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专题 06 函数的图像、方程与零点
【练基础】
一、单选题
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.
【详解】解：因为函数 的定义域为 ， ，
所以 是偶函数，函数图象关于 轴对称，排除A，B；
当 时 ， ，当 时， ，排除C．
故选：D．
2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数 则方程 的解的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数，结合图像分析．【详解】令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数．
作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解的个数为2
个．
故选：C．
3．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线
左侧的图形的面积为 ，则 的函数图象是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案
【详解】解：根据题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以只有A选项符合，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像与函数 的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0【答案】C
【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】 在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在 和 上是增函数，
， ， ，
作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
5．（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递减，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先根据题意画出函数 的简图，再分 ， 两种情况讨论，结合图像解不等式即可
【详解】由题意，函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递减，
且 ，可画出函数简图如下图所示：当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上不等式 的解集为: 或
故选：D
6．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））函数 在 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形
结合和方程思想解题．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】结合函数的对称性求得正确答案.
【详解】令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.，令 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，
所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：B
8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，若函数 有4个零点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为两个函数交点问题分析
【详解】 即
分别画出 和 的函数图像，则两图像有4个交点
所以 ，即
故选 ：C二、多选题
9．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）关于函数 ，正确的说法是（ ）
A． 有且仅有一个零点
B． 在定义域内单调递减
C． 的定义域为
D． 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【分析】将函数 分离系数可得 ，数形结合，逐一分析即可；
【详解】解： ，作出函数 图象如图：
由图象可知，函数只有一个零点，定义域为 ，在 和 上单调递减，图象关于 对称，故B
错误，故选：ACD．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
【答案】AC
【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.
【详解】 , ,
,
故 为奇函数，
又 ，
在R上单调递增，
， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.
故选：AC
11．（2022·湖南省祁东县育贤中学高三阶段练习）如图是函数 的部分图像，则
（ ）A． 的最小正周期为
B．将函数 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
C． 是函数 的一条对称轴
D．若函数 在 上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【分析】先根据图像可得 ，即可判断A，接下来求得 ，即可得到 的解析式，根据图像平移判
断B，令 解出 即可判断C，令 ，解出函数零点，然后根据在 上
有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D
【详解】由图像可知，
，即 ，故A正确
此时
又 在图像上， ，解得
将 的图像向右平移 个单位后得到的图像对应的解析式为 不为奇函数，
故B错误，
当 是函数 的一条对称轴时，此时 不符合题意，故C错误
令 ，解得
当 时， ，不合题意
时， ；
时， ；
时，
又因为函数 在 上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确
故选：AD
12．（2021·福建·福清西山学校高三阶段练习）已知函数 若函数 恰有
2个零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【分析】转化为函数 的图象与直线 恰有两个交点，画出函数 的图象，根据图象可得解.
【详解】因为函数 恰有2个零点，
所以函数 的图象与直线 恰有两个交点，
画出函数 的图象如图：由图可知， 或 ，结合选项，因此 可以为-1，0，1．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
三、填空题
13．（2020·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高三阶段练习）若函数f(x)＝x2-ax-b的两个零点分别是是
2和3，则函数g(x)＝bx2-ax-1的零点为____________.
【答案】
【详解】主要考查二次函数零点的性质及零点的确定方法．首先将2,3分别代入方程 －ａｘ－ｂ=0，求得a,b，
然后解方程ｂ －ａｘ－１=0，得到函数ｇ（ｘ）零点 ．
14．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 的一个零点为 ，则常数 的一个取值
为___________.
【答案】
【分析】根据零点的概念及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】因为函数 的一个零点为 ，所以 ，
即 ，
所以 时，满足条件， 是常数 的一个取值.
故答案为：
15．（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）若方程 的实根在区间 上，则
_______.
【答案】-2或1
【分析】依题意可得 ，在同一平面直角坐标系中作出函数 与 的图象，结合函数图象即
可判断方程的根所在区间，即可得解；
【详解】解：由于方程 ，显然 ，所以 ，在同一平面直角坐标系中作出函数
与 的图象，
由图象上可得出：方程 在区间 和 内各有一个实根．
所以 或
故答案为： 或 ．
16．（2022·北京·北师大实验中学高三阶段练习）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是
_____.
【答案】
【详解】函数 有两个零点，和 的图象有两个交点，
画出 和 的图象，如图，要有两个交点，那么
四、解答题
17．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数 ．
（1）在所给的坐标系内画出函数 图像；
（2）求方程 恰有三个不同实根时的实数 的取值范围．
【答案】(1)图象见解析；(2) .
