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专题 04 三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））若“ ，使得 ”为假命题，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出 ，从而求出实数a的取值范围.
【详解】
因为“ ，使得 ”为假命题，
则“ ，使得 ”为真命题，
因为 ，
所以实数a的取值范围是
故选：D
2．（2022·河北邯郸·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当 时， ，当 时，即 时， 取最大值1，当
，即 时， 取最小值大于 ，故值域为故选：C
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
故选：B.
4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知条件可得出 ，利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简可得结果.
【详解】
由已知可得 ，
则原式 ．
故选：A.
5．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理）） 的内角A，B，C的对边a，b，c为三个连续自然数，
且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
先根据题意及正弦定理可得到 ，再根据余弦定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】
∵a，b，c为三个连续自然数，∴ ， ，
由正弦定理可得 ，即 ，，，∴ ，由余弦定理可得
，解得 .
故选：A
6．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得： ,
即： ，
即： ,
所以 ,
故选：C
7．（2022·上海长宁·二模）已知函数 满足： ． 若函数 在区间 上
单调，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用辅助角公式化简，结合已知可求解析式，然后由 可知 等于函数图象对称中心横
坐标，求出函数对称中心可得.
【详解】
，
因为 ，所以当 时， 取得最大值，即
所以 ，即因为 ，所以 的中点是函数 的对称中心，
由 ，得
所以 ，
所以
易知，当 时 取得最小值 .
故选：C
8．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数
在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【分析】
根据给定条件，求出 的关系式，再求出函数 含有数0的单调区间即可判断作答.
【详解】
因直线 是曲线 的一条对称轴，则 ，即 ，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
而函数 在区间 上不单调，则 ，解得 ，
所以 的最小值为11.
故选：C
9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数 （a，b， ）的部分图象
如图所示，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B【分析】
整理 ，且 ，由图中最值可得 ，利用相邻对称轴的距离求
得 ，根据对称轴求得 ，进而可得 ，即 ，即可求解.
【详解】
由题， ， ，
由图可知， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，则 ，
因为对称轴为 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B
10．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得 ．
【详解】
由 ，边化角得 ，
又 ，所以 ，
展开得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
11．（2022·全国·高考真题（理））设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
12．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A二、填空题
13．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知 ，则
___________.
【答案】
【分析】
依据题意可知 ，然后代入计算即可.
【详解】
由
所以
则 ，
所以
故答案为：
14．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在 中，角 ， ， 的对边分
别为 ， ， ，若 的面积等于 ，且 ，则 __________.
【答案】2
【分析】
利用面积公式和余弦定理代入整理得 ，再利用正弦定理进行边化角代入化简．
【详解】
由题意可得： ，整理得：
∵ ，则
由正弦定理 ，可得：
∴
故答案为：2．
15．（2022·重庆八中模拟预测）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，
若 ，则 的取值范围为_______．【答案】
【分析】
由题可得 ，将 用含 的式子表示，然后根据角 的范围，求 的取值范围.
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∵又 ，且 都为锐角，故 ， ，
又 ，
所以
又 ，所以 ，
得 ， ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
16．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数 ，其中 ， ，
恒成立，且 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是______________．
【答案】
【分析】
确定函数的 ，由此可得 ，再利用 在区间 上恰有 个
零点得到 ，求得答案.
【详解】由已知得： 恒成立，则 ，
，
由 得 ，
由于 在区间 上恰有3个零点，
故 ，则 ， ，
则 ,
只有当 时，不等式组有解，此时 ，故 ，
故答案为：
