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专题05 分段函数
真题再现
1．（2023·北京·统考高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是____________．
【解析】依题意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 ，则 的图像如下，
显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故①错误；
对于②，当 时，
当 时， ；当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的
距离最小，
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故③正确；
对于④，取 ，则 的图像如下，
因为 ，
结 合 图 像 可 知 ， 要 使 取 得 最 小 值 ， 则 点 在 上 ， 点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误.
故答案为：②③.
2．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
3．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；若 时，当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，解得 ，
综上可得 ；故答案为：0（答案不唯一），1
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
【解析】 ，故 ，故答案为：2.
考点一 分段函数函数值 (解析式)
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【解析】因为 ，所以 ，所以 .故选：B
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
【解析】由条件可得 ，则 .故选：C.
3．已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解析】 ，故选：C．4．已知函数 ，若 ，则 （ ）.
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【解析】由函数 ，可作图如下：
由方程 ，则 ，即 ，解得 .
.故选：B.
5．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，由 ①，得 ②，
①②联立，可得 ,得 ③
把①代入③可得 ，即 ，
故 ，故选：C.
6．已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由题意可得 ，
故选：D.7．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．e C． D．
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，
所以 .故选：D
8．若函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由于 ，所以 ，故 ，
故选C.
二、多选题
9．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】结合图象可知，当x≤0时，设 ，将 代入函数，
得 ， ，同理，当x>0时， ，所以 ，即 .故选：AC
三、填空题
10．已知函数 ，则 ___________．
【解析】由 ，可得 ，故
11．已知函数 ，则 ___________．
【解析】因为 ，且 ，
则 .
12．已知函数 ，则 _________．
【解析】 ，
所以
13．设函数 ，且 ， ，则 的解析式为____________．
【解析】因为函数解析式为 ，则 ，则 ，
由 可得， ，解得 ，所以 .
14．设 定义在 上且 ，则 ______．【解析】因为 ，
所以 ，
，同理可得 .
考点二 分段函数定义域和值域
一、单选题
1．设函数 ， 则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 ,即 ， 时, 或 ,
,因为 ，所以 ，
因此这个区间的值域为 .
当 时,即 ，得 ,
其最小值为 ，其最大值为 ，因此这区间的值域为 .
综上，函数值域为: .故选：D
2．若定义运算 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】若 ，即 时 ；若 ，即 时 ；综上， 值域为 .故选：A
二、多选题
3．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域是R B． 的值域是
C．若 ，则x的值为 D．
【解析】A：函数的定义域为 ，所以本选项不正确；
B：当 时， ，
当 时， ， ，所以有 ，
综上所述： 的值域是 ，所以本选项正确；
C：当 时， ，不符合 ；
当 时， ，或 不符合 ，
综上所述：当 时，x的值为 ，所以本选项正确；
D： ，所以本选项正确，
故选：BCD
三、填空题
4．函数 的定义域是________.
【解析】解：因为 ，所以 定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).5．已知 ，则 的值域是______；
【解析】当 时, 根据指数函数的图象与性质知 ，当 时, .
综上: 的值域为 .
6．函数 的值域是______．
【解析】当 时，满足 ；当 时，由 ，
所以函数 的值域为 ．
7．已知函数 的最大值为m， 的最小值为n，则 ______．
【 解 析 】 当 时 ， ， 所 以 此 时
，
当 时， ，
所以此时 ，
综上所述， ，即 ，所以 .
8．已知函数 ，则 的最小值为_________．
【解析】 的图象如图所示，故 的最小值为1，故答案为：1.
四、双空题
9．函数y＝ 的定义域为________，值域为________.
【解析】定义域为各段的并集，即（－∞，0）∪（0，＋∞）.
因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集，所以函数的值域为{－2}∪（0，＋∞）.
10．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．
【解析】由图象可知，第一段的定义域为[－1，0)，值域为[0，1)；
第二段的定义域为[0，2]，值域为[－1，0]．
所以该分段函数的定义域为[－1，2]，值域为[－1，1)．故答案为：[－1，2]；[－1，1)
五、解答题
11．已知函数 的图象如图所示，其中 轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
(1)写出函数 的定义域和值域；(2)求 的值．
【解析】（1）由图可知，函数 的定义域为 ，值域为 .（2）当 时，设 ，则 ，解得 ，
当 时，可设 ，则 ，解得 ，
所以， ，
则 ，因此， .
