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专题 03 导数及其应用（选填题）（文科专用）
b
1．【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值−2，则f' (2)=
x
（ ）
1 1
A．−1 B．− C． D．1
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知f (1)=−2，f'(1)=0即可解得a,b，再根据f'(x)即可解出．
【详解】
a b
因为函数f (x)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f (1)=−2，f'(1)=0，而f'(x)= − ，
x x2
2 2
所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f'(x)=− + ，因此函数f (x)在(0,1)上递
x x2
1 1
增，在(1,+∞)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'(2)=−1+ =− ．
2 2
故选：B.
2．【2021年乙卷文科】设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是
变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近
都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.故选：D
【点睛】
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
3．【2019年新课标2卷文科】曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当 时， ，即点 在曲线 上．
则 在点 处的切线方
程为 ，即 ．故选C．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明
已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，
然后列出切线方程．
4．【2020年新课标1卷文科】曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程
为______________.
【答案】
【解析】
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，
得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
5．【2020年新课标3卷文科】设函数 ．若 ，则a=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的
值
【详解】
由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.6．【2018年新课标2卷文科】曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
【点睛】
求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出
切线的点斜式方程；③化简整理.
