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专题03 函数的概念及性质
能力提升检测卷
时间：90分钟 分值：100分
一、 选择题（每小题只有一个正确选项，共5*5分）
1．函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2．设函数f(x)= 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当 时， ，
由 得 ，
所以 ，可得： ，
当 时， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，即 ，
综上可知： 或 .
故选：C
3．已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，若函数
有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或1
【答案】A【详解】解：已知 ，①
且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，
则 ，
得： ，②
①+②得： ，
由于 关于 对称，
则 关于 对称，
为偶函数，关于 轴对称，
则 关于 对称，
由于 有唯一零点，
则必有 ， ，
即： ，
解得： 或 .
故选：A.
4．设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为当 时， ，所以 . 又因为 是定
义在R上的奇函数，所以 . 故应选A.5．已知定义域为R的函数f(x)在 上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
【答案】D
【详解】由函数图象平移规则可知，
函数 由 向右平移8个单位所得，
所以函数 关于 对称，
因为 在区间 上递减，在 上递增，
所以 ，
，
故选D.
二、填空题（每小题只有一个正确选项，共5*5分）
6．已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
7．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，
设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污
水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【详解】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③8．已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【详解】 有两个零点，
有两个零点，即 与 的图象有两个交点，
由 可得， 或
①当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意
②当 时，由于函数 在定义域 上单调递增，故不符合题意
③当 时，函数 单调递增，故不符合题意
④ 时， 单调递增，故不符合题意
⑤当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 使得， 与 有两个交点综上可得， 或
故答案为：
9．已知 若存在 ，使得 成立
的最大正整数 为6，则 的取值范围为________.
【答案】
【详解】原问题等价于 ，
当 时，函数图象如图
此时 ，则 ，解得： ；
当 时，函数图象如图
此时 ，
则 ，解得： ；
当 时，函数图象如图
此时 ，
则 ，解得： ；
当 时，函数图象如图此时 ，
则 ，解得： ；
综上，满足条件 的取值范围为 .
故答案为：
10．已知关于 的不等式 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围为_________．
【答案】
【详解】解：由题可知，不等式 对于任意 恒成立，
即 ，
又因为 ， ，
对任意 恒成立，
设 ，其中 ，
由不等式 ，可得： ，
则 ，
当 时等号成立，
又因为 在 内有解，
，
则 ，即： ，
所以实数 的取值范围： .故答案为： .
三、 主观题（共5小题，共50分）
11．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
12．已知函数 .
(1)当 时，试写出函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在 上的最大值.
【答案】(1)单调递减区间为 和 ，单调递增区间为
(2)【解析】
（1）
当 时， ,
所以 ,
当 时， ，其图象开口向上，对称轴方程为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，其图象开口向下，对称轴方程为 ，
所以 在 上单调递减.
综上可知， 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 .
（2）
由题意知 ， ，作出大致图象如图：
易得 ， ，
所以可判断 在 上的最大值在 ， ， 中取得.当 时， .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
所以，若 ，则 ；
若 ，则 .
综上可知，在区间 上，
.
13．已知幂函数 在 上为减函数.
(1)试求函数 解析式；
(2)判断函数 的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1)
(2)奇函数，其单调减区间为 ，
【解析】
（1）
由题意得， ，解得 或 ，
经检验当 时，函数 在区间 上无意义，
所以 ，则 .
（2）
， 要使函数有意义，则 ，即定义域为 ，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当 时，根据幂函数的性质可知 在 上为减函数，
函数 是奇函数， 在 上也为减函数，
故其单调减区间为 ， .
14．已知 ，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；
（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【答案】（Ⅰ） ．（Ⅱ）（ⅰ） ．（ⅱ） ．
【详解】试题分析：（Ⅰ）分别对 和 两种情况讨论 ，进而可得使得等式
成立的 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数 ，
的最小值，再根据 的定义可得 的最小值 ；（Ⅱ）分别对 和
两种情况讨论 的最大值，进而可得 在区间 上的最大值 ．
试题解析：（Ⅰ）由于 ，故
当 时， ，
当 时， ．
所以，使得等式 成立的 的取值范围为 ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数 ， ，
则 ， ，
所以，由 的定义知 ，即
（ⅱ）当 时，
，
当 时， ．
所以， ．
15．已知定义域为 的函数 满足对任意 ，都有
．
（1）求证： 是偶函数；
（2）设 时 ，
①求证： 在 上是减函数；
②求不等式 的解集．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析, ②
【详解】（1）取 得 ，即 ，
取 得 ，即 ，
取 ， 得 ，即 是偶函数．（2）①设 ，则 ，
由 时， 得 ，
则 ，
即 在 上为减函数，
②由 是偶函数且在 上是减函数，
则不等式 等价为 ，
即 得 ，得 得 ，
即 或 或 ，即不等式的解集为 .