【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察 图象,根据
的图象与 的图象有三个交点确定m的范围.
【详解】(1)作图如下：(2)方程 有3个解等价于函数 的图象与 的图象有三个交点，
观察图象可得 .
18．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ， ．
(1)在给出的平面直角坐标系中画出 和 的图象；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2) .
【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后变成分段函数，然后作图；
（2）由题可得 ，然后利用数形结合可得参数取值范围.
【详解】（1）由题意得：
，，
画出 和 的图象如图所示.
（2）
∵ ，
由 ，可得 或 ，
由 ，可得 ，
要使 恒成立，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
19．（2020·内蒙古·巴彦淖尔市临河区第三中学高三阶段练习（理））已知函数 ， .
（1）求 的解析式.
（2）若方程 有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）考查了函数解析式的求解，需要采用换元法，设 ，表示出 ，再写出 ，最后换元成 即可；（2） 有实根，转化为 ，所以需要求函数 的值
域，再解不等式.
【详解】解：（1）设 ，因为 ，所以 ；
且 ，所以 ，
所以 ， ；
（2）设 ， ， ，
所以当 时函数有最小值 ，而 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
【点睛】本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉 的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用 的范围解不等式即可，需
要注意定义域的限制.
20．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 在点 处的切线方程为
．
(1)求函数 的单调区间，
(2)若函数 有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得 ，得到 ，进而求得函数的单调区
间；
（2）由题意得到 ，结合条件列出不等式组，即得.【详解】（1）由题可得 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 ，
由 得 或 ，
由 得 ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
（2）因为 ，
由（1）可知， 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
依题意，要使 有三个零点，则 ，
即 ，
解得 ，经检验， ，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为 ．
21．（2021·贵州·遵义一中高三阶段练习（理））已知函数 ．
（1）若函数 在范围 上存在零点，求 的取值范围；（2）当 时，求函数 的最小值 ．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）参变分离转化为存在 ，使得 成立，求导分析 的单调性
和取值范围，即得解；
（2）函数 对称轴为 ，分 ， ， 三种情况讨论，即得解
【详解】（1）由题意，函数 在范围 上存在零点
即存在 ，使得 成立
令 ，则
令 （舍）
所以当 时， ；当 时，
即 在 单调递增，在 单调递减，又
即 的取值范围是
（2） ，对称轴为
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
综上：
22．（2020·江苏省盱眙中学高三阶段练习）已知 是偶函数．（1）求 的值；
（2）若函数 的图象与直线 有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数 的值；
（2）利用参变量分离法得出关于 的方程 有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本性质求出
的取值范围，即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1） 是偶函数， ， ，
化简得 ，即 ， ， ，
即 对任意的 都成立， ；
（2）由题意知，方程 有解，
亦即 ，即 有解， 有解，
由 ，得 ， ，故 ，即 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，涉及对数运算性质的应
用，灵活利用参变量分离法能简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
【提能力】
一、单选题
1．（2020·全国·高三专题练习（文））函数 的图像大致为 ( )A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解： 为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，
判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由
函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．（2019·全国·高三专题练习）如图所示，设点 是单位圆上的一定点，动点 从点 出发在圆上按逆时针方向
旋转一周，点 所旋转过的 的长为 ，弦 的长为 ，则函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点为 ，设 ，在直角三角形求出 的表达式，根据弧长公式求出 的表达式，再用
表示 ，再根据解析式得答案.
【详解】取 的中点为 ，设 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长 和弧长 的解析式是解题的关键，属于基础
题.
3．（2008·四川·高考真题（理））直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移１个单位，所得到的直线为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵直线 绕原点逆时针旋转 的直线为 ，从而淘汰（Ｃ），（D）又∵将 向右平移１个单位得 ，即 故选A；
【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时，
，若关于x的方程 至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件可得出函数 是以4为周期的周期函数，作出 ， 的图象，根据函数为偶函
数，原问题可转化为当 时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为 ，且 为偶函数
所以 ，即 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
作出 ， 在同一坐标系的图象，如图，因为方程 至少有8个实数解，
所以 ， 图象至少有8个交点，
根据 ， 的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当 时，只需 ，即 ，
当 时，只需 ，即 ，
当 时，由图可知显然成立，
综上可知， .
