文档内容
专题 01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................3
题型一：内切球等体积法..................................................................................3
题型二：内切球独立截面法..............................................................................8
题型三：外接球公式法....................................................................................12
题型四：外接球补型法....................................................................................13
题型五：外接球单面定球心法.........................................................................16
题型六：外接球双面定球心法.........................................................................20
三、专项训练.........................................................................................................24
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面
体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
类型二 球的外接问题1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD
，AD=BC，AC=BD）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面 ，确定其外接
圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式 可计算
出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心）
O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
①选定底面 ，定 外接圆圆心
B C
②选定面 ，定 外接圆圆心③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的
半径之比为（ ）
A．1：3 B．1： C． D．
【答案】D
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为 a，外接球的半径为 ，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为 ，设 是内切球球心，则 到棱锥四个面的距
离都等于 ，
根据三棱锥的体积的两种求法，得 ，
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ．
故选：D．
2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为
．【答案】
【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为 ，
如图所示， 为 的中点， ，
由正四面体的性质可知线段 为正四面体 的高，
在正 中， ，
同理，在正 中， ，
则 ， ，
所以 ，
则 ，
由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心 在线段 上，
则 ，
，
所以 ，故 ，
而棱切球与棱 相切，故其半径为 ，
则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为 .
故答案为： .
3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四
面体表面上的一个动点，则 的取值范围为 .【答案】
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体 中，设四面体内切球球心为 ，
内切球半径为 ，取 中点为 ，
则 , ,所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以 ，即 ，
因为 ,
因为 为球O的一条直径，所以 ,
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为: .
4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直径，点M在正四
面体 的表面运动，则 的最大值为 ．
【答案】 /【详解】
如图， 为 中点， 为 中心， 平面 ，
设球O的半径为r， ，
正四面体 中，易求得
所以正四面体 的高为 ，
所以根据体积公式 得：
，解得 ，
因为点M在正四面体 的表面运动，
所以 ，
所以
．
故答案为： ．
5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体 的棱长为12，球 内切于正四面体 是球
上关于球心 对称的两个点，则 的最大值为 .
【答案】【详解】
设点 在平面 内的射影为 ，点 在平面 内的射影为 ，点 在平面 内的射影为 ，如
图1.
因为正四面体 的棱长为12，所以
.
设球 的半径为 .
因为 ，所以 ，则 .
，当且仅当 时，等号成立.
过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，如
图2.圆 的半径为 是关于点 对称的两个点，且 .
.
，当且仅当直线 与圆 相切时，等号
成立.
，当且仅当 时，
等号成立.
因为以上取等条件可以同时成立，所以 .
6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳
马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．【答案】 /
【详解】
如图， 为正方形，设 垂直于平面 ，由题 ， ，
因为 ， ，所以 平面ADP，所以 ， 为直角三角形，
由题， ，四棱锥表面积 ，体积 ，
设内切球半径为r，则 ，得 ，内切球表面积为 ；
以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为内切球半径 ，所以内切球球心 ，
因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心 ，
两点间距离 .
故答案为： ；
题型二：内切球独立截面法
1．（23·24上·淮安·开学考试）球 是圆锥 的内切球，若球 的半径为 ，则圆锥 体积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如下图所示：取圆锥 的轴截面 ，设 ，则 ，
则 ，则 ，
所以，该圆锥的体积为
，
令 ，令 ，其中 ，
则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，当 时， 取最小值，即 .
故选：C.
2．（22·23下·咸宁·期末）已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台
的上、下底面半径 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．【答案】B
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆 是等腰梯形 的内切圆，设圆 与梯形的腰相切于点
，与上、下底的分别切于点 ， ，
设球的半径为 ，圆台上下底面的半径为 ， .注意到 与 均为角平分线，因此
，
从而 ，故 .设台体体积为 ，球体体积为 ，
则 .
故选：B
3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 ，当该圆锥
体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
【答案】2:1/2
【详解】设圆锥的高为 ，底面半径为 ，
则当圆锥体积最小时，如图，
由 可得： ，即 ，进而 ，
圆锥的体积 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
该圆锥体积的最小值为 ．
内切球体积为 ．
该圆锥体积与其内切球体积比 ．
故答案为：2：14．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为 ，当该
圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
【答案】 .