考点三 分段函数单调性
一、单选题
1．定义运算： ，例如： ， ，则函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】
当 时， 的单调递减，当 的递增区间为 ，故选：A
2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和 C． D． 和
【解析】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .故选：B3．若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 ,
当 时， ，
当 时， ，函数图像的对称轴为 ，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、
C；
当 时， ，
当 时， ，函数图像的对称轴为 ，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
二、多选题
4．已知函数 在R上单调递增，则实数a的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由题意可知， 在 上递增，则 ，即 .
在 上递增，则 .又 ，则 .
综上， ，根据选项只有CD符合.故选：CD
三、填空题5．设函数 ， ，则函数 的递增区间为________.
【解析】由题知 ，作出函数 的图象如图所示.
∴函数 的递增区间为 ， .
6．函数 的单调增区间为__________.
【解析】由函数 ，根据一次函数的性质，可得 时， 单调递增，
则函数 的单调增区间为 .
7．己知函数 满足对任意 ，且 ，都有 成立，则实
数a的取值范围是__________．
【解析】因为对任意 ，且 ，都有 成立，所以 在 上单调递减.
所以 ，解得 .
8．已知函数 ，设 ，若 ，则 的取值范围是____________.
【解析】因为函数f(x)在区间 ， 上都是单调递增函数，若 ， ， ，满足 ，
必有 ，则 ，得 ，
所以 ， ，令 ，
令 ，在 上递增， ， ，
所以 .
四、双空题
9．函数 的单调性为______；奇偶性为______．
【解析】 在 时严格单调递增，
在 时，严格单调递增，且 ，而 在 是严格单调递增，
所以 在 时严格单调递增，又 时， ，
所以函数 在 上是严格增函数，易知 ，
时， ， ，
时， ， ，
所以对定义域内任意的 都有 ，因此 是奇函数，
故答案为：严格增；奇函数．
五、解答题
10．已知函数
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求实数a的值；(3)直接写出 的单调区间．
【解析】（1）根据分段函数解析式可得 ，
易知 ；所以 ，即 .
（2）①当 时， ，解得 ，或 （舍）.
②当 时， ，解得 （舍）.
综上可得 .即实数a的值为
（3）画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间 ，单调递减区间 ，
考点四 分段函数求参
一、单选题
1．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】由 得 ，由 得 ，
若 ，则 ，解得 ，舍去；
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
故选：C.2．设 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】依题意， ，则 ，解得 ，故选：C
3．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知当 时， ，
由于函数 的值域为 ，
故 时， 的取值范围应包含 ，
故此时 ，且 ，故 ，故选：C.
4．已知函数 的最大值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】若 ， 即当 时 ，∴ 的最大值为0，满足题意；
若 ，当 时， ，不满足题意；
若 ，当 时 ，当 时 ，当 时等号成立，满足题意；
若 ，当 时， ，当 时， ，当 时等号成立，满足题
意；若 ，当 时， ，当 时， ，不满足题意；
所以 ；故选：A.
5．若函数 ，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，函数 单调递增，所以
当 时， 是单调递增函数，所以 ，所以
当 时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以 ，解之得： ，
综上所述：实数a的取值范围是 ，故选：B
6 ． 已 知 函 数 ， 满 足 对 任 意 的 实 数 ， 且 ， 都 有
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】对任意的实数 ，都有 ,即 成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得： ，解得 ，故选：C7．已知函数 在 是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，所以， 在 上为减函数，
因为 在 是减函数，且函数 在 上为减函数，
只需 ，解得 .故选：B.
8．函数 ，若 互不相等，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的图像如图所示：
设 ，由函数图像数形结合可知： ， ，
．故选：C．
二、填空题
9．已知 ，函数 ， ，则 ________．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
10．已知函数 ．若 ，则实数m的取值范围是______．
【解析】作出函数 的图象，如图所示，如 ，则 ，又因为 ，结合图象可知： ，
所以实数m的取值范围是 ，
11．设函数 ，若 ，则实数a＝_____．
【解析】当 时，则 ；当 时，则 ；
综上所述： 在定义域内恒成立，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；当 时，则 ，解得 或 （舍去）；
综上所述： 或 .
12．已知函数 且 ，则正数 的值为______ .
【解析】当 时，函数 单调递增，有 ，
当 时，函数 单调递增，有 ，因为 ，
所以有 ，故答案为：
13．设函数 存在最小值，则 的取值范围是________.
【解析】①当 时， ，故函数 在 上单调递增，因此 不存在最小值；②当 时， .
