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专题 03 导数及其应用
b
1．【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则f' (2)=( )
x
1 1
A．-1 B．- C． D．1
2 2
31 1 1
2．【2022年全国甲卷】已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则( )
32 4 4
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
1
3．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b= ，c=-ln0.9，则(
)
9
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
4．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=x3-x+1，则(
)
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
5．【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax-ex2 (a>0且a≠1)的极
1 2
小值点和极大值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
6．【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是________________．
7．【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
8．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点
(x ,f (x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．
1 1
(1)若x =-1，求a；
1
(2)求a的取值范围．
ex
9．【2022年全国甲卷】已知函数f (x)= -lnx+x-a．
x(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x ,x ，则环x x <1．
1 2 1 2
1
10．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax- -(a+1)lnx．
x
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
11．【2022年全国乙卷】已知函数f (x)=ln(1+x)+axe-x
(1)当a=1时，求曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
12．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
13．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=xeax-ex．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；
1 1 1
(3)设n∈N*，证明： + +⋯+ >ln(n+1)．
√12+1 √22+2 √n2+n
14．【2022年北京】已知函数f(x)=exln(1+x)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)设g(x)=f' (x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；
(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
e
15．【2022年浙江】设函数f(x)= +lnx(x>0)．
2x
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x ,f (x )),(x ,f (x )),(x ,f (x ))处的切线
1 1 2 2 3 3都经过点(a,b)．证明：
1(a )
(ⅰ)若a>e，则0<b-f(a)< -1 ；
2 e
2 e-a 1 1 2 e-a
(ⅱ)若0<a<e,x <x <x ，则 + < + < - ．
1 2 3 e 6e2 x x a 6e2
1 3
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)
1．(2022·全国·南京外国语学校模拟预测)设函数 在R上存在导数 ，对于任意的
实数 ，有 ，当 时， ，若
，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))已知函数 ，若对任
意实数 ，不等式 总成立，则实数 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．(2022·江苏无锡·模拟预测)已知 ，则 ， ， 的大小为
( )
A． B． C． D．
4．(2022·福建·三明一中模拟预测)己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则( )
A． B． C． D．
5．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知函数 ，则曲线 在
点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．(2022·湖北·模拟预测)若过点 可作曲线 三条切线，则( )
A． B． C． D．
7．(2022·全国·模拟预测(理))若关于 的方程 有两个不相等
的实数根，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知函数 ，若 时， 在
处取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．(2022·河南开封·模拟预测(理))若关于x的不等式 对 恒成立，
则实数a的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知a，b为正实数，直线 与曲线相切，则 的最小值为( )
A．8 B．9 C．10 D．13
11．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))已知函数
．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围．
12．(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知函数 ，曲线 在
处的切线与直线 垂直.
(1)设 ，求 的单调区间；
(2)当 ，且 时， ，求实数 的取值范围.
13．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))已知函数 (e为自然对数的
底数)有两个零点．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： ．
14．(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
15．(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))已知函数
.(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)已知 ， 是函数 的两个不同的极值点，且 ，若不等式 恒成立，
求正数 的范围.
