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专题 02 平面向量
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（全国甲卷数学（理））已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
4．（新高考北京卷）已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（新高考天津卷）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ；若 为线段 上的动点， 为 中点，则 的
最小值为 ．6．（新高考上海卷）已知 ，且 ，则 的值为 ．
一、单选题
1．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若 ， ，则实数 （ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（2024·山东德州·三模）已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
3．（2024·河北衡水·三模）已知 是单位向量， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量 ，若 ，则下列关系一定
成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形 的边长为4，若动点 在以 为直径的半圆
上（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南·三模）已知向量 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．27．（2024·湖南长沙·二模）已知向量 中， 是单位向量， 与 的夹角为
，则 （ ）
A．2 B． C． D．-1
8．（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， 是单位向量，且它们的夹角是 ，若 ， ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北·三模）已知平面向量 ， ，满足 ， ， 与 的夹角为
，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．与 有关
10．（2024·广东广州·三模）设向量 ， ，当 ，且 时，则记作 ；当
，且 时，则记作 ，有下面四个结论：
①若 ， ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
④若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
11．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
12．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量 ，则向量 在向量 方向上的投影是（ ）
A． B．1 C． D．
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量 的夹角为 ，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河北承德·二模）在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·广东广州·模拟预测）设 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．（2024·山东·二模）在 中， 交于点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 ， ， 为非零向量，下列说法正确的有（ ）A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．已知 ， ， ，则点A，B，D一定共线
18．（2024·河南·三模）已知平面向量 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 一定可以作为一个基底
B． 一定有最小值
C．一定存在一个实数 使得
D． 的夹角的取值范围是
19．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端
是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟
的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动
点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则 在 上的投影向量为D． 的最大值为
20．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（ ）
A．对空间任意一点 与不共线的三点 ，若 ，其中 ， ， 且
，则 四点共面
B．已知 ， ， 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C．若 ， 共线，则
D．若 ， 共线，则一定存在实数 使得
21．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定
义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数 （
，且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知 ，
点M满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72
C．若 ，则 的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
三、填空题
22．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
23．（2024·江西·二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
24．（2024·四川遂宁·三模）已知向量 ， ，若 ，那么m的值为 ．
25．（2024·河北·二模）已知 是半径为2的圆上三个动点，①若 ，则 的最大值为，②若 ，则 的最小值为 .
26．（2024·河北保定·二模）已知向量 的夹角的余弦值为 ， ，且 ，则
．
27．（2024·全国·模拟预测）若向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ．
28．（2024·北京顺义·二模）若非零向量 满足 ，且 ，则能使得 成
立的一组 可以是 ，
29．（2024·福建宁德·三模）已知 是两个单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的
夹角为 .
30．（2024·天津红桥·二模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为
“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且
两端点M，N分别在两个半圆上，点P是大圆上一动点，令 ， ，若 ，则
； 的最小值为 ．