当 时， ，故函数 存在最小值；
③当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
若 ，则 不存在最小值，故 ，解得 .
此时 满足题设；
④当 时， ，故函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 ，
因此 不存在最小值.
综上， 的取值范围是 .
14．已知 ，若存在三个不同实数 使得 ，则 的取值范围是
______．
【解析】作出函数 的图像如下图所示：
设 ，由图像可知 ，则 ，解得 ，由 可得 ，即 ，可得 . .
15．设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数列，则 a的取值范围是
____．
【解析】因为 是递增数列，所以 解得 ，故答案为: .
16．已知 ，其中 且 ，若 ， ，则 ___________．
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以
考点五 解分段函数不等式
一、单选题
1．已知 ,则使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】（方法1）当 时 ，不等式 可化为 ，
解得 ，又 ，所以 ；
当 时， ，不等式 可化为 ，解得 ，
又 ，所以 .
综上，使不等式 成立的 的取值范围是 .故选: A.
（方法2）函数 的图象如图所示，虚线表示 ，函数 图象在虚线 及以上的部分中 的取
值范围即不等式 的解集.由图可知， 的取值范围就是点的横坐标与点 的横坐标之间的范围.
在 中，令 ，得 ，所以点 的横坐标为 .
在 中，令 ，得 （舍去）或 ，
所以点 的横坐标为 ，所以使不等式 成立的 的取值范围是 .故选：A.
2．已知函数 ，则满足不等式 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】画出 的图象，如下：
显然要满足 ，则要 ，且 ，解得： .故选：C
3．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 .
①当 时， .
②当 时， .
③当 时， .综上所述： .故选：D.
4．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 即为 ，
当 时， ，故 无解，
当 时， 即为 ，
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图，
由图可得当且仅当 时， ，
综上所述， 的解为 ，又 ，所以 ，
当 时， ，故 ，解得： ，所以 ，
当 时， ，故 ，解得： ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是 .故选：D.
5．若 ，且 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，由 ，可得 ，
设 ，则 ，则 在 递增，所以 ，即 ，
当 时， ，
可得当 时， 的解集为当 时， 的解集为 ，不满足题意，舍去
因为关于 的不等式 的解集为
当 时， ，满足
当 时， ，不满足
综上可得: 的取值范围是 故选:B.
6．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】作出函数 的图象如图，
因为 ，若 ，由 在 上单调递增，且 ，
则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
综上， ，解得 或 .
所以实数 的取值范围是 ．故选：A.
二、多选题
7．已知 是定义在 的奇函数，且 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 时，B． 有3个零点
C． 增区间为
D． 的解集为
【解析】由 是定义在 的奇函数知 ，
当 时， ，所以 ，A错误；
由上可知 ，由 可得 或 或 ，故B正确；
由 的解析式知 在 和 上均单调递增，但在 上不具有单调性，
如 ，但 ，故C错误；
由 ，可得 或 ，解得 或 ，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
8．已知函数 ，则不等式 的解集为______．
【解析】由题意，得 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为
9．已知函数 ，若 ，则实数 的范围为__________.
【解析】因为 ，
所以由
10．已知函数 ，则 的解集为________．
【解析】因为当 时， ，当 时， ，所以 等价于 ，此时 ，即 ，解得 ，
所以 的解集为
11．设函数 则满足 的x的取值范围是______．
【解析】函数 的图象如图所示，
满足 可得 或 .解得 .
12．已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
【解析】函数
当 ，函数 单调递增，则 化为 解得 ，
故答案为： ．
13．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围为______.
【解析】当 时，显然不成立；
当 时，不等式 可化为 ，解得 ；
当 时，不等式 可化为 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围为 或 ，故答案为：
14．设函数 ，则满足 的 的取值范围是__________.
【解析】当 时， ，则 在 时无解；
当 时， ，在 单调递增， 时 ，
则 的解集为 ；
当 时， ，则 在 时恒成立；
综上， 的解集为 .
四、解答题
15．函数 是定义在 的奇函数，且对任意的 ，都有 成立， 时，
(1)当 时，求函数 的解析式：
(2)求不等式 在区间 上的解集．
【解析】（1）因为函数 是定义在 的奇函数，所以 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
又对任意的 ，都有 成立，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；
（2）当 时，不等式 可化为 ，所以 ，
当 时， ，所以 为不等式 的解，
当 时，不等式 可化为 ，所以 ，解得 ，
所以不等式 在区间 上的解集为 .
