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专题 03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
三、专项训练........................................................3
一、必备秘籍
实根问题，换元法令 将函数 化简为 ，在利用正弦函数
的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·浙江·校联考二模）函数 的图象向左平移 个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数 ．若关于x的方程 在 内有两个不同的解α，
β，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 满足 ，若 在区间
上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于 的方程 在 上有实数解，则实数
的取值范围是 .
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数 图象上各点的横坐标变为原来的 倍，然
后再向右平移 个单位得到函数 的图象，则 的解析式为 ；若方程 在
的解为 、 ，则 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差 ，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到的图象关于y轴对称且 ；②函数 的图象的一个对称中心为 且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若
函数 在区间 上恰有3个零点，求t的取值范围.7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数 （其中
）的部分图像如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图
象．
(1)求 与 的解析式；
(2)令 ，求方程 在区间 内的所有实数解的和．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数 图象所有点的纵坐标伸长到原来
的 倍，并沿x轴向左平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 的图象．若
的图象关于点 对称，则函数 在 上零点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，把函
数的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 时，方程 有实根，则实数 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数 的图象
与直线 的相邻两个交点的距离为 ，且对于任意 ，不等式 恒成立，则（ ）
A．
B． 的取值范围为
C． 在区间 上单调递增
D．若实数 使得方程 在 恰有 ， ， 三个实数根，则
的最小值为
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，若 在区间 上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，当
（其中 ）时， 有且只有一个解，则 的取值范围是 .
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数 的部分图象如图所
示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等实根 ，求实数 的取值范
围，并求 的值．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数 （ ， ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式的两个作为已知.
条件①：函数 的最小正周期为 ；
条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 .
(1)求 的解析式及最小值；
(2)若函数 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，求 的取值范围.
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若方程 在 上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线 （ ， ）相邻的两条对
称轴之间的距离为 ，若将函数 的图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的
图象，且 为奇函数.(1)求函数 的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数 在区间 上的单调递减区间；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向上平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，方程 恰
有三个不相等的实数根 、 、 ，求实数 的取值范围和 的值.
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数 相
邻两条对称轴的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的图象
关于原点对称．
(1)求 ；
(2)设函数 ，当 时，方程 有且仅有两个实数根 ，求实数 的取值
范围．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知 ，其中 ，， ，且满足 ， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在区间 上总有实数解，求实数 的取值范围．
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数
的最小正周期为 .
(1)求 的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程 在 上有两个不等实数解 ， .
①求实数m的取值范围；
②求 的值.
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期．
(2)求 的单调递增区间．
(3)若关于 的方程 在 上有解，求实数m的取值范围．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，函数
， ．(1)当 时，求 的值；
(2)若 的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数 ， 有四个不同的零点？若存在，求出m的取值
范围；若不存在，说明理由．
16．（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数
.
(1)求 的单调递增区间；
(2)方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.
17．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间的距离为
.
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求 的单调递减区间；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，试确定 的值，并求
的值.