【详解】设圆锥的内切球的半径为 ，可得 ，解得 ，
再设圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，如图所示，
由 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以圆锥的体积 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
此时 ，母线长为 ，
此时圆锥的表面积为 .
故答案为： .
5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
.
【答案】
【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，设该内切球的球心为 ，内切球的半径为 ， 为切点，
所以， ，
由已知得 ， ，
所以，在 中， ，即 ，解得 ，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为： .
题型三：外接球公式法
1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积
为 ( )
A．50π B．100π C．150π D．200π
【答案】A
【详解】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，
∴长方体的对角线长为： ，
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径
∴球半径为 ，可得球的表面积为 ．
故选A．
2．（22·23·全国·专题练习）设球 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球 的截面，
则最小截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】正方体的体对角线长为 ，所以球 的半径为 ，
正方体的棱的中点与 的距离为 ，
最小截面的圆的半径为 ，最小截面的面积为 .
故选：B
3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的
六个面都与球相切）的体积之比是 ．
【答案】
【详解】设正方体的棱长为 ,则外接球的半径为 ,内切球的半径为
所以正方体的外接球和内切球的体积比为
故答案为：
题型四：外接球补型法
1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥 中， ， 则
该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意， 两两相互垂直，以 为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥
的外接球，
，表面积 ，
故选:B
2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥 中， ， ， ，则该三
棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】因为 ，
所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有 ，整理得 ，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 ，
所以所求的球体表面积为： ．
故选：A．
3．（23·24上·成都·开学考试）已知四面体 满足 ， ， ，且
该四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】将四面体 放入长方体中，如图，
则四面体 的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中 ，则 ，
三式相加得 ，故 ，
所以四面体 的外接球半径为 ，
故四面体 的外接球表面积为 .故选：B
4．（22·23下·黔西·阶段练习）正三棱锥 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接
球的半径之比为 .
【答案】
【详解】由题意，正三棱锥 可补形称正方体 ，如下图：
则三棱锥 的外接球为正方体 的外接球，
设正方体的棱长为 ，则外接球半径 ，
在正三棱锥 中， ，
易知 为等边三角形，由勾股定理可得： ，
则其面积 ，
故正三棱锥 的表面积 ，
其体积 ，设三棱锥 的内切球的半径为 ，则 ，
则 .
故答案为： .
5．（22·23下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥 中， ， ，且
，求该三棱锥外接球的表面积是 ．
【答案】
【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为 ，
由题意可将三棱锥 转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，
则长方体的体对角线为外接球的直径 ，即 ，
所以该三棱锥外接球的表面积为 .
故答案为： .题型五：外接球单面定球心法
1．（23·24上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面
为 外接圆的圆心， 为三棱锥 外接球的球心， ，则三棱锥 的外接球 的
表面积为 ．
【答案】
【详解】根据题意可知，设 外接圆的半径为 ，
在 中由正弦定理可知 ，解得 ，即 ；
易知三棱锥 外接球的球心在 的正上方，且 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
因为 平面 ，可得 ，又 ，
所以可得四边形 是矩形，即 ；
设 ，三棱锥 外接球的半径为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ；
所以可得三棱锥 的外接球 的表面积为 .
故答案为：
2．（23·24上·秦皇岛·开学考试）三棱锥 中， 在底面的射影 为 的内心，若
， ，则四面体 的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】三棱锥底面为直角三角形， 为 内心，由 ， 可得 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设 内切圆半径 ，易知 的周长为 ，面积为 ；
由等面积可得 ，解得 ；
设四面体 外接球球心为 ，
所以易知 在平面 射影为 中点 ，易知 ，则 ，
设 ，
则 ，
且 ，即 ，
解得 ，
则四面体 的外接球表面积为 .
故答案为：
3．（22·23下·石家庄·阶段练习）已知球 是正四面体 的外接球， 为棱 的中点， 是棱
上的一点，且 ，则球 与四面体 的体积比为 .
