文档内容
复数
目录
题型一： 复数的有关概念...............................................................................................................4
题型二： 求复数的值.......................................................................................................................6
题型三： 与复数的模有关的计算问题..........................................................................................8
题型四： 复数的几何意义...............................................................................................................9
题型五： 范围问题.........................................................................................................................12
知识点总结
1．复数的概念
概念 定义
把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常
复数
用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c ， b ＝ d ，其中a，b，c，d∈R
相等
复数
复数z＝a＋bi
分类
共轭
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭
复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数 z的共轭复
数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
复数
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做
复平面 虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为OZ，则向量OZ的模
叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |.即|z|＝|a＋bi|＝，其中
a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应
的模
的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示
同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z＝ a ＋ b i ， z ＝ c ＋ d i(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①z±z＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .
1 2
②zz＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .
1 2
③＝ ＋ i(z≠0)．
2
(2)复数加、减法的几何意义
复数z ＋z 是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的
加法 1 2
对角线OZ所表示的向量OZ所对应的复数
复数z －z 是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终
减法 1 2
点的向量Z2Z1所对应的复数
(3)复数加法的运算律：对任意z，z，z∈C，有
1 2 3交换律 z＋z＝z ＋ z
1 2 2 1
结合律 (z＋z)＋z＝z ＋ ( z ＋ z)
1 2 3 1 2 3
(4)复数乘法的运算律：对于任意z，z，z∈C，有
1 2 3
交换律 zz＝zz
1 2 2 1
结合律 (zz)z＝z ( z z)
1 2 3 1 2 3
分配律 z(z＋z)＝zz ＋ zz
1 2 3 1 2 1 3
常用结论与知识拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中
n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|zz|＝|z||z|，＝，|zn|＝|z|n.
1 2 1 2
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
例题精讲
题型一：复数的有关概念
【要点讲解】 解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实
部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b =0 (a,b∈R);②z∈R z=z;③z∈R z 2 ≥0 .
(3)复数是纯虚数的条件:① z=a+b⇔i 是纯虚数⇔ a =0 且 ⇔ b ≠0 (a,b∈R);②⇔z 是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z= a - b i ,则 z · z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=√z·z,若z∈R,则z=z.
【例1】已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ， ．
故选： ．
【变式训练1】设 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
，即 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ， 为虚数单位），则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ， ， ，
， ，
故选： ．
为虚数单位，已知复数 是纯虚数，则 等于
A． B．1 C． D．0
【解答】解：由题意可知 是实数，已知复数 是纯虚数，可得 ， ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】下面四个命题中的真命题为
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
【解答】解：若复数 满足 ，则 ，故命题 为真命题；
复数 满足 ，则 ，故命题 为假命题；
若复数 ， 满足 ，但 ，故命题 为假命题；
若复数 ，则 ，故命题 为真命题．
故选： ．
题型二：求复数的值
【例2】复数 满足 为虚数单位），则 的共轭复数 为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【变式训练1】设复数 满足关系： ，那么 等于A． B． C． D．
【解答】解：法1：设 由已知
由复数相等可得 故
故选 ．
法2：由已知可得 ①取模后平方可得
，所以 ，代入①得 ，
故选 ．
法3：选项中的复数的模均为 ，又 ，
而方程右边为 ，它的实部，虚部均为正数，因此复数 的实部，虚部也必须为正，
故选： ．
【变式训练2】 的共轭复数
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【变式训练3】已知 ，则复数
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练4】复数A． B． C． D．
【解答】解：因为复数 ，
故选： ．
【变式训练5】已知复数 是虚数单位）
（1）复数 是实数，求实数 的值；
（2）复数 是虚数，求实数 的取值范围；
（3）复数 是纯虚数，求实数 的值．
【解答】解：（1）若复数 是实数，则 ，得 ，
即 ；
（2）复数 是虚数，则 ，即 ，
即 且 ；
（3）复数 是纯虚数，则 ，得 ，
即 ，或
题型三：与复数的模有关的计算问题
【要点讲解】记住以下结论,可提高运算速度.
