
d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( )
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比R ∶R ＝∶1
a b
C.两粒子的周期之比T∶T ＝1∶2
a b
D.两粒子的周期之比T∶T ＝2∶1
a b
5.(平行边界的磁场)在如图所示的平面内，存在宽为 L的匀强磁场区域(足够长、
边界上有磁场)，匀强磁场的磁感应强度大小为 B，左侧边界上有一离子源 S，
可以向纸面内各方向发射质量为 m、带电荷量＋q(q>0)、速度大小为的离子。
不计离子受到的重力和空气阻力，下列说法正确的是( )
A.离子在磁场中运动的最长时间为
B.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最短时间为
C.离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为
D.离子从左侧边界离开磁场时，射入点与射出点间的最大距离为3L
6.(平行边界磁场的多解问题)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部
分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B，SP与磁场左
右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场
方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，
设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为
( )
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
7.(三角形边界磁场)(多选)空间中存在直角三角形有界磁场，直角边 ac长度为
L，磁感应强度大小为 B。c点有一个可沿纸面内各个方向射出速度大小均为
v 、质量为m、电荷量为＋q的粒子的发射源，从c点沿cb方向射入磁场的粒子，
0
运动轨迹恰好垂直于边界ab射出磁场。粒子重力不计，则关于粒子的运动，下
列说法正确的是( )
A.粒子速度v 的大小满足v ＝
0 0
B.从a点射出磁场的粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°
C.若三角形为等腰三角形，则与 bc夹角为45°的入射粒子在磁场中的运动时间
为
D.若c点到ab边界的距离为L，则所有从边界ab射出的粒子中在磁场中运动的
最短时间为
8.(三角形边界磁场)(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向
里且磁感应强度为B的匀强磁场，BC边上O点处有一粒子源，可沿各个方向向
三角形区域内发射质量为m、带电量为＋q、初速度大小为v ＝的粒子(不计重
0
力)，OB＝L，OC＝L，∠A＝90°，∠B＝30°。下列说法正确的是( )A.粒子在磁场中运动的最短时间为
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.AB边上有粒子射出的长度为L
D.从OB边射出的粒子占粒子总数的
9.(四边形边界磁场)(多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边
的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个
方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度
大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的
重力，则( )
A.粒子带负电
B.粒子运动的速度大小为
C.从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
10.(最小矩形磁场面积问题)(多选)如图，xOy平面内，挡板OP与y轴之间的区
Ⅰ内存在着一个垂直平面向里的矩形匀强磁场，磁感应强度大小为 B。一质量
为m、电荷量为 q的正电荷，以速度大小 v 平行x轴的方向从 y轴上的小孔 Q
0
射入区域Ⅰ，经过磁场垂直打到挡板P上。已知挡板OP与x轴的夹角为30°，
不计重力，下列说法正确的是( )
A.该电荷在磁场中运动的时间为
B.该电荷在磁场中运动的时间为
C.该电荷在碰到OP之前通过的矩形磁场的最小面积为(2＋)D.该电荷在碰到OP之前通过的矩形磁场的最小面积为(2－)
11.(六边形边界磁场)(多选)如图中，边长为L的正六边形内有一匀强磁场，方向
如图，正中央有一粒子源 O，它朝纸面各个方向发射质量为 m、电荷量为－q、
速度为v的粒子，恰好没有一个粒子飞出边界。不计所有粒子的重力，不计所
有粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A.所有粒子能到达的区域面积为πL2
B.磁感应强度B＝
C.若磁感应强度调整为，将有粒子从A点离开磁场
D.若竖直向上射出的粒子，刚好没有离开磁场，则磁感应强度调整为
12.(立方体边界磁场)如图所示，一个立方体空间被对角平面 MNPQ划分成两个
区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与 z轴平行的匀强磁场。
一质子以某一速度从立方体左侧垂直 Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。
下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )解析答案49 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．A [由左手定则可知，M带负电，N带正电，A正确；由R＝可知，M的速
度率大于N的速率，B错误；洛伦兹力对M、N都不做功，C错误；由T＝可知，
M的运动时间等于N的运动时间，D错误。]
2．D [设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有qvB
＝m，解得R＝，设a、b、c三点的坐标分别为x 、x 、x 。如图所示，当θ＝
1 2 3
45°时，若粒子从a点射出磁场，根据几何关系有x ＝R ＝，若粒子从b点射出
1 1
磁场，根据几何关系有x ＝R ＝，当θ＝60°时，粒子从c点射出磁场，根据几
2 2
何关系有x ＝R ＝，并且2x ＝x ＋x ，解得v ＝(v ＋v )，故D正确。]
3 3 3 1 2 3 1 2
3．AD [粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，A正确；粒子运动的
轨迹如图。由于速度方向与 y 轴正方向的夹角 θ＝45°，根据几何关系可知
∠OMO ＝∠OO M＝45°，OM＝OO ＝a，则粒子运动的轨道半径为 r＝O M＝
1 1 1 1
