专题04一元函数的导数及其应用（测）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_专题04导数

专题04 一元函数的导数及其应用 能力提升检测卷 时间：90分钟 分值：100分 一、 选择题（每小题只有一个正确选项，共7*5分） 1．已知曲线 与 的两条公切线所成角的正切值为 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 与 互为反函数，故图像关于 对称， 设一条切线与两个函数图像分别切于 两点，且两条切线交点为 ， 如图， 设 ，则 ，即 ，解得 或-3（舍去）， 故 ，易求得曲线 的斜率为2的切线方程为 ， 故曲线 的斜率为2的切线方程为 ，的斜率为2的切线方程为 ，故曲线 的斜率为2的切线方程为 ， 所以 ，则 ，则 .故A，B，D错误. 故选：C. 2．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ ， ， ， ∴ ， 对于函数 ， ， 令 ， ，则 ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ，即 ， 在 上单调递减， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ . 故选：B. 3．已知函数 及其导函数 的定义域都为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由 为偶函数知， ，即 ， 即函数 关于 对称，则 ， 由 是奇函数知， ，即函数 关于点 对称， 则 ，且 ， 所以 ，即 ，即函数 的周期是4， 则 ； 又 所以 ，则 ，即 所以 ，即导函数 关于点 对称，且 . 由 ，即导函数 的周期是4， 则 ； 所以 . 故选：D. 4．曲线 在 处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D．【答案】B 【详解】因为 ，所以 ， ， 所以曲线 在 处的切线的斜率为 .故A，C，D错误. 故选：B. 5．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【详解】将 代入 ，得 ， 易知直线 的斜率为8． 因为 ，所以 ，所以 ． 故选：B． 6．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已 知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数 在一点的邻域中的值，常见的公式有： ； .则利用泰勒公式估计 的近似值为（ ） （精确到 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，求导可得 ，因为 ， ， ， ， 所以 ， 故选：B. 7．已知 ， ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ . 故选：A． 二、填空题（每小题只有一个正确选项，共3*5分） 8．设曲线 在点 处的切线与x轴的交点的横坐标为 ，则 __________． 【答案】 【详解】解：由 得 ，所以切线的斜率为 ， 所以在点 处的切线方程为 ， 令 ，解得 ，即 ， 所以 .故答案为： . 9．曲线 的所有切线中，斜率最小的切线的方程是__________． 【答案】 【详解】解：由题意 ， 所以 时， ，又 时， ， 所以所求切线的方程为 ，即 ． 故答案为： ． 10．已知函数 为偶函数，则函数 的零点个数为______． 【答案】2 【详解】由 为偶函数，得 ，即 ， 所以m－1＝0，即m＝1，所以 ，则 ， 易知 在（0，1）上单调递减，在 上单调递增， 所以 的极小值，也是最小值，为 ． 又因为 ，且 的图象在 上连续不断，所以 在 上有唯一零点； 又因为 ，且 的图象在（0，1）上连续不断，所以 在（0，1）上有唯一零点． 综上所述， 有且仅有2个零点． 故答案为：2. 三、 主观题（共5小题，共50分） 11．设函数 ，若 为奇函数，求： (1)曲线 在点 处的切线方程； (2)函数 的极大值点．【答案】(1) (2) 【解析】（1） 因为函数 为奇函数，所以 ， 从而得到 ，即 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ． （2） ， 由 ，得 ，由 ，得 或 ， 所以函数在 上是严格减函数，在 上是严格增函数， 所以函数的极大值点是 ． 12．已知函数 ．若 在 上的极值点为 ，求证： ． 【答案】证明见解析 【详解】证明：由 ，得 ． 因为 在 上的极值点为 ， 所以 ， 得 ， 从而， 所以 ． 13．已知函数 ，其中 是自然对数的底数. (1)设 的极小值为 ，求 的最大值； (2)若存在 使得 ，且 ，求 的取值范围. 【答案】(1)2； (2) . 【解答】 （1） 因为 ， 所以 在 上单调递增， 又 ，所以存在唯一 ，使 ，即 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的极小值为 ， 所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 单调递增， ， 上单调递减， ∴ ， 即 的最大值为2； （2） 不妨设 ， 所以关于 的方程 有正实数解， 所以 ， 即 有正实数解， 设 ， 则 ， ， 所以 在 上单调递增， 所以 ， ①当 时， ，所以 单调递增， 所以 ，不合题意； ②当 时，存在 ，使得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以存在 ，使得 ，符合题意； 综上， 的取值范围为 . 14．已知函数 (1)若曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，求a的值； (2)求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)1 (2)当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；当 时，函数 在区间 上的最小值 为 . 【解答】 （1） 解： 曲线 在点 处的切线垂直于直线 ， 又直线 的斜率为1，函数 的导数为 ， （2） 解： ①当 时，在区间 上 此时函数 在区间 上单调递减， 则函数 在区间 上的最小值为 . ②当 即 时，在区间 上 ，此时函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上的最小值为 . ③当 ，即 时， 在区间 上 ，此时函数 在区间 上单调递减， 在区间 上 ，此时函数 在区间 上单调递增， 则函数 在区间 上的最小值为 . ④当 ，即 时， 在区间 上 此时函数 在区间 上单调递减， 则函数 在区间 上的最小值为 . 综上所述，当 时，函数 在区间 上的最小值为 ，当 时，函数 在区间 上的 最小值为 15．已知函数 . (1)当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若关于 的方程 恰有四个不同的解，求 的取值范围. 【答案】(1)1； (2) . 【解答】 （1）当 时， ， 所以 ， 又 ， 所以切线的斜率 ， 则切线方程为 ， 该切线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ； （2） 由 可得， ，即 ， 令 ，则 ， ∴ 或 ， 设 ，则 ， 当 变化时， 变化如下， 0 2 0 0 极小值0 极大值 函数 的图象如图，要使方程 恰有四个不同的解， 因为 与函数 的图象有一个交点，则 与函数 的图象有三个交点， ∴ ，即 ， ∴ 的取值范围为 .