1+i 1-i a+bi
①(1±i)2=±2i;② =i;③ =-i;④ = b - a i .
1-i 1+i i
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|= (a,b∈R)直接计算得解;
√a2+b2
(2)利用模的性质|z|2=|z|2= z · z求解.
【例3】已知 ，则A． B． C． D．
【解答】解：由 ，
得
，
则 ， ．
故选： ．
【变式训练1】 是虚数单位，复数 ．
【解答】解：复数 ，
故答案为： ．
【变式训练2】复数 满足 ，则
A．最小值为1，无最大值 B．最大值为1，无最小值
C．恒等于1 D．无最大值，也无最小值
【解答】解：设复数 ，其中 ， ，
由 ，得 ，
，
解得 ；
，
即 有最小值为1，没有最大值．故选： ．
【变式训练3】已知复数 满足 ，则
A． B． C．10 D．18
【解答】解： ，
，
，
．
则 ．
故选： ．
【变式训练4】设复数 满足 为虚数单位），则 ．
【解答】解：由 ，得 ，
．
故答案为： ．
题型四：复数的几何意义
【要点讲解】(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
【例4】若复数z满足2z+|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
2z+|z|＝2i，则2（a+bi）+ ＝2i，即 ，解得 ，
故z在复平面上对应的点位于（ ）位于第二象限．
故选：B．
【变式训练1】设复数X，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【 解 答 】 解 ： ，
，
则其在复平面对应的点为 ，即在第四象限．
故选：D．
【变式训练2】若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由（1+2i）2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i，对应点坐标为 （﹣3，4），在第二象限．
故选：B．
【变式训练3】在复平面上，满足 的复数 的所对应的轨迹是
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
【解答】解：设 ，
则 ，
，
运动轨迹是圆，
故选： ．
【变式训练4】已知复数 ，则下列命题中正确的为A．
B．
C． 的虚部为
D． 在复平面上对应点在第一象限
【解答】解：复数 ，则 ．故 正确；
，故 正确；
的虚部为1，故 错误；
在复平面上对应点的坐标为 ，在第一象限，故 正确．
命题中正确的个数为3．
故选： ．
【变式训练5】如图，已知复平面内平行四边形 中，点 对应的复数为 ， 对
应的复数为 ， 对应的复数为 ．
（Ⅰ）求 点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）依题点 对应的复数为 ， 对应的复数为 ，
得 ， ，可得 ．
又 对应的复数为 ，得 ，可得 ．
设 点对应的复数为 ， ， ．得 ， ．
为平行四边形， ，解得 ， ，
故 点对应的复数为 ．
（Ⅱ） ， ，
可得： ， ．
又 ， ．
故平行四边形 的面积 ．
题型五：范围问题
【例5】已知复数z满足|z﹣1+i|＝2 ， 为z的共轭复数，则z• 的最大值为 ．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则 的几何意义为z在复平面内所对应的点（a，b）到（1，﹣1）的距离
为 ，
所以z所对应的点（a，b）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心， 为半径的圆，
而 可看作该圆上的点（a，b）到原点的距离的平方，
所以 ．
故答案为：18．【变式训练1】如果复数 满足 ，那么 最小值是
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：
点 到点 与到点 的距离之和为2．
点 的轨迹为线段 ．
而 表示为点 到点 的距离．
数形结合，得最小距离为1
故选： ．
【变式训练2】已知复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【解答】解：由复数几何意义知，在复平面内， 与 分别表示复数 对应点
到定点 与 的距离，
而 ，于是有 ，动点 在线段 上，如图所示：
表示定点 到动点 的距离， 是锐角三角形，
点 到 线 段 上 动 点 的 距 离 最 小 值 即 是 边 上 的 高 ， ， 由
，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．【变式训练3】复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【解答】解：复数 满足 ，