【答案】
【详解】如图，正四面体 中，顶点 在底面的射影为 ，球心 在 上，
设正四面体的棱长为 ，可得 ，则正四面体高 ，
设外接球半径为 ，在直角三角形 中， ，
即 ，解得 ，
令 ，在 中，由余弦定理得 ①，
同理，在 中，由余弦定理得 ②
由题设 ，解得 ，
由于 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，都等于 ， ，
故 ，
，
所以 .
故答案为： .
4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱锥 的底面 是矩形，侧面 为等边三角形，平面
平面 ，其中 ， ，则四棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】记AD的中点为 ，连接 ，连接EF，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，所求外接球球心为 ，半径为 ，连接 ，如图，因为 为等边三角形， ，所以圆 的半径 ，
因为 为等边三角形， 是AD的中点，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面PAD，
所以 平面ABCD，
因为底面ABCD是矩形，所以 是底面ABCD外接圆的圆心，
故 平面ABCD，所以 ，
同理 ，所以四边形 是矩形，
所以 ，
所以球 的半径 ，
所以外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
题型六：外接球双面定球心法
1．（22·23上·抚州·期中）已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折起，使得
点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 .若 是线段 的中点，点 在三棱锥
的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 .【答案】
【详解】取 中点 ，连接 ，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，则 ，
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 ，且 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ， 的中心分别为 ，
可知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ，
在Rt 中，可得 ，
又因为 ，则 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
所以截面圆的面积为 .
故答案为： .
2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中 ，把
沿着DE翻折至 的位置，得到四棱锥 ，则当四棱锥 的体积最大时，四
棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .【答案】 /
【详解】
由题意可知，当平面 平面 时，四棱锥 的体积最大，如图所示，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
则 的外接圆的圆心 位于 且靠近点 的三等分点处，
设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 为四边形 的外接圆的圆心，
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，
则两垂线的交点即为四棱锥 的外接球的球心 ，
连接 ，则四边形 为矩形，
所以 ，
连接 ，在 中， .
设四棱锥 的外接球的半径为 ，则 .
连接 ， ， ，
， ，连接 ，则 ，所以 外接圆的圆心在 上，令其半径为 ，
在 中， ，
所以 ，即 ，解得 ，
设四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .
故答案为：
3．（22·23下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材
开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示
的四边形 中， ， ， ， .第二步：以 为折痕将 折
起，得到三棱锥 ，如图（二）.第三步：折成的二面角 的大小为 ，则活动结束后计
算得到三棱锥 外接球的表面积为 .
【答案】 /
【详解】从第一步活动中可知 是边长为2的正三角形，
第二步活动中可知三棱锥 外接球的球心是过底面 外心的平面 的垂线，
与过 外心的平面 的垂线的交点，如图：
因 为正三角形，所以 的外心 为 的中心，
因 为以 为斜边的直角三角形，所以 的外心 为 的中点，
三棱锥 外接球的球心为 ，
因 ， ，所以 , ,故 为二面角 的一个平面角，
所以 ，
因 为正三角形，所以 ，
因 平面 ， 平面 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设外接球的半径为 ，
所以 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知，如图所示：
直六棱柱的各顶点都在同一球面上，则底面六边形的所有顶点都在同一个圆上，因为底面六边形的边长均为2，所以底面六边形必为正六边形，
且由几何关系易知底面所在圆的直径为 ，
又因为直六棱柱的侧棱长为2，故直六棱柱外接球的直径为 ，
所以球半径 ，所以球的表面积 .
故选：B.
2．（22·23下·宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，面积最小的截面是以 为直径的截面，
将四面体 放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体 的外接球，
设 ，则正方体棱长为 ，故 ，可求得 ，
进而截面面积的最小值为 ．
故选：C
3．（23·24上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面
上，这个球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设球的半径为 ，由题意可知球的直径即是长方体的体对角线，
则 ，解得 ；
所以 .