故选：B
5．（2021·全国·高三专题练习）如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， 的零点为 ，
若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由条件可知， 的图象是由 向左平移 个单位长度得到，再利用数形结合，分析图
象的临界条件，得到 的取值范围.
【详解】当 时， ，图象过点 和 ，即 ，解得： ， ，即 ，
当 时，设抛物线 ，代入点 得， ，即 ，
所以 ，
的图象是由 向左平移 个单位长度得到，因为 ，对 恒成立，所以
的图象恒在 的上方，当两图象如图所示，相切时，
抛物线 ， ，
与直线 相切，即 ，解得： ， ，
切点 代入 得 ，
得 ，所以 ，解得： 或 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式恒成立，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合，分析临界条件，
利用直线与抛物线相切，求参数的取值范围.
6．（2023·全国·高三专题练习）正实数 满足 ，则实数 之间的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由 ，得 ，而 与 的图象在 只有一个交点，从而可得
在 只有一个根 ，令 ，然后利用零点存在性定理可求得 ，同理可求出
的范围，从而可比较出 的大小
【详解】 ，即 ，即 ， 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ，
， ， ，则 ；
，即 ，即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，故 ；
，即 ，
即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，则 ；
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】画出函数 的草图，分析函数的值域及 的解，由 解的个数，可得答案【详解】函数 的图象如图所示，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，由图象可知方程有两个实根，
当 时， ，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程 有3个实根，
所以函数 的零点个数为3，
故选：C
8．（2020·全国·高三专题练习（理））已知定义在 上的偶函数 满足 ，且 时，
，则函数 在 上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把函数g（x） f（x）﹣cosπx的零点转化为两函数y＝f（x）与y＝cosπx图象交点的横坐标，再由已知可
得函数f（x）的对称轴与周期，作出函数y＝f（x）与y＝cosπx的图象，数形结合得答案．
【详解】函数g（x） f（x）﹣cosπx的零点，即方程f（x）﹣cosπx＝0的根，
也就是两函数y＝f（x）与y＝cosπx图象交点的横坐标．由f（x）是定义在R上的偶函数，且
可得函数周期为2．
又当 时， ，
作出函数y＝f（x）与y＝cosπx的图象如图：
由图可知，函数g（x） f（x）﹣cosπx
在区间[﹣2，4]上的所有零点之和为﹣ 2+ 2+ 2＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）对任意两个实数 ，定义 若 ， ，下
列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．方程 有三个解
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 有4个单调区间
【答案】ABD
【分析】结合题意作出函数 的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数 与 ，，画出函数 的图象，如图．由图象可知，函数 关于y轴对称，所以A项正确；
函数 的图象与x轴有三个交点，所以方程 有三个解，所以B项正确；
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，所以C项错
误，D项正确．
故选：ABD
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有四个不同的实根
，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数 的零点为
【答案】BCD
【分析】由解析式可得函数图象，由方程有四个不等实根可得到 与 有四个不同的交点，从而确定四个
根的范围和 的取值范围；
由 可化简知A错误；由 与 关于直线 对称知B正确；根据 与 是方程 的根，结合韦达定理和 的取值范围可知C正确；
由 可得 或 ，由此可确定零点知D正确.
【详解】由解析式可得 图象如下图所示：
若 有四个不同的实数根，则 与 有四个不同的交点，
由图象可知： ， ；
对于A， ，即 ，
， ， ，
整理可得： ，A错误；
对于B， ， 与 关于直线 对称， ，B正确；
对于C， 与 是方程 的两根，
，又 ， ，C正确；
对于D， ，
由 得： 或 ，
的根为 ； 的根为 ，
的零点为 ，D正确.
故选：BCD.11．（2022·山东·日照国开中学高三阶段练习）已知 是定义在 上的偶函数， ，且当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是以 为周期的周期函数
B．
C．函数 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】推导出函数 的周期，可判断A选项的正误；求出 、 的值，可判断B选项的正误；
数形结合可判断C选项的正误；求出函数 在区间 上的解析式，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由已知条件可得 ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，A选项正确；
对于B选项， ， ，则 ，B选项错误；
对于C选项，作出函数 与函数 的图象如下图所示：
当 时， ，结合图象可知， .
