文档内容
专题 04 指对幂函数及函数与方程
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 指数幂与对数
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且 。
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（ ，且 ）： ；（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
① ． ② ． ③
．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log N，其中a
a
叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对数式。
a
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝log N(a>0，且a≠1)；
a
①log 1＝0，②log a＝1，③alog N＝N，④ log aN＝N (a>0，且a≠1).
a a ⇔a a
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则：①log (M·N)＝log M＋log N ②log＝log M－log N ③log Mn＝nlog M(n∈R)
a a a a a a a a
换底公式：①log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
a
选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。
②换底公式的三个重要结论：log b＝； log bn＝log b； log b·log c·logd＝log d.
a am a a b c a
知识点2 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
1
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
y=x2
的图象(如图)．2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点
时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
2、二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
知识点3 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域
是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
a>1 01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
【典例1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为 ，由于函数过点 ，故 ，解得 ，
该幂函数的解析式为 ；故选：B
【典例2】（23-24高三上·广东佛山·月考）当 时，幂函数 为单调递减函
数，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知 或 ，
当 时， ，此时 在第一象限是单调递减函数，符合题意；
当 时， ，此时 在第一象限是单调递增函数，不符合题意；综上： .
【典例3】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数 的图象过点 ，且
，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 的图象过点
所以 ，解得
所以 在定义域 上递减，故 ，解得
三、指数函数的图象与性质
指数函数的图象需要注意以下几个特征：
（1）指数函数的图象所过的关键点为 ， ， ；
（2）函数图象与坐标轴的交点位置；
（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
【典例1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的值
为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为函数 是奇函数，
所以 ，解得 ，
又 ，所以当 时，函数为增函数，当 时，函数为减函数，
因为 ，所以 ，故 .故选：B
【典例2】（23-24高三上·山西晋中·月考）在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】当 时，对应的图象可能为选项A；当 时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.
【典例3】（23-24高三上·福建莆田·月考）函数 且 的图象恒过定点 ，若
且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】函数 且 的图象恒过定点 ，所以 ，
，
，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 的最小值为 .故选：B.【典例4】（23-24高三下·江西鹰潭·月考）若函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
因为 在定义域 上单调递减，
要使函数 在区间 上单调递增，
则 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .故选：C
四、对数函数的图象与性质
对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、
最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）对数函数的图象过点 ，则对数函数的解析式为
.
【答案】
【解析】设对数函数的解析式为 ( 且 )，
由已知可得 ，即 ，解得 ，即函数解析式为 .【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·月考）若 为奇函数，则 .
【答案】
【解析】 ，
由 ，得 或 ，
所以函数的定义域为 ，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 ，得 ，
此时 ，
，
即 ，函数 为奇函数，所以 .
【典例3】（23-24高三上·广东东莞·月考）（多选）对数函数 （ 且 ）与二次函数
在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A，B中，由对数函数图象得 ，则二次函数中二次项系数 ，其对应方程的两个
根为0， ，选项A中，由图象得 ，从而 ，选项A可能；选项B中，由图象得 ，与 相矛盾，选项B不可能．
选项C，D中，由对数函数的图象得 ，则 ，二次函数图象开口向下，D不可能；
选项C中，由图象与x轴的交点的位置得 ，与 相矛盾，选项C不可能．故选：
BCD．
【典例4】（23-24高三下·陕西西安·月考）已知函数 在 单调递增，则 的
取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，因为 单调递增，
若 在 单调递增，则 在 单调递增，
则满足 ，即 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
五、指对幂比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，
然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函
数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），
那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【典例1】（23-24高三上·天津武清·月考）已知 ， ， .则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由指数函数的性质知 在R上单调递减，
所以 ，
令 ，由幂函数的性质知 在 单调增，
所以 ，所以 .故选：C
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，所以 ，故选：A.
【典例3】（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在定义域上单调递增，故 ，
又 ，
所以 .故选：A
【典例4】（23-24高三上·河南·月考）已知正数 ，满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，
，可得 ，
，可得 ，
且考虑 和 的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 与 的图象如下：
根据图象可知 .故选：B.
六、函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个数
就是函数 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，则
函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
【典例1】（23-24高三上·广东深圳·月考）函数 ， 的零点个数为 ．
【答案】
【解析】令 ，由二倍角公式可得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时，若 时，解得 或 ；
若 ，解得 或 ；
综上所述，函数 在 上的零点个数为 个.
【典例2】（23-24高三上·广东中山·月考）函数 的零点个数为
【答案】6
【解析】 ，故 ，
画出 和 ，两函数交点个数即为 的零点个数，由图象可得，共6个交点，所以 的零点个数为6.
【典例3】（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当 时，
，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【解析】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期是
2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
七、已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个
熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】（23-24高三上·山东济南·月考）已知函数 ，若函数 有3个零
点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】作出 的函数图象如图所示:画出函数 的图象,
由图象可知当 时， 有1零点，
当 时， 有3个零点，
当 或 时， 有2个零点.
【典例2】（23-24高三上·广东惠州·月考）设函数 ，若函数 恰有3个零点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设函数 ，令 ，即 ，
所以问题转化为 ， 有3个交点；
在坐标系内，作出函数 的图像如下所示，
结合图象可知， ，故实数 的取值范围为 .故选：B【典例3】（2023·天津河北·一模）函数 ，若函数 恰有
两个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】 或
【解析】因为 ，
所以 ，
则函数 恰有2个零点等价于 有两个不同的解，
故 ， 的图象有两个不同的交点，
设 ，
又 ， 的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
当 时，考虑直线 与 的图象相切，
则由 可得 ，即 ，
考虑直线 与 的图象相切，
由 可得 ，则 ，即 ．
考虑直线 与 的图象相切，由 可得 ，则 ，即 ，
结合图象可得当 或 时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上， 或 ．
易错点1 指数与对数函数中忽略对底数的讨论
点拨：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0
