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专题 04 基本不等式
目录
题型一： 直接利用基本不等式.......................................................................................................3
题型二： 拼凑法...............................................................................................................................4
题型三： 常数代换...........................................................................................................................6
题型四： 变量分离...........................................................................................................................8
题型五： 消元法.............................................................................................................................11
题型六： 和积转化.........................................................................................................................12
题型七： 换元法.............................................................................................................................14
题型八： 恒成立问题.....................................................................................................................16
题型九： 应用题.............................................................................................................................18
知识点总结
知识点一、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
知识点二、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点三、算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数称为 a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数．基本不等式
可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点四、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是 2 ( 简记：积定和最小 ) ．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是 ( 简记：和定积最大 ) ．
【常用结论与注意点】
1.常用的几个结论
(1)若x≠0，则≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
(2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．
(3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x＝±时，等号成立．
(4)若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝
(＋)2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一
定要保证它们等号成立的条件一致.
例题精讲
题型一：直接利用基本不等式
【要点讲解】利用基本不等式：≤进行求解
【例1】 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由已知函数 ，
， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
当 时，函数 有最小值是4，
故选： ．
【变式训练1】函数 的最小值为
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由题意 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值为20，
故选： ．
【变式训练2】已知 ，则 的最小值为
A． B．2 C． D．4【解答】解：由 ， ，
当且仅当 ，即 时，取得等号，
故 的最小值为 ，
故选： ．
题型二：拼凑法
【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方
法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵
活变形,拼系数、凑常数是关键.
【例2】已知 ，那么函数 的最小值是
A．5 B．6 C．4 D．8
【解答】解：已知 ，则 ，
函数 ，
当且仅当 时“ ”成立，
故函数的最小值是6，
故选： ．
【变式训练1】若 ，则 的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：因为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选： ．【变式训练2】已知函数 ，
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最小值3 D． 有最大值3
【解答】解： ， ，
，当 ，即 时，取等号，
有最小值3．
故选： ．
【变式训练3】设实数 满足 ，函数 的最小值为
A． B． C． D．6
【解答】解： ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
函数 的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练4】已知 ， 的最大值是 1 ．
【解答】解：由 ，可得
，
当且仅当 ，即 时，取得最大值1．
故答案为：1．题型三：常数代换
【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为 1,将所求式子乘以1,1再换
成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式和分式时,把所求的式子常构
造成 的形式.
【例3】已知实数 ， ， ，则 的最小值为
A．100 B．300 C．800 D．400
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ，且 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，可得 ，
又由 ，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练2】若正数 ， 满足 ，则 的最小值是A．1 B． C．9 D．16
【解答】解： 正数 ， 满足 ，
当且仅当 即 且 时取等号．
故选： ．
【变式训练3】已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：因为 ， ，且 ，
则 ，当且仅当 且 ，
即 ， 时取等号，
故答案为： ．
【变式训练4】若正实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为正实数 ， 满足 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时取等号．