则复数 表示的点到 ， 两点的距离之和为2，
而 ， 两点间的距离为2，
设 为 ， ，
则 表示的点的集合为线段 ，
的几何意义为点 到点 的距离，
分析可得， 在点 时，
取得最小值，且其最小值为1．
【变式训练4】若 ，且 ，则 的最小值为 ．【解答】解：复数 满足 ，点 表示以原点为圆心、1为半径的圆．
则 表示 点对应的复数与点 之间的距离，
圆心 到点 之间的距离 ，
的最小值为 ，
故答案为：4．
【变式训练5】已知复数 满足 ，则 的最小值是 ．
【解答】解： 复数 满足 ，
，
的最小值是3．
故答案为：3．
【变式训练6】已知复数 满足 ，则 （其中 是虚数单位）的最小值为
．
【解答】解： 复数 满足 为虚数单位），
设 ， ， ．
则 ，当且仅当 时取
等号．
故答案为：1．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知复数 （i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数 ，则 的虚
ω部为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：复数 （i为虚数单位）， ，
则
＝ ，
所以 的虚部为 ．
故选：ωC．
2．已知复数 ，则 的虚部是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
的虚部为 ．
故选： ．
3．设 为虚数单位，且 ，则
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由题意， ，
则 且 ，
解得 ．
故选： ．
4．已知 ，则 ＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解： ＝ ＝ ＝﹣1﹣i．
则 ．
故选：C．
5．复数 的模为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ＝2i﹣（i﹣i2）＝2i﹣i﹣1＝﹣1+i，
则|z|＝ ．
故选：B．
6．已知a R，复数z＝a+2i，z2﹣2z是实数，则|z|＝（ ）
A．5 ∈ B．10 C． D．
【解答】解：z2﹣2z＝（a+2i）2﹣2（a+2i）＝a2﹣4+4ai﹣2（a+2i）＝a2﹣2a﹣4+（4a
﹣4）i R，
故4a﹣∈4＝0，解得a＝1，
故 ．
故选：C．
二．多选题（共2小题）
7．已知复数 ，则下列结论中正确的是
A． 对应的点位于第二象限 B． 的虚部为2
C． D．
【解答】解： ，所以 ，
对应的点 位于第一象限， 错误；
的虚部为 ， 错误；， 正确； ， 正确．
故选： ．
8．已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，
的共轭复数在复平面内对应的点为 ，则
A．点 在第二象限 B．
C． D．点 的坐标为
【解答】解：对于 ， ，所以点 在第二象限， 对；
对于 ， ， ，所以 ，所以 ， 错；
对于 ， ， ，所以 ， 对；
对于 ， ，所以 ， 对．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．若复数 为虚数单位）， 的共轭复数记为 ，则 5 ．
【解答】解：由共轭复数的概念可知，复数 的共轭复数 ；
所以 ．
故答案为：5．
10．设 为虚数单位，若复数 ，则 的实部与虚部的和为 1 ．
【解答】解：因为 ，
因此，复数 的实部与虚部之和为 ．
故答案为：1．11．若复数 是纯虚数，则实数 2 ．
【解答】解： 复数 是纯虚数，
所以 即
得
故答案为：2
12．设复数 ， 在复平面内对应的点为 ， ，若 ， ，则 的最
大值为 7 ．
【解答】解：因为 ，则点 组成的集合是圆心在原点 ，半径 的圆及其内部．
的坐标为 ．
所以 的最大值为 ．
故答案为：7．
四．解答题（共3小题）
13．在复平面内，复数 ，其中 ．
（1）若复数 为纯虚数，求 的值；
（2）若复数 对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 复数 为纯虚数，
， ．
（2） 复数 对应的点在第二象限，
， ，
实数 的取值范围为 ．
14．已知复数 为虚数单位）．（1）求 ；
（2）求 ．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ．
15．已知 ， 是虚数单位，复数 ．
（1）若 是纯虚数，求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
【解答】解：（1）若 是纯虚数，
则 ，解得 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，
则 ，解得 ．
的取值范围是 ．