当 时， ，即函数 与函数 在 上的图象无交点，由图可知，函数 与函数 的图象有 个交点，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，则 ，
所以， ，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：判定函数 的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令 ，将函数 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的
交点个数，结合图象，即可得出结果.
12．（2020·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x，g（x）＝x－4，则下列结论正确的是（ ）
A．若h（x）＝f（x）g（x），则函数h（x）的最小值为4
B．若h（x）＝f（x）|g（x）|，则函数h（x）的值域为R
C．若h（x）＝|f（x）|－|g（x）|，则函数h（x）有且仅有一个零点
D．若h（x）＝|f（x）|－|g（x）|，则|h（x）|≤4恒成立
【答案】BCD
【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.
【详解】对于A选项， ，当 时，函数 的最小值为 ，所以A选项
错误.
对于B选项， ，画出 图像如下图所示，由图可知， 的值域为 ，故B选
项正确.对于C选项， ，画出 图像如下图所示，由图可知， 有唯一零点 ，故
C选项正确.
对于D选项，由C选项的分析，结合 图像可知 恒成立，故D选项正确.
故选：BCD
【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数 ，当 时， ，若函数 恰
有4个不同的零点，则实数 的取值范围为__________
【答案】
【分析】作出函数 的图象,将问题转化为函数 与 有4个不同的交点，由图示可得答案.
【详解】解：作出函数 的图象如下图所示，令 ，则 ，
若函数 恰有4个不同的零点，则需函数 与 有4个不同的交点，所以实数 的取值范围为
，故答案为： .
14．（2020·上海·高三专题练习）已知函数f(x)＝logx＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零
a
点为x∈(n，n＋1)，n∈N*，则n= .
0
【答案】2
【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的
位置，同所给的区间进行比较，得到n的值.
【详解】设函数y=logx，m=﹣x+b
a
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=logx 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1
a
在同一坐标系中画出两个函数的图象，
判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2.
0
考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若 存在2个零点，则 的取
值范围是__________
【答案】【分析】由 有两个零点，得 与 的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出 的取值范围.
【详解】解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，可以发现当直
线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础
题型.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则方程 在 内的所有根之和为__________.
【答案】12
【分析】结合已知条件画出 图象，由 与 图象交点的特征求得方程 在 内的所有
根之和.
【详解】因为 ，所以 的图象关于直线 对称，
又函数 在 为奇函数，且当 时， ，
由此画出 在区间 上的图象如下图所示.，
由图可知， 与 图象的 个交点，
其中两个关于直线 对称，两个关于直线 对称，
所以方程 在 内的所有根之和为 .
故答案为：
四、解答题
17．（2014·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）作出函数 的图象；
（2）若 ，且 ，求证： ．
【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先根据绝对值定义化函数为分段函数形式，再作图；
（2）先根据函数单调性确定 ，再根据 与1大小分类证明不等式.
【详解】（1） ，其图象如图所示．（2）由图知， 在 上是减函数，在 上是增函数，
故结合条件知必有 ．
若 ，则 ， ，所以 ；
若 ，则由 ，得 ，
即 ，所以 ．
综上知，总有 ．
【点睛】本题考查函数图象、证明不等式，考查综合分析论证能力，属中档题.
