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专题 05 构造法求数列通项的八种技巧(二)
【必备知识点】
◆构造四:同型构造法
所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同
的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.
模型一: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型二: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型三: ,构造 ,则 ,
为常数数列.
模型四: ,构造 ,则 , 为等比数列.
模型五: ,构造
,则 , 为等比数列.
模型六: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型七: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型八: ,构造 ,则 , 为等差数列.
看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式
子,尽量将 和 , 和 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.
【经典例题1】已知数列 满足 ,求 .
【经典例题2】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.【经典例题3】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【经典例题4】已知 ,且 ,求数列 的通项公式.
【练习1】已知数列 满足 ,则
A. 28 B. C. D.
【练习2】已知 是首项为1的正项数列,且 ,则它的通项公
式是 ______________.
【练习3】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【练习4】已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式.【练习4】已知数列 前 项的和为 ,且满足 .
(1)求 的值;
(2)求 的通项公式.
◆构造五:取倒数构造等差
类型一:数列 满足: ,则有 .
所以 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 .(当分母出现加减时,我们很难将它
进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
类型二:数列 满足: ,则有 .
所以 是等差数列.
类型三:若数列 的前 项和为 ,且满足 ,则有 ,两边同除以
得: ,故 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 ,再用
,求 .
【经典例题1】在数列 中,若 ,则
___________.
【经典例题2】已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
(1)求证: 是等差数列.(2)求 的表达式.
【经典例题3】已知数列 的首项 ,证明:数列 是等比数列并
求 的通项公式.
【练习1】设 是数列 的前 项和,且 ,则
A. B. C. D.
【练习2】已知 中, ,则
_______.
【练习3】已知数列 ,求 的通项公式.
【过关检测】
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ，则数列 的前100项的和是（ ）
A． B． C． D．
2．数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）A． B． 是等比数列
C． D．
3．若数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 满足 ， ， ，则满足 的n的最大取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知数列 满足： ， ，则 ( )
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设数列 的前n项和为 ，已知 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． D．
10．已知数列{ }满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为等比数列 B．{ }的通项公式为
C．{ }为递增数列 D． 的前n项和
三、填空题
11．已知数列 ， 满足 ， ， ，则 ___________.
12．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为______．
13．已知数列 满足 ，且 ，则数列 __________
14．已知数列 的首项 ，且对任意的 ，都有 ，则 ______．
15．已知数列 满足： ， （ N），由 、 、 归纳出数列 的通项公式是
+
__________.
16．数列 满足 ，且 ，则 ___________.
17．已知数列 满足 ，且 ，则数列| 的前n项和为______．
四、解答题18．已知数列 中， ， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若不等式 对于 恒成立，求实数 的最小值.
19．已知正项数列 满足 ，且
(1)求正项数列 的通项公式；
(2)求和 ．
20．已知正项数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，记数列 的前n项和为 ，证明： ．21．已知数列 的通项公式为 ，
(1)求数列 的通项公式.
(2)若 ，求满足条件的最大整数值.