故选：A4．（22·23下·临夏·期末）已知四棱锥 的体积为 ，侧棱 底面 ，且四边形 是
边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意四棱锥 的体积为 ，侧棱 底面 ，且四边形 是边长为2的正方
形，
得 ,
设O为PC的中点，E为 的交点，连接 ，
则E为 的中点，故 ,且
因为 底面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
而四边形 是边长为2的正方形，故 ，
故 ,则 ，
又 ，故 ，
同理求得 ，即 ，
故O为四棱锥 的外接球的球心，则半径为 ，
则该四棱锥的外接球的表面积为 ，
故选：A
5．（23·24上·广东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中点，将
， ， 分别沿 ， ， 折起，使得 三点重合于点 ，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可得 ，且 ，
所以三棱锥 可补成一个长方体，则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，
设长方体的外接球的半径为 ，可得 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，
故选：C
6．（23·24上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半
径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，
所以得高为 ，
设底面半径为r，由已知得 ，故体积为 .
故选：A7．（23·24上·莆田·阶段练习）三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，
为 中点且 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设易得 ，则 ，即 ，又 ，
， 面 ，则 面 ，
若 的中心为 ，则外接球球心 在过 垂直于面 的直线上，
又 ，结合线面垂直模型知：外接球的半径 ，
所以，外接球表面积为 .
故选：B
8．（22·23·九江·一模）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面
平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
因为平面 平面 ，所以可得 平面 ， 平面 ，
取 的外心 ， 的外心 ，分别过 作平面 与平面 的垂线交于点 ， 即为球
心，连接 ，易得 ， ，
，
.
故选：B.
二、填空题
9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为 ，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的
体积为 .
【答案】 /
【详解】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，
如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，
因为 是正三角形，所以 ， ， ，
设内切球半径为R，在 中可得， ，
所以 ，解得 ，
球的体积为 .
故答案为： .
10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下
底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】设圆台高为h，由题意得 ， ．
当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如下图所示：设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为 ， ，
外接球的半径为 ，由 ，
则 ，得 ， ，该圆台外接球的体积为 ．
当当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如下图所示：
设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为 ， ，
外接球的半径为 ，由 ，
则 ，得 舍去，
综上所述：该圆台外接球的体积为 ，
故答案为：
11．（22·23·大同·模拟预测）四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑 中， 平面
， ， ，鳌臑 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．
【答案】
【详解】把鳌臑 补成一个长方体，如图所示：则长方体的外接球即是鳌臑 的外接球，
又 ， ，
长方体的外接球半径 ，
鳌臑 的外接球半径为 ，
则该球的表面积是 ，
故答案为： ．
12．（23·24上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为 ，则该圆锥的内切球的
体积为 .
【答案】
【详解】解：由题意圆锥的底面半径为 ，设母线长为 ，圆锥的高为 ，
由圆锥的侧面积公式 得： ，解得 ，所以 .
棱锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为 ，
∵ 相似于 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
所以内接球体积 .故答案为： .
13．（23·24上·成都·阶段练习）已知三棱锥 底面 是边长为 的等边三角形，平面 底面
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】 /
【详解】设外接球的球心为 ， 分别为等边三角形 的中心，
连接 ，则 平面 ， 平面 ，
设 为 的中点，则 ，
因为平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 、 都是边长为 的等边三角形，所以 ，
可得四边形 为正方形， 为三棱锥 的外接球的半径，
因为 ，所以 ， ，
，
则三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： .
14．（23·24上·遂宁·阶段练习）已知正三棱柱 的六个顶点在球 上，又球 与此三棱柱的
个面都相切，则球 与球 的表面积之比为 .
【答案】 /5
【详解】由题意可得两球 、 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 和它们的球心作截面如图，设正三棱柱底面边长为 ，两球半径分别为 ，
则 ， ，
则正三棱柱的高 ，
在 中， ，
有 ,
，所以球 与球 的表面积之比 .
故答案为： .
15．（22·23下·赣州·阶段练习）已知圆锥的内切球半径为 ，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该
圆锥的体积为 ．
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，
圆锥侧面展开图为半圆， 侧面展开图扇形弧长为 ，解得： ；
作出圆锥的轴截面如下图所示，其中 为圆锥内切球球心，， ，
又 ， ，解得： ， ，
圆锥体积 .
故答案为： .
