文档内容
专题 03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
三、专项训练........................................................7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令 将函数 化简为 ，在利用正弦函数
的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为
，所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考二模）函数 的图象向左平移 个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数 ．若关于x的方程 在 内有两个不同的解α，
β，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得函数的解析式为 ，
因为所得函数为奇函数，所以 ，
则有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，，
因为 ，所以 ，
所以由 ，
可得 ，
所以 ，且 ，
则 ，
所以 ，
故选:B.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 满足 ，若 在区间
上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知， 的最小正周期 ，
因为 ，可知 为 的一条对称轴，
所以 在 之后的零点依次为 ， ， ，
，…，
若 在区间 上恰有3个零点，所以 .
故选：C.
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于 的方程 在 上有实数解，则实数
的取值范围是 .
【答案】【详解】原方程
等价于
即函数 ， 在 上有交点，
∵ ，∴ ， ，故 ，
则 .
故答案为：
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数 图象上各点的横坐标变为原来的 倍，然
后再向右平移 个单位得到函数 的图象，则 的解析式为 ；若方程 在
的解为 、 ，则 .
【答案】
【详解】将函数 图象上各点的横坐标变为原来的 倍，然后再向右平移 个单位得到函数
的图象，则 ，
当 时， ，
由题意可得 ，即 ，令 ，得 ，可得函数 的图象关于直线 对称，
，所以， ，且 ，
，
，
， ， ， .
故答案为： ； .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差 ，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数 的图象向左平移 个单位长
度后得到的图象关于y轴对称且 ；②函数 的图象的一个对称中心为 且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若
函数 在区间 上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ，故 ,故 .
若选①，函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为 ，
由题意知该函数为偶函数，故 ，
由于 且 ，即 ，故 ，
故 ；
若选②，函数 的图象的一个对称中心为 且 ，
则 ，
由于 且 ，即 ，故 ，
故 ；
（2）由题意可得 ，
由于 在区间 上恰有3个零点，故 ，
即 .
7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数 （其中
）的部分图像如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图
象．
(1)求 与 的解析式；
(2)令 ，求方程 在区间 内的所有实数解的和．【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由图可知， ，
函数 的周期 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
因为将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以 ；
（2）
，
由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 ，所以方程 在区间 内的所有实数解的和为
．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数 图象所有点的纵坐标伸长到原来
的 倍，并沿x轴向左平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 的图象．若
的图象关于点 对称，则函数 在 上零点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】将 图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍，得到 的图象，
继续沿x轴向左平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 的图
象，
∵ 的图象关于点 对称，得 ， ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
令 ，当 时，有 ，
由 ，可得 ， ，
结合函数 的图象可得， 在 上只有2个解，
即函数 在 上零点的个数是2．
故选：B.2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，把函
数的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 时，方程 有实根，则实
数 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】因为
，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ，则 ，
由 得 ，可得 ，所以， ，解得 ，
故选：CD.
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数 的图象
与直线 的相邻两个交点的距离为 ，且对于任意 ，不等式 恒成立，则（ ）
A．
B． 的取值范围为
C． 在区间 上单调递增
D．若实数 使得方程 在 恰有 ， ， 三个实数根，则
的最小值为【答案】AC
【详解】由题意，
， ，
图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
最小正周期 ， ，A正确．
此时， ，
当 时， ，又 ，
， ，
对 ，不等式 恒成立，
，解得 ，故B错误．
对于 ，当 时， ，
， ， ．
所以 ， 在此区间上单调递增，故C正确．
对于 ，令 ，则当 时， ，作出 在 上的图象，如图所
示，
设 与图象的交点横坐标从左至右依次为 ， ， ，
由图可知： ， 关于 对称， ， 关于 对称，
故 ， ， ．又 ， ， ，
所以 ，
由 可得， ，
即 的最小值为 ，D错误．
故选：AC．
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，若 在区间 上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由题设 ，
在 ，则 ，要使 在区间 上有且仅有一个零点，
所以 ，即 ，故 满足要求.
故答案为： （答案不唯一）
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，当
（其中 ）时， 有且只有一个解，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由于 ，
所以 有且只有一个解，即 有且只有一个解，
因为 ，所以 ，
由题意知 ，解得 ，
即 的取值范围是为 ，
故答案为：6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数 的部分图象如图所
示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等实根 ，求实数 的取值范
围，并求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）由图可知， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ， ，∴ ，
由 可得 ，
∴ ；
（2）将 向右平移 个单位得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，∴ ；
由对称性可知 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数 （ ， ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 的解析式的两个作为已知.
条件①：函数 的最小正周期为 ；
条件②：函数 的图象经过点 ；
条件③：函数 的最大值为 .
(1)求 的解析式及最小值；
(2)若函数 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)选择①② ， 的最小值为 ；选择①③ ， 的最小
值为
(2)选择①② ；选择①③
【详解】（1）由题可知，
，
选择①②：
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以 ．当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值为 ．
选择①③：
因为 ，所以 ，
又因为函数 的最大值为 ，所以 ．
所以 ，
当 ，即 时， ．
所以函数 的最小值为 ．
选择②③：因为 ，所以 ．
又因为函数 的最大值为 ，所以 ，与 矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为 , ，所以 ，
又因为 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，
所以 ，所以 ，所以 ．
选择①③：
因为 , ，所以 ，
又因为 在区间 （ ）上有且仅有1个零点，
又 时， 或 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若方程 在 上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；【答案】(1) 或 ；
【详解】（1）依题意，
，
当 时， ，则当 时， 单调递增，函数值从 增大到2，
当 时， 单调递减，函数值从 减小到 ，
方程 在 上有且只有一个实数根，即直线 与函数 在 的图象只有一
个公共点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 的图象，如图，
观察图象，当 或 时，直线 与函数 在 的图象只有一个公共点，
所以实数m的取值范围是 或 .