故选： ．
【变式训练5】若正数 ， 满足 ，则 的最小值是 5 ．
【解答】解： ， ， ，
，
，
当且仅当 即 时取等号，
故答案为：5．
【变式训练6】正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ， ，
，
（当且仅当 时取等号），
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练7】已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ，
， ，
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为 ．
故答案为： ．
题型四：变量分离
【要点讲解】变量分离法就是把分式形式的函数分离出两项的和且其积是定值的形式,然后
用基本不等式求最值.通常适合函数的模型是 或
【例4】若 ， ， ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，
则 ， 当 且 仅 当
时等号成立，
则 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 ，
故选： ．
【变式训练1】已知 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：因为 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
则
当且仅当 且， 时取等号，此时 的最小值 ．
故答案为： ．
【变式训练2】若 ， ， ，则 的最小值为 8 ．
【解答】解： ， ， ，
则 ，
当且仅当 且 时，取得最小值8，
故答案为：8．
【变式训练3】已知 ， ， ，则 的最小值为
A． B．12 C． D．16
【解答】解：由 可得，
当且仅当 时，等号成立，即 ．所以 的最小值为 ，
故选： ．
【变式训练4】已知正实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为
．
【解答】解：正实数 ， 满足 ，且 ，
可得 ，解得 ，
则 ，
由
，
当且仅当 时，取得等号，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式训练5】已知 ， ，则 的最小值为 4 ．
【解答】解： ， ，
则 ，（当且仅当 即 时
取等号），，当且仅当 即 时取等号，
故 ，当且仅当 且 即 ， 时取等号，此时取得最小值
4．
故答案为：4
题型五：消元法
【要点讲解】消元法就是将两个变元消去一个代入所求式,然后利用分离常数法求最值
【例5】已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ，且 ，
， ，
，当且仅当 时取“ “，
故答案为： ．
【变式训练1】若 ， ， ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ， ， ，
则 ， 当 且 仅 当 ，
时取等号．
的最小值为 ．故答案为： ．
【变式训练2】已知 ， ，满足 ，则 的最小值是 ．
【解答】解：因为 ， ，
则由 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】设 ， ，若 ，则 的最小值是 ．
【解答】解： ， ，若 ，
，
，
当且仅当 ，又 ，即 ， 时等号成立，
故答案为： ．
题型六：和积转化
【要点讲解】和积转化法仅适用于将已知等式中的和或积通过基本不等式转化为所求式子
中的和或积,然后解不等式以达到目的,此方法虽然没凑出定值,但凑出所求式子是其根本思
想
【例6】已知 ， ， ，则 的最小值是A．3 B．4 C． D．
【解答】解：考察基本不等式 ，
整理得
即 ，又 ，
所以
故选： ．
【变式训练1】若实数 ， 满足 ，则 的最大值是 ．
【解答】解：
，整理求得
的最大值是
故答案为：
【变式训练2】若实数 ， 满足： ， ， ，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，取等号，则 ，即
可得 ，则 ，
故选： ．
【变式训练3】已知 ， ， ，则 的最小值为 6 ．
【解答】解：由于 ， ， ，
则 ，
，
当且仅当 时，取“ ”
则此时 ，
由于 ， ，解得 ，
故
故答案为6．
【变式训练4】已知 ， ， ，则 的最小值为 4 ．
【解答】解：考察基本不等式 （当且仅当 时取等
号）
整理得
即 ，又 ，
所以 （当且仅当 时即 ， 时取等号）
则 的最小值是4．故答案为：4．
【变式训练5】已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ，
的最大值为 ．
【解答】解： ， ，
，
（当且仅当 ，即 时，等号成立），
故 的最小值为 ，
，
（当且仅当 ，即 ， 时，等号成立），
，即 ，
解得， 或 （舍去），
故 的最大值为 ，
故答案为： ， ．
题型七：换元法
【要点讲解】换元法实质是把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、高次问题低次化
【例7】已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，此时 的最大值为 ．故选： ．
【变式训练1】已知 ， 都是正数，则 的最小值是 2 ．
【解答】解：设 ， ，
则 ， ， ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为：2．
【变式训练2】设正实数 ， 满足 ， ，则 的最小值为 8 ．
【解答】解：由基本不等式可得
．
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：8．
【变式训练3】已知实数 ， ， ，则 的最小值是 ．
【解答】解： ，
，且 ， ，
，当且仅当 ，
即 时取等号，
的最小值是 ．
故答案为： ．【变式训练4】函数 的最小值是 ．
【解答】解：函数
．
当且仅当 ，即有 ，取得等号．
则函数的最小值为 ．
故答案为： ．
题型八：恒成立问题
【要点讲解】大于最大，小于最小
【例8】若不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：根据题意， ，则 ，
则
当且仅当 时等号成立，
则 的最小值为9，若不等式 对 恒成立，即式 恒成立，必有 恒成立，
故实数 的最大值为9；
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为
A．9 B．12 C．16 D．10
【解答】解：由已知 ， ，不等式 恒成立，所以
恒成立，转化成求 的最小值，
，所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ，若不等式 恒成立，则正数 的最小
值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：因为 ， ，正数 ；
，
因为不等式 恒成立，
所以 ，
即 ，
解得 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练3】若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则
实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为两个正实数 ， 满足 ，
所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时取等
号，
所以 ，
因为不等式 恒成立，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
【变式训练4】已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取
值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
．， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
．
故选： ．
题型九：应用题
【例9】某城市有一直角梯形绿地 ，其中 ， ，
．现过边界 上的点 处铺设一条直的灌溉水管 ，将绿地分成面积相等的
两部分．
（1）如图①，若 为 的中点， 在边界 上，求灌溉水管 的长度；
（2）如图②，若 在边界 上，求灌溉水管 的最短长度．
【解答】解：（1）因为 ， ， ，
所以 ， （2分）