18．（2022·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习）已知三个函数① ，② ，
③ ．
(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数
的单调递减区间(不必说明理由)；
(2)把（1）中所选的函数记为函数 ，若关于x的方程 有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；
(3)（请从下面三个选项中选一个作答）
（i）若（1）中所选①的函数时，有 ，且 ，求 的值；
（ii）若（1）中所选②的函数时，有 ，且 ，求 的取值范围；
（iii）若（1）中所选③的函数时，有 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析(3)（i）4；（ii） ；（iii）4
【分析】（1）根据函数的类型和基本性质作出图象；
（2）方程 根的问题转化为函数 与 图象交点的问题，借助图象求解即可；
（3）结合函数的图象和基本性质分析 的分布情况，得出满足的关系式求解即可．
【详解】（1）
若选①，函数图象如下图所示：
由图象可知函数的单调减区间为： 和 ；
若选②，函数图象如下图所示：
由图象可知函数的单调减区间为： 和 ；
若选③，函数图象如下图所示：
由图象可知函数的单调减区间为： ；
（2）关于 的方程 有且仅有两个不同的根 与 的函数图象有两个不同的交点，
若选①，根据函数 图象可知，若 与 的图象有两个交点，此时 ；若选②，根据函数 图象可知，若 与 的图象有两个交点，此时 或 ；
若选③，根据函数 图象可知，若 与 的图象有两个交点，此时 ；
（3）（i）若选①，如图所示：
设 ，因为 的图象关于 对称，
所以 关于 对称， 关于 对称，
所以 ；
（ii）若选②，如图所示：
设 ，
由图象可知： ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ；
（iii）若选③，如图所示：设 ，由图象可知： ，且 ，
所以 ，所以 ．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有且仅有一个零点．
（1）求 的值．
（2）求函数的零点．
【答案】（1） ； (2) .
【分析】(1)根据题意，得方程 仅有一个实根，设 ，则 仅有一正根，
分别讨论 ， 两种情况，即可得出结果；
(2)由(1)即可得出结果.
【详解】(1)因为 有且仅有一个零点，
即方程 仅有一个实根．
设 ，则 仅有一正根.
当 时，即 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， (不合题意，舍去)．
所以 ， 符合题意．
当 时，即 或 ，
有两正或两负根，
即 有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知：当 时， 有唯一零点．(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，以及求函数的零点，属于常考题型.
20．（2019·安徽·模拟预测（文））已知函数 ．
（1）用定义证明函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
（2）当函数 有两个大于0的零点时，求实数k的取值范围；
（3）若不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）详见解析（2） （3）
【分析】（1）根据定义整理出 ，分别在 和 两种情况下判断
的正负，从而证得结论；（2）由（1）结论得到 ，从而可得 ，解不等式求
得结果；（3）通过分离变量的方式将问题转化为 ，通过求解不等式右侧函数的最小值
即可得到结果.
【详解】（1）证明：设 ，则
．
当 时， ， ，即 在 上是减函数
当 时， ， ，即
在 是增函数
（2）由（1）知 时，
有两个大于 的零点 ，解得：此时由 得：
， ，方程有两个实数解
又 ， ，
（3） 可化为：
，即 时， 取最小值
，即 的取值范围是
【点睛】本题考查定义法证明函数的单调性、根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解等知识；处理
恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值的关系，通过求解函数最值得到
取值范围.
21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ( 为常数， ).
（1）讨论函数 的奇偶性；
（2）当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数 为偶函数时， ，列出方程 ，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性
质，由求根公式解出方程的根，可得实数 的取值范围．
【详解】（1）∵函数 的定义域为 ，
又∵
∴①当 时，即 时，可得
即当 时，函数 为偶函数；②当 时，即 时，可得
即当 时，函数 为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数 为偶函数时， ，
即 时，
由题可得，
令 ，则有
∵
∴ ，
又∵ ，当且仅当 时，等号成立
根据对勾函数的性质可知， ，即
①
此时 的取值不存在；
②
此时，可得 的取值为
综上可得
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令 ，
则方程化简为 ，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想
和计算能力，属于中档题．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义 ，即可求出实数 的值，从而得到 的解析式；令 ，
得 ，构造函数 ，将问题转化为直线 与函数 的图象有交点，从而求出实数
的取值范围；
（2）依题意等价于关于 的方程 只有一个解，令 ，讨论 的正根
即可．
【详解】（1）解： 是偶函数， ，
即 对任意 恒成立，
，
．
即 ，
因为当 ，函数 有零点，即方程 有实数根．
令 ，则函数 与直线 有交点，
，
又 ， ，
所以 的取值范围是 ．（2）解：因为 ，
又函数 与 的图象只有一个公共点，
则关于 的方程 只有一个解，
所以 ，
令 ，得 ，
①当 ，即 时，此方程的解为 ，不满足题意，
②当 ，即 时，此时 ，又 ， ，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当 ，即 时，由方程 只有一正根，则需 ，
解得 ，
综合①②③得，实数 的取值范围为： ．