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线 （ ， ）相邻的两条对
称轴之间的距离为 ，若将函数 的图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的
图象，且 为奇函数.
(1)求函数 的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；对称中心为 ，
(2)【详解】（1）由题意可知 ，∴ ，∴ ，
将函数 的图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位后得到的新函数为：
，
又 为奇函数，且定义域为 ，
∴ 且 ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的对称中心为 ， .
（2）由（1）可知 ，设 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
由关于 的方程 在区间 内有两个不相等的实数根，
可得 在区间 内仅有一个实数根，且另一个根不等于1或在 内有两个相等的根，
令 ，则 ，
故 或 ，解得 或 .
所以 .
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数 在区间 上的单调递减区间；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向上平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，方程 恰
有三个不相等的实数根 、 、 ，求实数 的取值范围和 的值.【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）解：
，
因 ，则 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得 ，
即函数 在区间 上的单调递减区间为 .
（2）解：将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，
可得到函数 的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），可得到函数 的图象，
再将所得图象向上平移 个单位，可得到函数 的图象，
当 时， ，令 ，
则 ，令 ，
令 ，可得 ，其中 ，
作出函数 与函数 在 时的图象如下图所示：由图可知，当 时，函数 与函数 在 时的图象有三个交点，
设 ，其中 ，
则点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于直线 对称，
所以， ， ，则 ，
所以， ，解得 .
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数 相
邻两条对称轴的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的图象
关于原点对称．
(1)求 ；
(2)设函数 ，当 时，方程 有且仅有两个实数根 ，求实数 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解，因为函数 相邻两条对称轴的距离为 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，
因为 的图象关于原点对称，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
（2）解：由（1）可知，
，
因为 ，所以 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
要使得 有且仅有两个实数根，即 和 的图象有两个不同的交点，
如图所示，可得 ，即实数 的取值范围是 ．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知 ，其中 ，
， ，且满足 ， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在区间 上总有实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【详解】（1）由题意，函数
，
由 得， ，
又因为 ，
由 ，得： ，
所以 ，
所以 的解析式为： .
（2）由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则有 ，
即
又因为方程 在区间 上总有实数解，
所以 在区间 上成立，
所以 ， ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数
的最小正周期为 .
(1)求 的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程 在 上有两个不等实数解 ， .
①求实数m的取值范围；
②求 的值.【答案】(1) ，对称轴方程
(2)① ；② 0．
【详解】（1） ，
的最小正周期为 ， ， ，解得 ，
故 ；
由 ，解得 的对称轴方程 .
（2）① ，即 ，
关于 的方程 在区间 上有相异两解 ， ，
则函数 与 的图象在区间 上有两个交点，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
在 上的图象如图：
由图象可知，若函数 与 的图象在区间 上有两个交点，
则 ，
故实数 的取值范围为 ；
②由（1）和正弦函数的对称性可知， 与 关于直线 对称，则 ，解得 ，
故 ．
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期．
(2)求 的单调递增区间．
(3)若关于 的方程 在 上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
(2) ．
(3)
【详解】（1）函数
故函数的最小正周期为 ．
（2）令 ，解得 ，
∴单调递增区间为 ．
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的值域为 ，
关于 的方程 在 上有解，
则关于 的方程 在 上有解，
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，函数
， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数 ， 有四个不同的零点？若存在，求出m的取值
范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）
，
当 时， ，
则 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
令 ，则 ，
则 ，对称轴 ，
①当 ，即 时，当 时，函数取得最小值，此时最小值 ，得 （舍），
②当 ，即 时，
当 时，函数取得最小值，此时最小值 ，得 或 （舍去），
③当 ，即 时，
当 时，函数取得最小值，此时最小值 ，得 （舍），
综上：若 的最小值为﹣1，则实数 ．
（3）令 ，得 或 ，
∴方程 或 在 上有四个不同的实根，
则 ，解得 ，则 ，
即实数m的取值范围是 ．
16．（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数
.
(1)求 的单调递增区间；
(2)方程 在 上的两解分别为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为： .
（2）设 ，则 ，
由于正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
由 ，得 ，
因为方程 在 上的两解分别为 ，
则 ，必有 ，
所以， ，同理 ，
，
由于 且 ，则 ，
由 ，可得 .
17．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间的距离为
.
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求 的单调递减区间；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，试确定 的值，并求
的值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
(3) ，
【详解】（1）由题意得 ，
因为 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
所以 ，
，
又由 为奇函数，可得 ，
，此时 为奇函数，符合题意，
函数 ；
（2）令 ，解得 ，
则 的单调递减区间为： ，
又 ，可得 的单调递减区间为 ；
（3）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，则 ，
故 ，即 ，
，可得 ，设 ，其中 ，即 ，
结合正弦函数 的图象：
可得方程 在区间 有5个解，即 ，
其中 ，
即 ，
，
解得 ，
所以 .