取 中点 ，则四边形 的面积为 ，
即 ，
解得 ， （6分）所以 ．
故灌溉水管 的长度为 ． （8分）
（2）设 ， ，在 中， ，
所以在 中， ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
又 ，所以 ，即 ． （12分）
在 中，由余弦定理，得 ，
当且仅当 时，取“ ”．
故灌溉水管 的最短长度为 ． （16分）【变式训练1】如图，某生态园将一三角形地块 的一角 开辟为水果园种植桃树，
已知角 为 ， ， 的长度均大于200米，现在边界 ， 处建围墙，在
处围竹篱笆．
（1）若围墙 ， 总长度为200米，如何围可使得三角形地块 的面积最大？
（2）已知 段围墙高1米， 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用
了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
【解答】解：设 米， 米，则
（1） ， 的面积 ，
当且仅当 时取等号；
（2）由题意得 ，即 ，
要使竹篱笆用料最省，只需 最短，所以
所以 时， 有最小值 ，此时 ．
课后练习一．选择题（共8小题）
1．（2023•民勤县校级开学）函数 的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．3
【解答】解：因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选： ．
2．（2023春•高坪区校级期中）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A． B．2 C． D．6
【解答】解：因为正数 ， 满足 ，即 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号．
故选： ．
3．（2023•永定区校级开学）已知 ，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： ， ，
，当且仅当 ，即 时，
等号成立，
的最小值为5．故选： ．
4．（2022秋•深圳校级期末）若 ， ， 且 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，
因 为
当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
5．（2022秋•滨州期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．1
【解答】解：因为 ， ，且 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为4．
故选： ．
6．（2023•浙江模拟）已知 ，则 的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：因为 ，
所以由 ，当且仅当 时取等号，即 时取等号，
故选： ．
7．（2023春•鼓楼区校级期中）实数 ， 满足 ， ，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为 ，
所以 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
故选： ．
8．（2022秋•吉水县校级期末）已知： ， ， ，则下列说法正确的是
A． 有最大值1 B． 有最小值1
C． 有最大值4 D． 有最小值4
【解答】解：因为 ， ， ，所以有 ，当且仅当 时
取等号，因此 正确， 错误；
因为 ， ， ，
所以有 ，
当且仅当 时取等号，即当且仅当 时取等号， 不正确，
当 时，显然有 ， 不正确，
故选： ．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋•上城区校级期末）下列说法正确的是A．若 ，则
B．若 ，则 恒成立
C．若正数 ， 满足 ，则 有最小值
D．若实数 ， 满足 ，则 没有最大值
【解答】解：对于 ， 时， ，所以选项 错误；
对于 ， 时， ，所以 恒成立，选项 正
确；
对于 ，因为正数 ， 满足 ，且 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 ，解得 ，所以 ，所以 有最小值，选项 正确；
对于 ，因为 ，所以 ， ，解得 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，有最大值，选项 错误．
故选： ．
10．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．已知 ，则 的最小值为3
B．当 时， 的最小值为4
C．已知， ， ， ，则 的取值范围是 ，
D．已知 ， ， ，则 的最小值为8
【解答】解： ，则 ，当且仅当 时取等号， 正确；
当 时， ， ，
在 ， 上单调递减， 时取得最小值5， 错误；
， ， ，当且仅当 时取等号，
解得 ， 正确；
， ， ，当且仅当 且 ，即 ，
时取等号，
解得 ，
则 的最小值为8， 正确．
故选： ．
11．（2022秋•官渡区期末）已知 ， ，且 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 项中， ， 为负数，不成立；
项中， ，则 ， 项正确；
项中， ，则 ，当且仅当 时取等号；
项中， ， 为负数，例如 ， ，不成立；
故选： ．
12．（2023•南京二模）若实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．【解答】解：对选项 ，故 ，正确；
对选项 ，正确；
对选项 ：取 ， ，满足 ，此时 不成立，错误；
对选项 ：取 ， ，满足 ，此时 ，错误．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
13．（2023•凯里市校级三模）正数 ， 满足 ，若不等式 恒成立，
则实数 的取值范围 ．
【解答】解：因为不等式 恒成立，所以 ，
由 ， ，可得 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，解得 ．
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
14．（2023•黄浦区模拟）若关于 x 的不等式 x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为 R，则
的最小值为 8 ．
【解答】解：因为不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，
则 ，
因为b＞1，所以b﹣1＞0，所 以 ＝
．
当且仅当 ，即b＝3时，取到等号．
故答案为：8．
15．（2023•崇明区二模）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值等于 4 ．
【解答】解： ，当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2022秋•成都期末）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为
．
【解答】解：因为 ， 时取等号，
则 ，得 ，
可得 ，
即得最小值为 ，
故答案为： ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•定州市期中）已知正实数 ， 满足 ．求
（1） 的最小值；
（2） 的最小值；
（3） 的最小值．【解答】解：（1）因为 ， 是正数， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
故 的最小值为 ；
（2）由 可得 ，即 ，
所以 ， ，
又 ，因为 ， ，
所以
当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为25．
（3）由 可得 ，所以 ，
所以 ， ，
所以
当且仅当 ， 时等号成立，
故 的最小值为 ．
18．（2022秋•川汇区校级期末）（1）已知 ，求 取得最大值时 的值？
（2）已知 ，求 的最大值？（3）函数 的最小值为多少？
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最大值1；
（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时函数取得最小值 ．
