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解密 04 讲：函数及其性质
【练基础】
一、单选题
1．（2018·全国·高三课时练习（文））已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高三课时练习（理））已知 是定义在R上的奇函数，当 时 (m为常数)，则
的值为( )
A．4 B．6 C． D．
4．（2021·全国·高三专题练习（理））设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2 x，0 x1
fx
1
5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 ，x＞1 ，若关于 的方程 恰有
x
两个互异的实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．6．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三开学考试（理））若函数 在R上单调递增，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·全国·高考真题（理））函数 在 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知定义域为 的函数 满足 ，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 是奇函数 D．二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足： ，且当0≤x≤2时， ，则下列
说法正确的是（ ）
A．－2≤x≤0时，
B．点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心
C．f(x)在区间[－10，10]上有10个零点
D．对任意 ，都有
10．（2021·福建· 宁化滨江实验中学高三期中）下列函数中是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有 ，当
时， ，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
12．（2020·全国·模拟预测）设函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，，则下列说法正确的是（ ）
A．4是函数 的周期
B．当 时，
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象关于点 对称
三、填空题
13．（2007·重庆·高考真题（理））若函数f(x) = 的定义域为R，则 的取值范围为_______.
14．（2021·广东·高州一中高三阶段练习）已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒
成立，当 时，f(x)=2x，则f(2021)=_____________.
15．（2021·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，
f（3x-1）＞f（2）的解集是________．
16．（2022·全国·高三专题练习（文））若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 的取值范
围为___________.
四、解答题
17．（2019·全国·高三专题练习（文））设 ，且 .（1）求实数 的值及函数 的定义域；
（2）求函数 在区间 上的最小值.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 定义在 上有 恒成立，且当 时，
.
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）求函数 的值域.
19．（2022·广东·小榄中学高三阶段练习）已知函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)已知 ，求 的取值范围．
20．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））已知函数 是偶函数.当 时，
.
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
21．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（文））设函数 ．(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最大值为m，实数a，b满足 ，求 的最小值．
22．（2022·福建省漳州市第八中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线
对称.
(1)求证： 是周期为4的周期函数；
(2)若 ，求 时，函数 的解析式.
【提能力】
一、单选题
1．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·河北定州中学高三阶段练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·南漳县第二中学高三阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市第四中学高三阶段练习）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·山西省新绛中学校高三阶段练习（文））已知定义在R上的函数 为偶函数,记
,则 ,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北·安新县第二中学高三阶段练习）函数 对任意 ，都有 的图形关于 对称，且 则 （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
8．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数 满足 ，
且 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 的定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 的值域为
D．函数 在 上的值域为
10．（2022·山东省泰安英雄山中学高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数 对 都有 ，
则下列判断正确的是（ ）
A． 是周期函数且周期为4 B． 关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上至少有5个零点
11．（2021·江苏·无锡市第六高级中学高三阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数
学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ．已知函数 ，
则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
12．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）函数 对 恒成立，则
的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
三、填空题
13．（2019·江苏·南通一中高三阶段练习）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为________.
14．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数 若 存在最小值，a
的取值范围___________.
15．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若对任意 ，存在
，满足 ，则实数 的取值范围为______．
16．（2014·安徽·高考真题（文））若函数 是周期为4的奇函数，且在 上的解析式为，则 ___________
四、解答题
17．（2021·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（文）） .
（Ⅰ）解不等式： ；
（Ⅱ） 最大值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
18．（2022·河南·郑州励德双语学校高三阶段练习（文））设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒
有 ．当 时， ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)计算： ．
19．（2022·陕西·汉阴县汉阴中学高三阶段练习（理））已知 定义域为 ,对任意 , 都有
,当 时, , .
（1）求 ;
（2）试判断 在 上的单调性,并证明;
（3）解不等式: .20．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数 ，其中 且 ．
(1)求 的定义域及其图象的对称轴方程；
(2)若 的最大值为2，求a的值．
21．（2020·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数 （ ，且 ），且
.
（1）求 的值，并写出函数 的定义域；
（2）设函数 ，试判断 的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .（注：e=2.71828…是自然对数的底数）
(1)判断并证明f（x）的单调性和奇偶性；
(2)解不等式 .