a，洛伦兹力提供向心力 qvB＝m，解得v＝，B、C错误；N与O点的距离为
NO＝OO ＋r＝(＋1)a，D正确。]
1
4．BD [由左手定则可得a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀
速圆周运动，运动轨迹如图所示，则 R ＝＝d，R ＝＝d，所以R ∶R ＝∶1，故
a b a b
B正确；由几何关系可得，从 A运动到B，a粒子转过的圆心角为 60°，b粒子
转过的圆心角为120°，t ＝＝t ＝，则T∶T ＝2∶1，故C错误，D正确。]
a b a b5．B [带电离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 qvB＝m，解得r
＝＝L，则垂直左边界运动的离子恰与右边界相切，运动半个圆周，在磁场中运
动的时间最长，为t ＝＝，此时，离子从左边界离开磁场，射入点与射出点间
max
的距离最大，大小为2L，故A、D错误；离子从右侧边界离开磁场时，当离子
圆周运动的弦长最短时，对应圆心角最小，根据t＝T，运动时间最短，由几何
关系得最短弦长为L，圆心角为60°，时间为t ＝＝，故B正确；离子从右侧
min
边界离开磁场时，离子初速度沿左边界向下，离子做四分之一的圆周运动，此
时有最大弦长，对应圆心角最大，运动时间最长，则离子从右侧边界离开磁场
时，在磁场中运动的最长时间为t ′＝＝，故C错误。]
max
6．BC [若离子通过下部分磁场直接到达 P点，如图甲。根据几何关系则有 R
＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，
故出射方向与入射方向的夹角为 θ＝60°。当离子上下均经历一次时，如图乙。
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力
有qvB＝m，可得v＝＝kBL，
甲乙
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以
上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足 v＝＝kBL(n＝1，2，3…)，此
时出射方向与入射方向的夹角为 θ＝60°，当离子从上部分磁场射出时，需满足
v＝＝kBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为 θ＝0°，故可知
B、C正确，A、D错误。]
7．BC [根据题意，从c点沿cb方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边
界ab射出磁场，如图甲所示。根据几何关系可知，a点为粒子运动轨迹的圆心，
则粒子做圆周运动的半径为 r＝L，由洛伦兹力提供向心力有 qv B＝m，联立解
0
得v ＝，故A错误；粒子从a点射出磁场，
0
根据题意，粒子的运动轨迹如图乙所示。根据几何关系可知∠O ca＝60°，α＝
1
60°，即粒子在c点的速度方向与bc夹角为60°，故B正确；根据题意，与bc夹
角为45°入射的粒子在磁场中的运动轨迹如图丙所示。根据几何关系可知，粒子
运动轨迹所对圆心角为45°，
则粒子在磁场中的运动时间为 t＝×＝，故C正确；根据题意可知，所有从ab
边界出射的粒子中在磁场中运动轨迹对应的弦长最短的情况为弦与 ab垂直，此
时粒子运动的时间最短，最短时间的运动轨迹为弧线cd，如图丁所示。根据几何关系可得 sin ＝＝，又cos θ＝1－2sin2＝>，由题意结合余弦定理有
cos θ＝>，可知θ<，结合C选项分析可知，从ab边界出射的粒子中在磁场中
运动的最短时间t <，故D错误。]
min
8．CD [如图所示为粒子运动的动态圆在各个边上的临界点，粒子运动的半径
为。动态圆对应的弦为OE和OF时，粒子对应的时间最短，为 T＝，故A错误；
粒子刚好从OB边射出时对应的圆心角最大为 120°，故而最长时间为T＝，故B
错误；AB边上有粒子射出的部分为 AD，长度为L，故C正确；沿OF和OB方
向发射的粒子均从 OB 边上射出，∠BOF＝60°，故而占粒子总数的，故D正
确。]
9．AB [速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，所以由左手定
则可知，粒子带负电，A正确；速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射
出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图。粒子的运动轨迹结合几何关系可知，α
＝60°，所以粒子做圆周运动的半径r＝d，由牛顿第二定律qvB＝m，解得粒子
运动的速度大小为v＝，故B正确；作图可知，粒子从AD边离开时的运动轨迹
都为劣弧，由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此从 AD边离开的粒子在
磁场中运动的轨迹越短，即该轨迹对应的弦越短，时间越短，分析可知，O点
到AD的最短距离为EO，即从E点射出的粒子在磁场中运动时间最短，因此最
短时间为六分之一周期，由T＝，可得最短时间t＝＝，故C错误；
如图，当粒子水平向左飞入时刚好从 A点飞出，当粒子竖直向上飞入时，刚好
从D点飞出，由图可知，从 AD边离开的粒子在磁场中经过的区域的面积为图中AODA区域的面积，所以该区域面积为S＝πd2＋d2－πd2＝d2，故D错误。]
10．BC [该正电荷运动轨迹如图所示。依题意，虚线框为所存在的最小矩形
匀强磁场区域。由几何关系易知，正电荷在磁场内做圆周运动的圆心角为，故
该正电荷在磁场中运动的时间为t＝·＝，故A错误，B正确；圆周运动的半径为
r＝，可知这个矩形的最小面积表达式S＝2r·(r＋rcos 30°)，即可得S＝(2＋)，故
C正确，D错误。]
11．BD [由于恰没有一个粒子飞出，所以粒子在磁场中运动的半径 r＝L，所
有粒子能到达的区域是一个以O为圆心、半径为2r的圆，所以面积S＝π(2r)2
＝，故A错误；又因r＝，所以磁感应强度B＝，故B正确；若磁感应强度调整
为，则粒子在磁场中运动的半径为，轨迹如图中①轨迹，由于边界是一个正六
边形，所以粒子会从六边形的边上飞出，从而打不到 A点，故C错误；粒子的
轨迹如图中②轨迹所示，设粒子的运动半径为r′，则有r′＝，由几何关系得r′＋
＝L，解得B′＝，故D正确。]
12．A [由题意知当质子射出后先在 MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可
知在MN左侧受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，
做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，
质子相对于在MN上的速度方向向y轴负方向偏移，做匀速圆周运动，故 A正
确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于 xOy平
面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。]
